函數(shù)零點(diǎn)問題中參數(shù)范圍的求解

1、在函數(shù)零點(diǎn)問題中求解參數(shù)范圍江山中學(xué) 楊作義王芳根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)情況，討論參數(shù)的范圍”是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)對(duì)于這類問題，我們可以利用零點(diǎn)定理、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)分離思想來求解 一、利用零點(diǎn)定理求解參數(shù)范圍如果函數(shù)在上連續(xù)且滿足，則在區(qū)間上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得這就是零點(diǎn)定理對(duì)于高中階段常遇到的問題：“已知連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)，且在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的范圍”可用求解例1 2012年高考數(shù)學(xué)天津卷（理科）第4題改編 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，故，整理得，解得所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是二、利用數(shù)形結(jié)合思想求解參數(shù)范圍如果通

2、過變形，可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)之差的形式，那么圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點(diǎn)因此對(duì)于含參數(shù)函數(shù)，我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想作出的圖象，并根據(jù)兩圖象的交點(diǎn)情況求解參數(shù)范圍把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化得到的兩個(gè)函數(shù)的圖象應(yīng)該是比較容易畫出的在作圖時(shí)，要利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，并標(biāo)注出函數(shù)圖象上的零點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等一些特殊點(diǎn)，盡量把圖象畫準(zhǔn)確，避免誤判圖1例2 2011年高考數(shù)學(xué)北京卷（理科）第13題 已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，且。當(dāng)時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，。如圖1所示作出函數(shù)的圖象，由圖可得在上單調(diào)遞增且，在

3、上單調(diào)遞減且，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根即實(shí)數(shù)的取值范圍是三、利用函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍如果函數(shù)在上單調(diào)遞增或遞減，則在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)反之，如果函數(shù)在上單調(diào)且存在零點(diǎn)，那么必然成立對(duì)于某些形式復(fù)雜的函數(shù)，如果直接作出其圖象有困難，我們可以先通過求導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的大致圖象，再觀察函數(shù)圖象與直線的圖象的交點(diǎn)通過平移直線確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解參數(shù)范圍. 圖2例3 2013年高考數(shù)學(xué)北京卷（文科）第18題第(2)問已知函數(shù)若曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)趨近于或時(shí)，都有。如圖2所示，要使曲

4、線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是四、利用參數(shù)分離法求解參數(shù)范圍如果函數(shù)或方程中的參數(shù)變量能被分離出來，形成形式，函數(shù)的零點(diǎn)問題就轉(zhuǎn)化為與軸平行的直線和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題通過討論函數(shù)的單調(diào)性或值域，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn),由此可得參數(shù)范圍.利用參數(shù)分離法求解,可以回避對(duì)參數(shù)取值情況的討論.例4 2013年高考數(shù)學(xué)陜西卷(理科)第21題第(2)問已知函數(shù)，討論曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程的解的個(gè)數(shù)，也就是方程的解的個(gè)數(shù)令，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增所以又當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于所以，當(dāng)時(shí)，曲線與曲線無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，它們有1個(gè)公共點(diǎn)；

5、當(dāng)時(shí)，它們有2個(gè)公共點(diǎn)【練一練】1已知函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A) (B) (C) (D)2已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【參考答案】1.B ( 提示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，解得，由此可得是唯一零點(diǎn)，滿足題意；若，則函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)因?yàn)椋圆皇呛瘮?shù)的零點(diǎn).若函數(shù)開口向上，則兩個(gè)零點(diǎn)必定同為正或同為負(fù)，不合題意，只有當(dāng)開口向下時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，符合題意此時(shí)有解得.綜上可得)圖32.解：，其圖象為開口向上的二次圖象,零點(diǎn)為,結(jié)合可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故，此外，如圖3所示，作出函數(shù)的大致圖象，要使函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，只要使函數(shù)在上的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)即可由圖3可