拋物線習(xí)題課

1、n1拋物線的定義n平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F l)的距離的點的軌跡叫做拋物線n要注意點F不在直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線. 相等相等標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)圖形2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)性質(zhì)范圍x0，yRx0，yR準(zhǔn)線方程焦點對稱性關(guān)于x軸對稱頂點O(0,0)離心率e1焦半徑標(biāo)準(zhǔn)方程x22py(p0)x22py(p0)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x22py(p0)x22py(p0)性質(zhì)范圍y0，xRy0，xR準(zhǔn)線方程焦點對稱性關(guān)于y軸對稱頂點O(0,0)離心率e1焦半徑n誤區(qū)警示n關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程n由于

2、選取坐標(biāo)系時，坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，這四種標(biāo)準(zhǔn)方程的共同點在于：n(1)p的幾何意義：焦參數(shù)p是焦點到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正數(shù)n(2)方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向. n(3)焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的n動點P到直線x20的距離比它到點M(4，0)的距離小2，則點P的軌跡()nA直線B橢圓nC雙曲線 D拋物線n解析：根據(jù)所給條件，結(jié)合圖形可知動點P到定直線x4及定點M(4,0)的距離相等，故選D.n答案：Dn考點一考點一拋物線的定義及其應(yīng)用拋物線的定義及其應(yīng)用例例1n動點P到直線xy40的距離等于

3、它到點M(2,2)的距離，則點P的軌跡是 ()nA直線 B拋物線nC橢圓 D雙曲線n解析：M(2,2)在直線xy40上，而|PM|即為P到直線xy40的距離n動點P的軌跡為過點M垂直于直線xy40的直線故選A.n答案：An已知動圓過點(1,0)，且與直線x1相切，則動圓圓心的軌跡方程為()nAx2y21 Bx2y21nCy24x Dx0n解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，由題意，x(1) ，整理得y24x，故選C.n答案：Cn點評：動圓圓心C到定點(1,0)和定直線x1距離相等，C點軌跡是以(1,0)為焦點，x1為準(zhǔn)線的拋物線，p2，方程為y24x.例例2 ._)7 , 8(42為點的距離之和的最

4、小值軸與到到，則上的一動點，定點為拋物線AxPAyxP9方法一：建立目標(biāo)函數(shù)方法一：建立目標(biāo)函數(shù)222222)74()8(4)7()8( xxxyxyd方法二方法二：數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法4),(2xyyxP ，則則設(shè)設(shè)yxOFAPyxOFAPQ變式變式 考點二考點二拋物線幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程例例3 n若拋物線y22px的焦點與橢圓 1的右焦點重合，則p的值為 ()nA2B2 C4D4答案：D n已知拋物線C：y28x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|n |AF|，則AFK的面積為()nA4 B8 nC16 D32n解析：y28x的焦點為F(2,0)，n

5、準(zhǔn)線x2，K(2,0)，例例5n即(x2)2y22(x2)2y2，n化簡得，y2x212x4，n與y28x聯(lián)立解得：x2，y4，n答案：Bn點評：按照題目的敘述，直接將文字語言數(shù)字化，依據(jù)所給關(guān)系或等式列方程求解是這類問題的基本解決方法本題中關(guān)鍵的關(guān)系式是|AK| |AF|.考點三考點三拋物線與直線位置關(guān)系拋物線與直線位置關(guān)系例例6答案：B 過點過點P P（ 0 0 ， 4 4 ）與拋物線）與拋物線y y2 2=2x=2x只有只有一個公共點的直線有一個公共點的直線有 條。條。3例例7考點四考點四拋物線綜合問題拋物線綜合問題n分析：考查拋物線的過焦點的弦的性質(zhì). n將拋物線的焦點弦的方程設(shè)出，代

6、入拋物線方程，利用韋達定理等解決問題n總結(jié)評述：(1)拋物線的焦半徑與焦點弦有許多特殊的性質(zhì)(特別是某點的焦半徑等于這點到準(zhǔn)線的距離，化兩點間的距離為點線間的距離)應(yīng)用起來非常方便，還有其它的一些性質(zhì)這里就不一一證明了. 如：ANB90，以CD為直徑的圓切AB于點F等. n(2)以上證明的五個結(jié)論是拋物線中非常重要的結(jié)論，要切實掌握其推證思路n已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有n()nA|FP1|FP2|FP3|nB|FP1|2|FP2|2|FP3|2nC2|FP2|FP1|FP3|nD|FP2

7、|2|FP1|FP3|n解析：將2x2x1x3兩邊同時加上p得，nP1、P2、P3在拋物線上，2|FP2|FP1|FP3|.n答案：C例例8例例9n若拋物線C：yax21(a0)上有不同兩點關(guān)于直線l：yx0對稱，則實數(shù)a的取值范圍是_n解析：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線C上關(guān)于直線l對稱的兩點(x1x2)，直線AB的方程為yxb.nx1x2，方程有兩個不等實數(shù)根n14a(1b)0.n又設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，由得n點評：關(guān)于直線的對稱問題等價于中點弦問題，可用點差法求解例例10n解析：(1)由題意知，拋物線的焦點為(1,0)，n設(shè)l：xty1，代入拋物線y24x中消去x得，ny24ty40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，n則y1y24t，y1y24，nx1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.n(2)設(shè)l：xtyb，代入方程y24x消去x得，ny24ty4b0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，n則y1y24t