圓里截長(zhǎng)補(bǔ)短

1、圓里的截長(zhǎng)補(bǔ)短題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：60606060BAC=60，。.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：60606060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：606060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA =

2、MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：6060BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）60題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知條件及可得結(jié)論標(biāo)在圖上：BAC=60，。.把能表示的60角用圓弧表示：）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析1：補(bǔ)短法延長(zhǎng)BM到N，使MN=

3、CM，NCMN=BAC=60，）連結(jié)CN.MA=NB，MA？ NB？MAC NBC，AC=BC， MAC=NBC，AMC=BNC，AMC=60，BNC=60， CMN是等邊三角形，CMN是等邊三角形，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。.）證法1： 延長(zhǎng)BM到N，使MN=CM，N）連結(jié)CN.MA=NB，MAC NBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等邊三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，

4、求證：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析2：補(bǔ)短法延長(zhǎng)MB到S，使BS=MC，SACM=ABS，連結(jié)AS.MA=MS，MA？ SA？AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MAC SAB，AMB=60，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.）證法2： 延長(zhǎng)MB到S，使BS=MC，S連結(jié)AS.AC=AB=BC，則ABS=ACM.MAC SAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ACB=60，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB

5、+MC.）ABCM。.）分析3：補(bǔ)短法延長(zhǎng)MC到T，使CT=BM，TABM=ACT，連結(jié)AT.MA=MT，MA？ TA？AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MAB TAC，AMC=60，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.）證法3： 延長(zhǎng)MC到T，使CT=BM，T連結(jié)AT.則ACT=ABM，AC=AB=BC，MAB TAC， AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABC=60，題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。.）分析4：

6、補(bǔ)短法延長(zhǎng)CM到F，使MF=BM，F(xiàn)ABM=CBF，連結(jié)BF.MA=FC，MA？ FC？AB=CB，BM=BF，MAB FCB，BAC=60，BMF=BAC=60，）BFM是等邊三角形，BFM是等邊三角形，）ABCM。.）證法4：延長(zhǎng)CM到F，使MF=BM，F(xiàn)FMB=FBM=60，連結(jié)BF，MA=FC， AB=AC=CB，BAC=ABC=60.BM=BF，MAB FCB，則BMF=BAC=60，）則BFM是等邊三角形，）ABM=CBF，MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA =

7、MB+MC.）ABCM。）分析5：截長(zhǎng)法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，連結(jié)BE.ME=MB，MB？ EB？BC=BA，CM=AE，MBC EBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。）證法5： 在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE， CM=AE，ME=MB；BC=BA=AC，ACB=60.MBC EBA，AMB=ACB=60，ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.連結(jié)BE.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析6：截長(zhǎng)法在

8、MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，連結(jié)KC.AK=MB，AK？ BM？AC=BC，AKC=BMC，AKC BMC，KCM是等邊三角形，BMC=120，.）AKC=120，KCM是等邊三角形.）ABCM證法6： 在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，連結(jié)KC.AK=MB，AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60， AMB=ACB=60，BMC=120，AKC BMC，KCM是等邊三角形，.）AKC=120=BMC，）MA=AK+MK=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一

9、點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM分析7：截長(zhǎng)法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，連結(jié)DC.MD=MC，MC？ DC？CB=CA，BM=AD，MCB DCA，DMC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC，ABCM證法7： 在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，連結(jié)DC.CB=CA=AB，ABC=60.BM=AD，MCB DCA，DMC=ABC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）A

10、BCM。）分析8：截長(zhǎng)法在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，連結(jié)BH.AH=MC，AH？ CM？AB=CB，ABH=CBM，AHB CMB，ABC=60，HBM=60，HBM是等邊三角形.HBM是等邊三角形.ABCM。）證法8： 在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，AHB CMB， AH=MC，連結(jié)BH.AB=CB=BC，ACB=ABC=60.AMB=ACB=60，HBM是等邊三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.） “截長(zhǎng)補(bǔ)短”是初中平面幾何中化難為易的一種常用解題思想。 本題是一道典型例題。 這里表現(xiàn) 8 種證法，是要說(shuō)明實(shí)際解題時(shí)怎么補(bǔ)、怎么截。在作好輔助線(xiàn)后要及時(shí)看到所產(chǎn)生的輔助條件，結(jié)合已知條件打通思路。 本題的其它證法附于后面。ABCM證法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得BCMA =ACMB+ABMC.MA=MB+MC.題目：如圖，M是等邊ABC的外接圓BC上的一點(diǎn)，求證：MA = MB+MC.）ABCM。）證法10：記MA交BC