13[1]3_角平分線的性質(zhì)定理和逆定理--

1、劉仲生13.3 13.3 三角形的角平分線三角形的角平分線劉仲生 如圖，河南區(qū)一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到如圖，河南區(qū)一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋較近橋頭的距離為公路橋較近橋頭的距離為300米。在圖上標(biāo)出工米。在圖上標(biāo)出工廠的位置，并說明理由。廠的位置，并說明理由。北北比例尺比例尺1：20000 問題引入問題引入 劉仲生 如何作一個(gè)角的平分線?劉仲生下列兩圖中，能表示直線下列兩圖中，能表示直線l1上一點(diǎn)上一點(diǎn)P到直線到直線l2的距的距離的是（離的是（ ）PAl1l2圖1圖2Pl1l2B圖1劉仲生下列兩圖中，能表示角的

2、平分線上的一點(diǎn)下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點(diǎn)P到角到角的邊上的距離的是（的邊上的距離的是（ ）APMAPN圖1劉仲生已知：如圖，已知：如圖，OC是的是的AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分別是，垂足分別是D，E。求證：求證：PD=PEOPDEACB證明證明： PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定義）（垂直的定義）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）問題探究問題探究劉仲生問題探究問題探究角平分線性質(zhì)角平分線

3、性質(zhì) 角的平分線上的點(diǎn)到角角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。的兩邊的距離相等。定理定理1劉仲生 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD強(qiáng)化鞏固強(qiáng)化鞏固（）劉仲生 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）劉仲生 AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC角的平分線上的點(diǎn)到角的兩角的平分線上的

4、點(diǎn)到角的兩邊的距離相等邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等劉仲生例例 ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D到到AB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE（點(diǎn)（點(diǎn)D到到AB的距離是的距離是3）劉仲生例例. .如圖，在如圖，在ABC中中, ,C=90,AC=BC，AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E。求證：。求證：DBE的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 劉仲生如果交換定理如果交換定理1的題設(shè)、結(jié)論，能得到怎樣的命的題設(shè)、結(jié)論，能得到怎樣的命題，這是一個(gè)真命題嗎？題，這是一個(gè)真命題嗎？ 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分到角的

5、兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。線上。BOAPEDCPDOA，PEOB，PD=PE。點(diǎn)點(diǎn)P在在AOB的平分線上。的平分線上。定理定理2 角的平分線是到角的兩邊的距離相等的所有角的平分線是到角的兩邊的距離相等的所有點(diǎn)的集合。點(diǎn)的集合。數(shù)學(xué)表達(dá)式：劉仲生例 如圖,ABC的角平分線BM,CN相交與點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.PMCBNADEF劉仲生 如圖，河南區(qū)一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到如圖，河南區(qū)一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋較近橋頭的距離為公路橋較近橋頭的距離為300米。在圖上標(biāo)出工米。在圖上標(biāo)

6、出工廠的位置，并說明理由。廠的位置，并說明理由。北北比例尺比例尺1：20000劉仲生OABCP300m劉仲生1 已知：如圖，已知：如圖， C= D=90 ， BC=BD 。 求證求證：（：（1）BAC= BAD （2） AC=ADADCB課堂練習(xí)課堂練習(xí)劉仲生2 如圖，如圖，DEAB，DFBC，垂足，垂足分別是分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則，則 EBF= 度，度，BE= 。ABCDCEF60BF3.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么，那么AE+DE=AE+DE=。6cm劉仲生如圖所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分線交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，則點(diǎn)D到AB的距離為_。 劉仲生請(qǐng)同學(xué)們說一說這節(jié)請(qǐng)同學(xué)們說一說這節(jié)課你有哪些收獲和體會(huì)。課你有哪些收獲和體會(huì)。作業(yè)本劉仲生小小 結(jié)：結(jié)： 3 角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線的性質(zhì)定理1，定理，定理2是是證明角相證明角相等，線段相等等，線段相等的新途徑。的新途徑。定理定理1多用于證明多用于證明線線段相等段相等，定理定理2多用于多用于證明角相等或點(diǎn)在角平證明角相等或點(diǎn)在角平