第1章-§2-2.2-點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

1、2.2點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1.了解極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的聯(lián)系.2.理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別.(易錯易混點)3.能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.(重點)基礎(chǔ)·初探教材整理極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1.互化的前提條件把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖1­2­3所示.圖1­2­32.互化公式設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2 tan (x0)在

2、一般情況下，由tan 確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小正角.把極坐標(biāo)寫成直角坐標(biāo)，把直角坐標(biāo)寫成極坐標(biāo).(1)_；(2)_；(3)(0,2)_；(4)_.【解析】(1)x2cos ，y2sin 1，直角坐標(biāo)為(，1).(2)2，tan ，極坐標(biāo)為.(3)(0,2)在y軸上，2，極坐標(biāo)為.(4)x4cos2，y4sin2.直角坐標(biāo)為(2，2).【答案】(1)(，1)(2)(3)(4)(2，2)質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)分別把下列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).(1)；(

3、2)；(3).【精彩點撥】【自主解答】(1)xcos 3cos0，ysin 3sin3.點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(0,3).(2)xcos 4cos2，ysin 4sin2.點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(2,2).(3)cos ，sin ，xcos 4cos4cos，ysin 4sin4sin.點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為( ，).1.點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件：(1)極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；(2)極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標(biāo)系的長度單位相同.2.將點的極坐標(biāo)(，)化為點的直角坐標(biāo)(x，y)時，要求角的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角

4、恒等變換公式是關(guān)鍵.再練一題1.把下列各點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點在第幾象限.(1)；(2)；(3)；(4)(2，2).【解】(1)由題意知x2cos2×1，y2sin2×.點的直角坐標(biāo)為(1，)，是第三象限內(nèi)的點.(2)x2cos 1，y2sin ，點的直角坐標(biāo)為(1，)，是第二象限內(nèi)的點.(3)x2cos1，y2sin，點的直角坐標(biāo)為(1，)，是第四象限內(nèi)的點.(4)x2cos (2)2cos 2，y2sin(2)2sin 2.點(2，2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2，2sin 2)，是第三象限內(nèi)的點.直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定

5、0,0<2).(1)(0,0)；(2)(1，1)；(3).【精彩點撥】【自主解答】(1)由于直角坐標(biāo)原點(0,0)與極點重合，所以限定0,0<2時，其極坐標(biāo)為(0，).(2)，tan 1，0,2).由于點(1，1)在第三象限，所以.點的直角坐標(biāo)(1，1)化為極坐標(biāo)為.(3)，tan 1，0,2).由于點在第一象限，所以.點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)為.將點的直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)時，運用公式，tan (x0)即可.在0,2)范圍內(nèi)，由tan (x0)求時，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征判斷出點所在的象限.如果允許R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為2k，kZ即可.再練一題2.分別將

6、下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(0，R).(1)(2,2)；(2)(，).【解】(1)4，tan ，R，由于點(2,2)在第二象限，2k，kZ.點(2,2)化為極坐標(biāo)為，kZ.(2)2，tan ，R.由于點(，)在第四象限，所以2k，kZ.點的直角坐標(biāo)(，)化為極坐標(biāo)為，kZ.探究共研型互化公式的綜合應(yīng)用探究1平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)是可以互化的，聯(lián)系它們的紐帶是什么？【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶.事實上，若0，sin ，cos ，則xcos ，ysin ，2|OM|2x2y2，tan (x0).探究2將直角坐標(biāo)化為極坐

7、標(biāo)時如何確定和的值？【提示】由2x2y2求時，不取負(fù)值；由tan (x0)確定時，根據(jù)點(x，y)所在的象限取得最小正角.當(dāng)x0時，角才能由tan 按上述方法確定.當(dāng)x0時，tan 沒有意義，這時又分三種情況：(1)當(dāng)x0，y0時，可取任何值；(2)當(dāng) x0，y0時，可??；(3)當(dāng)x0，y0時，可取.在極坐標(biāo)系中，如果點A，B的極坐標(biāo)分別為A，B，且ABC為等腰直角三角形，求直角頂點C的極坐標(biāo)與該三角形的面積.【精彩點撥】解答本題既可以把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來解，也可以利用余弦定理來解決.【自主解答】法一：利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.對于點A，直角坐標(biāo)為，點B的直角坐標(biāo)為(，).設(shè)點C的直角坐標(biāo)為(x，y)

8、，由題意得ACBC，且|AC|BC|，A·B0，即(x，y)·(x，y)0，(x)(x)(y)(y)0，x2y24.又|AC|2|BC|2，于是(x)2(y)2(x)2(y)2，即yx，代入得x22，解得x±，或點C的直角坐標(biāo)為或.2，tan 1，或，點C的極坐標(biāo)為或.SABC|AC|BC|AC|2×84.法二：設(shè)點C的極坐標(biāo)為(，)(0,02)，|AB|2|OA|4，C，|AC|BC|，|AC|BC|2，即化簡得24，由0得2，代入得cos0，k，kZ，即k，kZ，又02，令k0,1，得或，點C的極坐標(biāo)為或，SABC|AC|BC|AC|2×8

9、4.1.本例綜合考查了點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等腰直角三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.2.坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間的距離公式：(1)如果已知點的直角坐標(biāo)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|；(2)如果已知點的極坐標(biāo)A(1，1)，B(2，2)，那么|AB|再練一題3.在極坐標(biāo)系中，點A和點B的極坐標(biāo)分別為和(3,0)，O為極點.(1)求|AB|；(2)求SAOB.【解】法一：|AB|.SAOB|OA|·|OB|·sinAOB×2×3×sin .法二：A，B的直角坐

10、標(biāo)為A(1，)，B(3,0)，|AB|.SAOB×3×.構(gòu)建·體系1.點A的極坐標(biāo)是，則點A的直角坐標(biāo)為()A.(1，)B.(，1)C.(，1)D.(，1)【解析】xcos 2cos2cos2×，ysin 2sin2sin2×1，A(，1)為所求.【答案】C2.極坐標(biāo)為(3,3)的點在直角坐標(biāo)系的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】因為3，3，xcos 0，ysin 0，所以極坐標(biāo)為(3,3)的點在直角坐標(biāo)系的第二象限.【答案】B3.點M的直角坐標(biāo)為，則點M的極坐標(biāo)為_(>0,0<<2).【解析】，且，M的極坐標(biāo)為.【答案】4.若點A的直角坐標(biāo)為(2,0)，點B的極坐標(biāo)為，則|AB