第六章---河道非恒定水流計算

1、第六章 河道非恒定水流計算第六章 河道非恒定水流計算天然河道水流常被認為是一維流動的，描述河道水流的基本方程為圣維南方程組，該方程組為雙曲線型偏微分方程組，有兩類基本的求解方法，一是特征線法，二是有限差分法。有限差分法隨著計算技術(shù)的發(fā)展和計算機速度的提高，已廣泛應用于非恒定流計算中，以下著重介紹應用有限差分法求解圣維南方程組。6.1 Preissmann四點線性隱式差分格式6.1.1 基本方程水體中的一維非恒定水流，可以用圣維南方程組來描述，即 (6-1) (6-2)式中：為斷面流量()；為水位(m)；為水面度(m)；為單寬旁側(cè)入流量()；為過水斷面面積；為水力半徑；為糙率；為動量校正系數(shù)，一

2、般情況下取為1；為重力加速度，等于；為沿河長的距離變量(m)；為時間變量(s)。式(6-1)為連續(xù)方程，式(6-2)為動力方程。6.1.2 求解方法要求出圣維南方程組式(6-1)和(6-2)的解析解，用目前的數(shù)學理論是非常困難的，而只能求其數(shù)值解，其中差分法是最為常用的數(shù)值解法。差分格式又可分為顯式和隱式兩大類，顯式格式的優(yōu)點是計算簡便，缺點是為了滿足計算穩(wěn)定性和精度的要求，計算時間步長和距離步長之比必須滿足Courant條件。為此一般選用隱式格式。隱式格式雖然是無條件穩(wěn)定的，但構(gòu)造出來的方程需要聯(lián)立求解。本文選擇Preissmann四點線性隱式差分格式來求解上述圣維南方程組。該法的基本思想是

3、將圣維南方程組中偏導數(shù)前的系數(shù)項用時段初已知值來估計，阻力項進行線性化處理。由于這樣構(gòu)造出來的差分方程為一線性代數(shù)方程組，求解時無需迭代試算。差分格式的設置如圖6-1所示。采用四點線性隱式差分格式方法對圣維南方程組進行推導，采用的差分格式為圖6-1 Preissmann格式離散 (6-3)式中：為權(quán)重系數(shù)，；為水流參數(shù)，例如水位、流量、水深、過水斷面面積、水面寬等；為距離步長；為時間步長；下標表示斷面位置，上標表示時刻。根據(jù)式(6-3)，對連續(xù)方程(6-1)，有將以上關(guān)系式代入連續(xù)方程式，得到 (6-4)簡寫為 (6-5)根據(jù)式(6-3)，對動量方程，有將以上各式代入動力方程式，得到 (6-6

4、)用個斷面可將計算河段長劃分成個子河段，每個子河段的長度為()，取時間步長為，則應用Preissmann四點隱式差分格式，并令時段初的水力要素作為時段平均水力要素，就可將式(6-1)和(6-2)離散成差分方程。對第子河段，為了簡寫起見，省略上標，該差分方程可寫為 (6-7)其中 (6-8)由式(6-8)可知，式(6-7)中的差分系數(shù)、僅與河槽幾何參數(shù)、糙率和初始條件有關(guān)，所以它是一個線性代數(shù)方程組。對于一條起始斷面序號為、終止斷面序號為的河段來說(圖6-2)，該河段具有個斷面、個子河段，則個子河段就可列出包含個未知變量的個方程式，如再加上河道兩端的邊界條件，就可構(gòu)成一個閉合的代數(shù)方程組。即 (

5、6-9)該閉合代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是一個四對角稀疏矩陣，因此，可用追趕法進行求解，從而求得各斷面的水位和流量過程、()。圖6-2 計算河段示意圖對于該方程組，根據(jù)不同的邊界條件，可設不同的遞推關(guān)系，用追趕法直接求解。對于河道的邊界條件，一般有以下三種情況：(1) 水位已知 (2) 流量已知 (3) 水位流量關(guān)系 1、水位邊界條件的計算對于水位已知的邊界條件，可設如下的追趕方程 (6-10)因為 所以 ，將式(6-10)中的表達式代入差分方程(6-7)中，得到式，消去，得到式(6-10)中的追趕系數(shù)為 (6-11)其中：由此遞推關(guān)系可得：，與下邊界條件聯(lián)立求解，可得到，回代可求得、(。2. 流量

6、邊界條件的計算對于流量已知的邊界條件，可假設如下的追趕關(guān)系 (6-12)因為 所以 ，將式(6-12)中的表達式代入差分方程式(6-7)中，得到式，消去，得到 (6-13)其中：由此遞推關(guān)系可得：，與下邊界條件聯(lián)立求解，可得到，回代可求得、(。3. 水位流量關(guān)系邊界條件對于水位流量關(guān)系的邊界條件，可線性化處理成，即可同流量邊界條件一樣處理所以 ， (6-14)象流量邊界條件一樣，利用(6-13)求出追趕系數(shù)，回代得到水位和流量過程。6.2 內(nèi)邊界的處理 在河道水流計算中，除了外部邊界條件外，還可能遇到內(nèi)部邊界條件。所謂內(nèi)部邊界條件是指河道的幾何形狀的不連續(xù)或水力特性的不連續(xù)點。例如，集中入流、

7、過水斷面突然放大、堰閘過流等。在這些內(nèi)部邊界處，圣維南方程組不再適用，必須根據(jù)其水力特性作特殊處理。內(nèi)部邊界條件通常包含兩個相容條件，即流量的連續(xù)性條件和能量守恒條件?，F(xiàn)以Preismann線性隱式差分格式為例，介紹常見的內(nèi)邊界條件的處理和計算方法。6.2.1 集中旁側(cè)入流對于集中旁側(cè)入流，可設一個虛擬河段，這是基本的連續(xù)方程為ii+1 (6-15)圖6-3 集中入流示意圖由式(6-15)替代差分方程式(6-7)，同樣得到遞推關(guān)系式。當上邊界為水位邊界條件時，可設如下的追趕方程：所以 即 (6-16)則遞推系數(shù)為 (6-17)用式(6-17)代替式(6-11)計算虛擬河段的追趕系數(shù)，可同正常河

8、道一樣遞推求解。當上邊界為流量邊界條件時，可設如下的追趕方程所以 即 (6-18)則遞推系數(shù)為 (6-19)用式(6-19)代替式(6-13)計算虛擬河段的追趕系數(shù)，可同正常河道一樣遞推求解。6.2.2 河道與儲水池匯合考慮一條河流中間某處有一儲水池(小型湖泊)與之匯合，如圖6-4。對于第個河段，假設河段水位與儲水池水位相等，可列出如下方程由連續(xù)方程圖6-4 河道與儲水池匯合式中：為河道流向儲水池的流量，由儲水池的連續(xù)方程所以 即 (6-20)當上邊界為水位邊界條件時：由式(6-20)可求得： (6-21)則遞推系數(shù)為 (6-22)當上邊界是流量邊界條件時：由式(6-20)可求得 (6-23)

9、則遞推系數(shù)為 (6-24)6.2.3 過水斷面突然放大的情況如圖6-5所示，過水斷面突然放大的情況，其相容性條件為圖6-5 斷面突然放大 (6-25)式中：為局部阻力系數(shù)，令則 (6-26)當上邊界為水位邊界條件時：則 (6-27)得出遞推系數(shù)為 (6-28)當上邊界衛(wèi)流量邊界條件時：所以 則 (6-29)得出遞推系數(shù)為 (6-30)6.2.4 堰閘過流的情況在實際工程中，為了控制水量或水位，常常在一條河流中設立閘門進行控制運行。過閘水流有三種情況，關(guān)閘。自由出流和淹沒出流。圖6-6 過閘示意圖對于關(guān)閘的情況，。因此閘上、閘下可以作為兩條單一河道來處理，對于上游河道來說，已知，為下邊界流量已知

10、條件，可單獨求解；對于下游河道，已知，可按流量已知邊界條件單獨求解。對于自由出流情況 (6-31)式中：，為上游水深，為閘底高程；為閘孔徑寬；為計算過流水深；為綜合流量系數(shù)。由式(6-31)可知，且。可同關(guān)閘情況類似計算。所不同的是，關(guān)閘以作為上游河道的下邊界，而這里以作為上游河道的下邊界而已。下游河道類似于關(guān)閘情況。對于淹沒出流 (6-32)式中：為淹沒出流系數(shù)。考慮連續(xù)性有： (6-33)對式(6-33)進行線性化處理，得到 (6-34)當上游邊界為水位邊界條件時與式(6-34)聯(lián)立求解可得到 (6-35)所以，遞推系數(shù)為 (6-36)當上游邊界條件為流量邊界條件時與式(6-34)聯(lián)立求解

11、可得到 (6-37)所以得到遞推系數(shù)為 (6-38)可見利用式(6-36)或(6-38)計算過閘的追趕系數(shù)，可同正常河道一樣遞推求解。值得注意的是，上游邊界為水位邊界條件，過閘后仍然以水位邊界計算，用式(6-36)計算該特殊河道的追趕系數(shù)，有時會引起較大的誤差。特別是當接近關(guān)閘時，有，計算無法進行。最好的辦法是把下游河道計算改成流量邊界條件，可連續(xù)進行求解。上游河道最后一個斷面的水位可以寫成下游改成流量邊界條件，有 ，由式(6-34)得到由于 ，故此則 (6-39)得到遞推系數(shù)為 (6-40)這樣必須在上游河道與下游河道分別用不同的關(guān)系求解。先以水位邊界條件計算上游河道的追趕系數(shù)，由式(6-4

12、0)計算下游河道處的邊界條件，以流量邊界條件計算下游河道的追趕系數(shù)。綜上所述，可以看出，對于內(nèi)邊界條件的處理可以歸結(jié)為特殊河段的追趕系數(shù)計算。計算依據(jù)的是特殊河段的相容性方程(水量守恒與動量守恒)，這些方程與非恒定流的基本方程無關(guān))，對于相容方程進行必要的處理，單獨計算特殊河段的追趕系數(shù)，可用正常河段一樣進行求解。6.3 計算實例某河床式水電站裝有三臺機組，每臺引用流量為50。其下游河道長9，平均底坡為0.000182，流入面積極為廣闊的湖泊。湖泊水位保持在216.5m，可以認為是恒定的。設該電站經(jīng)常按以下程序運行：起始時一臺機組運行，流域為50。負荷增加時投入第二、第三臺機組，并在2000s內(nèi)使電站引用流量按等變率增加到150，見圖6-7a。已經(jīng)測得下游河道四個斷面的尺寸，見圖6-7b。以及初始流量為50時的水位。要求計算下游河道各個斷面的水位以及流量過程。圖6-7 流量變化及斷面示意圖6.3.1 步長選擇、構(gòu)造網(wǎng)格全河道長為9000m，有四個斷面資料，見表6-1所示。表6-1 河道斷面及其初始條件里程(m)斷面河段長度初始水位初始流量糟率系數(shù)01(1)2400217.08500.027524002(2)3600216.83500.030600