《高等數(shù)學復習》ppt課件

1、第第九九章章 重積分重積分習題課習題課 (二二)三三 重重 積積 分分1.;一、三重積分的概念一、三重積分的概念 1定義定義: niiiiivfdvzyxf10 ) , ,(lim) , ,(2物理意義物理意義: ) , ,(dvzyxM的空間物體的空間物體 的質(zhì)量的質(zhì)量。表示體密度為表示體密度為 ) , ,(zyx 二、三重積分的性質(zhì)二、三重積分的性質(zhì) 1.線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： dvzyxgzyxf) , ,() , ,( dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(2.可加性：可加性： 21) , ,(dvzyxf 21) , ,() , ,(dvzyxfdvzyxf2 dvV4. 單

2、調(diào)性：單調(diào)性：若若 在上，在上， ，則，則 ), ,(), ,(zyxgzyxf dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(5估值性質(zhì)：估值性質(zhì)：MVdvzyxfmV ) , ,(的體積，則在的體積，則在 上至少存在一點上至少存在一點 ，使得，使得 ), ,( Vfdvzyxf ),() , ,(3. 的體積：的體積： 7. 中值定理：中值定理：設函數(shù)設函數(shù) 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)， 是是 ), ,(zyxf V, 則則 ),(,),(zyxMzyxfm3三、三重積分的計算方法三、三重積分的計算方法 1利用直角坐標計算利用直角坐標計算 ) , ,() , ,(dxdydzzyx

3、fdvzyxf(1) “先一后二先一后二”法法 ) ,( ), ,() ,(| ) , ,(21Dyxyxzzyxzzyx 則則 ) ,( ) ,( 21) , ,() , ,(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf(2) “先二后一先二后一”法法 其中其中 是豎坐標為是豎坐標為 的平面截的平面截 閉區(qū)域所得到的一個閉區(qū)域所得到的一個zDz 平面閉區(qū)域，則平面閉區(qū)域，則 zDccdxdyzyxfdzdxdydzzyxf ) , ,() , ,(21若若 為為 在在 面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 Dxoy) ,( ,| ) , ,(21zDyxczczyx 若若42利用柱面坐標計

4、算利用柱面坐標計算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 zzzz則則 ) ,sin ,cos() , ,(dzdrdzfdxdydzzyxf ),( ),( )( )( 2121) ,sin ,cos(zzdzzfdd3利用球面坐標計算利用球面坐標計算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 rrrr ) , ,(dxdydzzyxf則則 2sin)cos ,sinsin ,cossin(ddrdrrrrf ),( ),( 2)( )( 2121sin)cos ,sinsin ,cossin(rrdrrrrrfdd5四、三重積分的應用四、三重積分的應

5、用 (1)質(zhì)量質(zhì)量 ) , ,(dvzyxM(2)質(zhì)心質(zhì)心 ， ， 1dvxMx 1dvyMy 1dvzMz(3)轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 22)(dvzyIx 22)(dvzxIy 22)(dvyxIz1幾何應用幾何應用2物理應用物理應用 dvV空間立體空間立體 的體積的體積 6五、三重積分的解題方法五、三重積分的解題方法計算三重積分主要應用直角坐標、柱面坐標和球面坐標計算三重積分主要應用直角坐標、柱面坐標和球面坐標 三種坐標計算。通常要判別被積函數(shù)三種坐標計算。通常要判別被積函數(shù) 和積分區(qū)域和積分區(qū)域 ) , ,(zyxf 所具有的特點。如果被積函數(shù)所具有的特點。如果被積函數(shù) 222( , , )

6、()f xyzg xyz 積分區(qū)域積分區(qū)域 的投影是圓域，則利用球面坐標計算；如果的投影是圓域，則利用球面坐標計算；如果 被積函數(shù)被積函數(shù) ，則可采用先二后一法計算；如果，則可采用先二后一法計算；如果 )() , ,(zgzyxf 被積函數(shù)被積函數(shù) ，積分區(qū)域，積分區(qū)域 為柱或為柱或 的投影的投影 )() , ,(22yxgzyxf 是圓域，則利用柱面坐標計算；若以上三種特征都不具備，是圓域，則利用柱面坐標計算；若以上三種特征都不具備， 則采用直角坐標計算。三重積分計算的解題方法流程圖如下：則采用直角坐標計算。三重積分計算的解題方法流程圖如下：7( , , )DIf x y z dv 利用球面

7、極坐標計算利用球面極坐標計算先一后二的方法先一后二的方法1212:( )( )( , )( )( , )rrr 2sindvrd d dr ( , , )( )f x y zg z 21( ) ( )ccIg z S z dz YesNoNoYes 轉(zhuǎn)化為三次積分轉(zhuǎn)化為三次積分 先二后一的方法先二后一的方法求求D1及截面面積及截面面積( )S z 求求12,c c21( , )( , )xyhx yh x yDIdxdyfdz 確定確定xyD 上頂曲面上頂曲面 下頂曲面下頂曲面21( , )( , )z h x yz h x y 為柱為柱或或 投影為圓域投影為圓域22()fg xy 投影為圓域

8、投影為圓域222()f gxy z 利用柱面坐標計算利用柱面坐標計算 確定確定12( )( )xyD 21( , )( , )xyzzDIdxdyfdz 上頂曲面上頂曲面 下頂曲面下頂曲面21( , )( , )zzzz 利用直角坐標計算利用直角坐標計算YesNo1231112解題方法流程圖解題方法流程圖8分析分析 由于積分區(qū)域是由四個平面所圍成的四面體，故本題應由于積分區(qū)域是由四個平面所圍成的四面體，故本題應考慮利用直角坐標計算；即按照框圖中線路考慮利用直角坐標計算；即按照框圖中線路1 1 1111的方法計算。的方法計算。 解解: （如圖）在平面（如圖）在平面 上的投影域上的投影域 . xo

9、yxyD10 ,10 : xxyDxy的上頂曲面的上頂曲面 為為 ， 1 yxz 1即即 ： 。 10 ,10 ,10 xxyyxz【例例1】 計算三重積分計算三重積分 。其中。其中 為平面為平面 ， 3)1(zyxdxdydz 0 x ， ， ，所圍成的四面體。，所圍成的四面體。 0 y0 z1 zyx下頂曲面下頂曲面 為為 。 0 z2 于是，得于是，得xyz111oxyD 六、典型例題六、典型例題9 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1 0 31 0 1 0 )1(1 xdyyxdx1 0 21 0 )1(14121 1 0 11214121dxxx 852ln21【例

10、例2】 計算三重積分計算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 與平面與平面 ， 及及 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 xy 1 x0 z分析分析 由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐標和球面坐標計算的特點，所以，本題考慮利用直角坐標坐標和球面坐標計算的特點，所以，本題考慮利用直角坐標來計算，即按照框圖中線路來計算，即按照框圖中線路1 11的方法計算。的方法計算。 10解解: (1) 求求 （如圖）在平面（如圖）在平面 上的投影區(qū)域為上的投影區(qū)域為 xoyxyD10 ,0 : xxyDxy(2)

11、 確定上頂曲面確定上頂曲面 及下頂曲面及下頂曲面 。1 2 0 xyz(3) 轉(zhuǎn)化為先對轉(zhuǎn)化為先對 后對后對 的三次積分計算：的三次積分計算：zyx , dxdydzzxy32 xyDdzzxydxdyxy 0 32 xyDdxdyyx6541 xdyyxdx 0 651 0 413641 因為當因為當 時滿足時滿足 ， ,0 x0 yxyDyx ) ,(。因此。因此1 xyz :2 0: zzoxyz xy yx11【例例3】 計算三重積分計算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dvyx)(22 zyx222 及平面及平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 2 z分析分析 由于積分區(qū)域

12、由于積分區(qū)域 在在 坐標面上的投影區(qū)域為圓域坐標面上的投影區(qū)域為圓域 xoy4 :22 yxDxy且被積函數(shù)中含有且被積函數(shù)中含有 ，所以可采用柱面，所以可采用柱面 22yx 坐標計算，即按照框圖中線路坐標計算，即按照框圖中線路1 12的方法計算比較簡單。的方法計算比較簡單。 解：積分區(qū)域解：積分區(qū)域 的如圖所示。的如圖所示。 在柱面坐標下在柱面坐標下 20 , 20 , 22:2z故有故有 dvyx)(22 2 2 22 0 2 0 2dzdd 2 0 23)22(2d2064)61( 316xyzo22212【例例4】計算三重積分計算三重積分 . 其中其中 是由錐面是由錐面 zdxdydz

13、 22yxRhz 與平面與平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 hz )0 , 0( hR被豎坐標為被豎坐標為 的平面所截的平面閉區(qū)域為圓域的平面所截的平面閉區(qū)域為圓域 z22222 :hzRyxDz 故本題利用直角坐標系中故本題利用直角坐標系中“先二后一先二后一”的方法，即按照框圖中的方法，即按照框圖中面上的投影區(qū)域為圓域面上的投影區(qū)域為圓域 ，222 :RyxDxy 所以本題也可采用柱面坐標計算，即所以本題也可采用柱面坐標計算，即按框圖中線路按框圖中線路1 12的方法計算。的方法計算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法計算。方法計算。由于由于 ， 0 ,) ,( | ) ,

14、 ,(hzDyxzyxz 線路線路3的方法來計算比較簡便；考慮到積分區(qū)域的方法來計算比較簡便；考慮到積分區(qū)域 在在 坐標坐標 xoy 分析分析 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) 只與變量只與變量 有關，且積分區(qū)域有關，且積分區(qū)域 z zzyxf ) , ,(xyzoRRhzDxyzoRRhzD13其中其中 ，故，故 22222 :hzRyxDz zdxdydz zDhdxdyzdz 0 hdzhzRz 0 222 hdzzhR 0 3222241hR 解法解法2：利用柱面坐標計算。：利用柱面坐標計算。在柱面坐標下在柱面坐標下 20 ,0 , :RhzRh故有故有 zdxdydz hRhRdzzdd 0

15、 2 0 RdRhh 0 2222)(212RRhh042222)421( 2241hR 注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法來計算，但來計算，但“先二后一先二后一”法相對簡便。法相對簡便。14【例例5】求求 ，其中，其中 是由球面是由球面 dxdydzzyxI)(222 zzyx 222所限定的球域。所限定的球域。分析分析 由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域 是由球面所圍成的球域，且被積函數(shù)是由球面所圍成的球域，且被積函數(shù) 線路線路2的方法計算比較簡單。的方法計算比較簡單。 在在球面坐標系下，球面坐標系下，中含有中含有 ，故本題利用球面坐

16、標計算，即框圖中，故本題利用球面坐標計算，即框圖中222zyx 解：積分區(qū)域解：積分區(qū)域 的圖形如圖。的圖形如圖。 20 ,20 ,cos0 :rxyzo21115故有故有 dxdydzzyxI)(222 cos 0 222 0 2 0 sin drrrdd 205sincos512 d12)cos61(2206 【例例6】設設 ，計算，計算 ， 10 , 1 :22 zyx dvyxez3)tan(32分析分析 由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域 關于關于 面對稱，而函數(shù)面對稱，而函數(shù) xoz)tan(32yxez關于變量關于變量 為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以 ，又，又 ，y0)tan(32 dvyx

17、ez dv故本題可利用對稱性及積分的性質(zhì)計算。故本題可利用對稱性及積分的性質(zhì)計算。 16解：解： dvyxez3)tan(32 dvyxez)tan(32 dv3 dv30 3xyzo11【例例7】* 設設 連續(xù)，連續(xù)， ，其中，其中 )(xf dxdydzyxfztF)()(222hz 0 :， 。求。求 ， 。 20)(limttFt dtdF222tyx 分析分析 本題是三重積分的計算、變上限積分求導和求極限的本題是三重積分的計算、變上限積分求導和求極限的綜合題目。由于積分區(qū)域綜合題目。由于積分區(qū)域 為圓柱體為圓柱體, 故應首先利用柱面坐標故應首先利用柱面坐標 17將三重積分將三重積分

18、轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后求導，最后轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后求導，最后)(tF再利用洛必達法則求極限。再利用洛必達法則求極限。 解解: 由柱面坐標得由柱面坐標得 htdzrfzrdrdtF 0 22 0 2 0 )( )( trdrrhfh 0 23)(32從而有從而有 ；于是；于是 )(3223thfhtdtdF20)(limttFt tthfhtt2)(32lim230 )(3lim230thfht )0(33hfh )0(332fhh xyzoht 型型0018【例例8】設有一物體，占有空間閉區(qū)域設有一物體，占有空間閉區(qū)域( , , )|01, 01,01xyzxyz 在點在點 處

19、處 ) , ,(zyx的密度為的密度為 ，計算該物體的質(zhì)量。，計算該物體的質(zhì)量。 zyxzyx ) , ,(分析分析 由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為 ) , ,(dvzyxM。故只需計算三重積分即可。而積分故只需計算三重積分即可。而積分區(qū)域為立體，故可考慮利用直角坐標計算。區(qū)域為立體，故可考慮利用直角坐標計算。 解解: 由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為 ) , ,(dvzyxM )(dxdydzzyx 1 0 1 0 1 0 )( dzzyxdydx 1 0 1 0 )21( dyyxdx

20、 1 0 )2121(dxy23 19,0 xa ya z【例例9】一均勻物體一均勻物體(密度密度 為常量為常量)占有的閉區(qū)域是由曲面占有的閉區(qū)域是由曲面 和平面和平面 所圍成所圍成.22zxy（1）求其體積；（）求其體積；（2）求物體的重心；（）求物體的重心；（3）求物體關于）求物體關于軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量.z20【1】計算三重積分計算三重積分 其中其中 是由圓錐面是由圓錐面 zdxdydz 22yxz 與上半球面與上半球面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 222yxRz 分析分析 同上題的分析，本題可考慮用直角坐標系中的同上題的分析，本題可考慮用直角坐標系中的“先二先二后一后一”法和

21、柱面坐標方法進行計算。法和柱面坐標方法進行計算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法計算。方法計算。因因 0 ,) ,( | ) , ,(RzDyxzyxz 由于當由于當 時，時， ； Rz220 222 :zyxDz 而當而當 時，時， 。 RzR 222222 :zRyxDz yzxo2RRD21故需用平面故需用平面 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 劃分為兩部分：劃分為兩部分：Rz22 21 220 ,) ,( | ) , ,(1RzDyxzyxz 其中其中22 ,) ,( | ) , ,(2RzRDyxzyxz zdxdydz 21zdxdydzzdxdydz zzDRRDRdxdyz

22、dzdxdyzdz 22 22 0 RRRdzzRzdzzz 22 2222 0 2)(RRRzzRz224222204)4121(41 481R 于是，得于是，得22解法解法2：利用柱面坐標計算。：利用柱面坐標計算。在柱面坐標下在柱面坐標下 20 ,220 , :22RRz zdxdydz 22 22 0 2 0 RRdzzdd RdR22 0 22)2(212故有故有RR220422)2121( 481R 注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法來計算，但利用柱面坐標計算相對簡便。來計算，但利用柱面坐標計算相對簡便。23【2】計算

23、三重積分計算三重積分 其中其中 是由球面是由球面 dvyx)(22 222yxAz 222yxaz )0( aA和平面和平面 所確定的閉區(qū)域。所確定的閉區(qū)域。 0 z分析分析 由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域 是由兩個球面及平面所圍成的球殼體，故是由兩個球面及平面所圍成的球殼體，故 本題利用球面坐標計算，即框圖中線路本題利用球面坐標計算，即框圖中線路2的方法計算比較簡單。的方法計算比較簡單。解：積分區(qū)域解：積分區(qū)域 的圖形如圖。的圖形如圖。 xyzAAao 20 ,20 , :Ara Aadrrrdd 2222 0 2 0 sinsin Aadrrdd 42 0 32 0 sin在球面坐標系下在球面坐

24、標系下 故有故有 dvyx)(22)(5132255aA )(15455aA 24【3】 計算三重積分計算三重積分 。其中是。其中是 兩個球體兩個球體 dxdydzz2 2222Rzyx 及及 的公共部分。的公共部分。 Rzzyx2222 )0( R分析分析 由于由于 在在 平面上的投影區(qū)域為圓域（如圖），且平面上的投影區(qū)域為圓域（如圖），且 xoy 的邊界曲面是球面，故很容易聯(lián)想到用球面坐標和柱面坐標的邊界曲面是球面，故很容易聯(lián)想到用球面坐標和柱面坐標計算，即框圖中線路計算，即框圖中線路2和線路和線路112的計算方法。但由于被積的計算方法。但由于被積 函數(shù)函數(shù) 而而 的截面面積的截面面積 又

25、非常容易求又非常容易求, 因此，因此， )(zS)() , ,(zgzzyxf 又滿足框圖中線路又滿足框圖中線路3的條件，故亦可用的條件，故亦可用“先二后一先二后一”法來求解。法來求解。解法解法1 1：利用球面坐標計算。：利用球面坐標計算。用圓錐面用圓錐面 將將 分成兩部分分成兩部分3 21 其中其中xyzR2Ro25 20 ,23,cos20:1Rr 20 ,30 ,0:2Rr于是，得于是，得 dxdydzz2 2122dxdydzzdxdydzz cos2 0 2222 3 2 0 sincosRdrrrdd Rdrrrdd 0 2223 0 2 0 sincos548059R 解法解法2

26、：利用柱面坐標計算。：利用柱面坐標計算。由于由于 在在 平面的投影區(qū)域平面的投影區(qū)域 ； xoy43:222RyxDxy 故在柱面坐標下，故在柱面坐標下， 20 ,230 , :2222RRzRR26于是有于是有 dxdydzz2 2222 223 0 2 0 RRRRdzzdd dRRRR23 0 3222322)()(32 dRRRRRR23 0 322222322433)(232 dRRRR23 0 22223223)(232 dRRR23 0 32)43(3223023222522)(23)(543RRR 230234)243(32RRR 548059R 27解法解法3：用：用“先二后一先二后一”法計算。法計算。用平面用平面