【創(chuàng)新設(shè)計】2014屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八篇第8講立體幾何中的向量方法(二)理湘教版

1、階梯訓(xùn)練能力提升 3. 10 10 10 1 第 8 講立體幾何中的向量方法（二） 04 限時規(guī)范訓(xùn)練限時規(guī)范訓(xùn)練 A 級 基礎(chǔ)演練（時間：30 分鐘 滿分：55 分） 、選擇題（每小題 5 分，共 20 分） l與a所成的角為 答案 GB與 EF所成的角為 解析 如圖建立直角坐標系 D- xyz, |GB EF 答案 D長方體 ABC- ABCD 中，AB= AA = 2, AD= 1, 成 角的余弦值為 A血 E為CC的中點，則異面直線 BC與AE所 1. 已知向量m n分別是直線l和平面 a的方向向量、法向量, cos 1 m n=-2 則 A. 30 B. 60 C. 120 D. 1

2、50 解析 設(shè)I與a所成的角為0，則 sin 0 = |cos m n 0 = 30 . 2. 正方體 ABCP ABCD中，E是棱BB中點, G是DD中點，F(xiàn)是BC上一點且FB=4BC則 A. 30 B. 120 C. 60 D. 90 設(shè)DA= 1,由已知條件, G0, 0, 2 , B(1, 1, 0)，E1, 1,2，F(xiàn)4, 1, 1, EF= 1 4，0, cos GB EF GB- EF 則 GBL EF 2 15 C市 B好 1 , 階梯訓(xùn)練能力提升 3. 10 10 10 2 ). 3 10 D._ . _3 1 A. 9 空間直角坐標系(如圖)，可知CM= (2 , 2,1)

3、 , DN= (2,2 , 1), f f f 1 cosCM DN= 9， sin CM 又I與 a 所成角記為 0 ,即卩 sin 0 = |cos n, a | =役丁1. 6.如圖所示，在三棱柱 ABC-ABC中，AA丄底面 ABC AB= BC= AA, / ABC= 90，點E、F分別是棱AB BB的中點，則直線EF和BC 所成的角是 _. 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系. 設(shè) AB= BC= AA = 2， 則 C(2,0,2)，日 0,1,0) ，F(xiàn)(0,0,1)，解析 建立坐標系如圖， 則 A(1,0,0),日 0,2,1),巳 1,2,0) , C(0, 2,2). B

4、G= ( 1,0,2) ,AE= ( 1,2,1), cos BG, AE BC AE 30 f = 70. | BC| AE E B 所以異面直線BC與AE所成角的余弦值為 答案 4. (2013 杭州月考)在正方體 ABC ABGD中, N分別為棱 AA和BB的中點，貝 U sin CM DN的值為 解析 設(shè)正方體的棱長為 2，以D為坐標原點, DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸建立 2 D.- 3 f DN=誓, 答案 B 、填空題(每小題 5 分，共 10 分) 5. (2013 石柱模擬)若平面 =(2, 3,3)，貝 U l 與 解析 cos n，a=| n| |a| = 3.2

5、x 22 = a的一個法向量為n = (4,1,1)，直線 a所成角的正弦值為 _ . 4 11 33 . 的一個方向向量為 a li C. G B 則 EF= (0，- 1,1) , BG= (2,0,2), EF- BG= 2, AG= (4,0 , 4) , GD= ( 4,4,0), n - GD= 0 , 4x 4= 0, 4x+ 4y= 0, x = y= 1,. n= (1,1,1 ,). f / F 平面 AGD EF= ( 2,2,2),f - cos EF, f BG 2 2 X2 2 1 2, EF和BG所成角為 60 答案 60 三、解答題(共 25 分) 4 7. (

6、12 分)如圖，四面體 ABCDK AB BC BD兩兩垂直，AE= BG =BD= 4, E、F分別為棱BG AD的中點. (1) 求異面直線AB與EF所成角的余弦值; 求E到平面ACM距離; 求EF與平面AGD所成角的正弦值. 如圖，分別以直線 BG BD BA為x、y、z軸建立空間 直角坐標系，則各相關(guān)點的坐標為 A(0,0,4) 、0(4,0 , 0)、 D(0,4 , 0) , E(2,0,0) 、F(0 , 2,2). (1) AB= (0,0 , - 4) , EF= ( 2,2,2) - |cos AB EF | = 8 4X2 異面直線 AB與EF所成角的余弦(2)設(shè)平面AC

7、D的一個法向量為n= (x, y, 1), 則 n- AG=0， f D 5 I n EF = = 2護 lnl =_ 3 = 丁 EF與平面ACD所成角的正弦值為|cosn, EF| = & （13 分）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 P ABCD中, AD/ BC / ABC= 90, PA!平 面 ABCD PA= 3, AD= 2, AB= 2 3, BC= 6. (1)求證：BDL平面PAC 求二面角P- BD- A的大小. (1)證明 如圖，建立空間直角坐標系， 則 A(0,0,0) , 02 3, 0,0), C(2 3, 6,0) , D(0,2,0) , P(0,0,

8、3), AP= (0,0,3) , AC= (2 3 , 6,0), f BD= ( 2 3 , 2,0). f f f f BD- AP= 0 , BD- AC= 0. BDL AR BDL AC 又 PAG AC= A, BDL面 PAC 解 設(shè)平面ABD的法向量為m= (0,0,1), 設(shè)平面PBD的法向量為 n= (x , y , z), 則 n BD= 0 , n BP= 0. v BP= ( 2 3 , 0,3), m-n cos m n= :_-: I m|n| 面角P- BD- A的大小為 60 B 級 能力突破（時間：30 分鐘 滿分：45 分） 2 書x + 2y= 0 ,

9、 i 2Q3X + 3z= 0 解得 2,3 3 x. E到平面ACM距離為d= 2 3x23 令 x = 3,則 n= ( ,3 , 3,2), 、選擇題（每小題 5 分，共 10 分） 1.如圖，在四面體 ABCD , AB= 1, AD= 2 ,3 , BC= 3 , CD= 2. / 7 ABC=Z DCB= n2，則二面角 A BO D的大小為 f f f f f DiP=入 DB=(入，入，一入)，所以 PA= PD + DA=( 一入， 入，入)+ (1,0 , 1) = (1 入，一入，入一 1) , PC= PD+ DC=(入，一入，入)+ (0,1 , 1)=(入，1 入，

10、入一 1). 顯然/ APC不是平角，所以/ APC為鈍角等價于 cos / APC= cos PA PO I PAI PC f f 0,這等價于PA- PCV 0 ,.n A. 6 n C.-3- 5 n D. 6 f f f f f f 解析 二面角A BC- D的大小等于 AB與CD所成角的大小.AD= AB+ BC+ CD而AD= AB f f f f + CD+ BC一 2| AE| CD cos AB CD ,即 12 = 1 + 4 + 9 一 2 x 2cos AB CD , cos AB CD = n % j，即二面角 A- BC- D的大小為.故選 B. 答案 2.如圖，設(shè)

11、動點 P在棱長為 1 的正方體 ABCEABCD的對角線 BD 上，記器 入.當(dāng)/ APC為鈍角時，則 入的取值范圍是 A. 0, B. C. 2, D. 3 解析 由題設(shè)可知，以DA DC DD為單位正交基底， 建立如 圖所示的空間直角坐標系 D-xyz，則有A(1,0,0) ,B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1). 由 DB= (1,1， 1)，得 PA- PC v f f 8 2 1 即（1 入）（入）+ （入）（1 入）+ （入一 1）=（入一 1）（3 入一 1） v 0,得 3入 v 1.因 3 此，入的取值范圍為1, 1 . 答案 D 、填空題(每小題 5

12、分，共 10 分) 3. (2011 全國)已知點E、F分別在正方體 ABC ABCD的棱BB，CG上，且BE= 2EB CF= 2FC,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為 _ 解析 如圖，建立直角坐標系 D xyz，設(shè)DA= 1 由已知條件 A(1,0,0) , E1, 1, 1 , F0, 1, 3 , AE= 0, 1, 3 , AF= 1, 1 , I , 設(shè)平面AEF的法向量為n= (x , y , z), 面AEF與面ABC所成的二面角為 0 , - n AE= 0 , 由 ， n AF= 0 x = 1,貝U n= （ 1,1 , 3） 平面ABC勺法向量為m= (0,0

13、 , 1) 4.在三棱錐 O- ABC中 ,三條棱 OA OB OC兩兩垂直，且 OA= OB= OC M是AB邊的中點, 則OM與平面ABC所成角的正切值是 _ 解析 如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè) OA= OB= OC= 1 , 則 A（1,0,0） , B（0, 1,0） , C（0,0,1） , M1 , 2, 0 ,故 AB= （-1,1,0） , AC= （ 1,0,1） , Ol= 1 , 2 , cos 0 = cos n , m 3 11 11 tan 令 y = 1, z= 3 , 1 y + 3z= 0， 2 x+ y + 3z= 0. 3 9 設(shè)平面 ABC勺法向量為

14、n= (x , y , z),10 1 cos n, OM = - 尸 3X纟 所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為電6,其正切值為 答案 2 三、解答題(共 25 分) 5. (12 分)(2012 新課標全國)如圖，直三棱柱 AB( ABC 1 中，AO BO 2AA，D是棱AAA的中點，DC丄BD (1) 證明：DC丄BC (2) 求二面角 A BD- C的大小. (1)證明 由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形.由于D為AA 的中點， 故 DC= DC. 1 又 AC= 2AA,可得 DC+ DC = cC,所以 DC丄DC 而DC丄BD D8 BD= D,所以DC丄平面BCD 因為BC?平面

15、BCD所以DC丄BC 解 由(1)知BCL DC，且 BC丄CC，貝 U BC丄平面 ACCA1，所以CA CB CC兩兩相互垂直.以 C為坐標原 f f 點，CA勺方向為x軸的正方向，| CA為單位長，建立如 圖所示的空間直角坐標系 C xyz.由題意知 A1(1,0,2) , B(0,1,0) , Q1,0,1) , C(0,0,2). f f 則 AD= (0,0 , 1), BD= f (1 , 1,1) , DC= ( 1,0,1). n丄AB 則由 n丄AC x+y = 0, x+z = 0, 令 x = 1, 得 n= (1,1,1) 11 設(shè)n= (x, y , z)是平面 A

16、1B1BD的法向量,則12 x y+ z= 0, 即* 可取 n= (1,1,0) z = 0, 同理，設(shè)m= (x, y, z)是平面CBD的法向量，貝U I n BD= 0, : n A D= 0, f I m BD= 0, : -m DG= 0, x y+ z= 0, 即x+z=0, 可取 m= (1,2,1) 13 從而 cos n, m 故二面角A BD- G的大小為 30 6. (13 分)(2012 全國)如圖，四棱錐 P-ABGD中，底面 ABGD 為菱形，PAL底面 ABCD AC= 2 2 , PA= 2 , E是PC上的 一點，PE= 2EC (1)證明：PCL平面BED

17、 大小. 故 PC BE PCL DE (2)解 AP= (0,0,2) f ,AB= ( .2 , b,0). 設(shè) m= (x , y , z)為平面 PAB的法向量，則又BEn DE= E,所以 PC丄平面 BDE 設(shè)二面角 A PBC為 90 ,求PD與平面PBC所成角的 B (1)證明以A為坐標原點, 射線AC為x軸的正半軸，建 立如圖A-xyz. 設(shè) C(2 2 , 0,0) , D( 2 , b,0),其中 b0 , 勞,0,3, 則只 0,0,2), f B( 2 , b , 2) , BE= 從而PC- f f, DE= ,b, 2 3, BE= 0, PC DE= 0, m- AP=0,且 E D B f 14 m- AB= 0,即卩 2z = 0 且 2x by= 0，令 x = b,貝U m= (b, .2，0)- 設(shè)n= (p, q,