.集合講義

1、一.集合的概念:集合沒(méi)有確切定義，是一個(gè)基本概念。對(duì)其描述：某些具有共同屬性的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合。 符號(hào)表示為,表示的意思為全體。這些對(duì)象我們稱(chēng)之為元素。集合通常用大寫(xiě)字母A、B、S素通常用小寫(xiě)字母 a、b、c表示?！镜淅治觥浚? .下列各組對(duì)象中，不能組成集合的是()A所有的正六邊形B數(shù)學(xué)必修1中的所有習(xí)題C所有的數(shù)學(xué)容易題D所有的有理數(shù)2 .由下列對(duì)象組成的集體屬于集合的是()(1)不超過(guò) 的正整數(shù)；(2)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題； (3)中國(guó)的大城市(4)平方后等于自身的數(shù)；500分以上的學(xué)生.B. (3) (4) (5)D. (1) (2) (4)(有一個(gè)確定的衡量標(biāo)準(zhǔn))(集

2、合里的元素都不一樣)(沒(méi)有順序)(5)某校高一 (2)班中考成績(jī)?cè)贏. (1) (2) (3)C. (1) (4) (5)二.元素的特性a、確定性b、互異性c、無(wú)序性(確定性) 例題1:下列各組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合(1) 著名的數(shù)學(xué)家(2) 某校2006年在校的所有高個(gè)子同學(xué)(3) 不超過(guò)10的非負(fù)數(shù)(4) 方程x2 4 0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解(5) J2的近似值的全體例題2:下列各對(duì)象不能夠成集合的是(A某校大于50歲的教師 BC某校的年輕教師D某校30歲的教師 某校的女教師(互異性)例題3:已知集合 S中的元素是a,b,c,其中a,b,c 為AABC的三邊長(zhǎng)，則4 ABC 一定不是(A.銳角三

3、角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形例題4:若-3a-3,2a-1,a2+4,求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)的實(shí)數(shù)集。(集合三要素) 例題 5:a、b6R,集合1 , a+b, a=0 , , b,則 b-a=a三.幾種常見(jiàn)集合自然數(shù)集：N;正整數(shù)集：N*或N+;整 數(shù)集：Z;有理數(shù)集：Q實(shí) 數(shù)集：R。（應(yīng)用，三角函數(shù),數(shù)列）四.集合的分類(lèi)有限集：含有有限個(gè)元素的集合；無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示;例1.下面集合是有限集還是無(wú)限集？（1）不超過(guò)10的非負(fù)偶數(shù)的集合；（2）大于10的所有自然數(shù)組成的集合；（3）方程x2-4=0的解集（4）在平面上到

4、兩定點(diǎn) A、B距離相等的點(diǎn)的集合五.元素與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算集合和元素之間的關(guān)系是屬于（6）和不屬于（） 【典例分析】：1用符號(hào)6或 填空：(1) 0_N*;V2_Z;(-1)0_N*;(2) 273 x x 1v；372_ x x 0；<2 + V5_x|x <2+3；22一(3) 3x|x=n +1,nN*；5x|x=n +1,n N*(4) (-1,1)y|y=x 2；(-1,1) (x, y) |y=x22非空集合 M中的元素只能是1, 2, 3, 4, 5中的某些數(shù)，若 a M,則(6-a)數(shù)。M,試求符合條件的 M的個(gè)3設(shè)A=a,則下列各式中正確的是（）A.0 A B

5、.a AC.a AD.a=Axy1,4方程組的解集是（）xy9A.(5,4)B.5,-4C.(-5,4)D.(5,-4)5已知集合 M=m|m=a+ M 2 b,a,b 6 Q,則下列元素中屬于集合M的元素個(gè)數(shù)是（1m=1+ V2； 2m= V7 2而；3m=； 4m= V2 J3 +2 <32 .2A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)六.集合的表示方法1、列舉法：把元素一一列舉在大括號(hào)內(nèi)的表示方法；注 意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。例題1：設(shè)集合A k2 k,2k ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍例題2： 3.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為x,-,1 ，也可表示為x,x y,0x一

6、 53，則x y的值為（）A.0B.1C.-1 D.12、描述法：有以下兩種描述方式1）代號(hào)描述：例 方程x2-3x+2=0的所有解組成的集合，可表示為x|x2-3x+2=0 。x是集合中元素的代號(hào)，豎線也可以寫(xiě)成冒號(hào)或者分號(hào)，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符號(hào)的條件。（代號(hào)不一樣，所表示含義也不一樣）例題1：已知集合 a x, y y gx 0 ,集合Bx,yx2y a 2 1,若AIB B,則a的取值范圍是（）A. 2, B. , 2 C. 2,2 D. , 2 U 2,例題2：.已知集合A= xRax2 6x 4 0,a R，若A中的元素至多有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2）文字描述

7、：將說(shuō)明元素性質(zhì)的一句話(huà)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。例 大于2小于5的整數(shù);描述法表示的集合一 旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就是說(shuō)要判斷元素到底是什么。3、區(qū)間表示法：數(shù)軸上得一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間，開(kāi)區(qū)間用小括號(hào)表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號(hào)表示，是大于等于或小于等于的意思。例（2,3） , 2,3,（2,3, 2,3 ）例題 1 .集合 Ax R x2 x 6 0 ,B x R|x 2 2 ,則 AI B .例題2.設(shè)Sx x2 2x 3 0 ,P x x q,若PS ,則q的取值范圍是（）4、圖像表示法：數(shù)軸、坐標(biāo)系、維恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個(gè)集

8、合之間的所有關(guān)系。數(shù)軸表示法：常與區(qū)間法表示同時(shí)使用坐標(biāo)系表示法：例題1.已知集合a x, y y J3x 0 ,集合Bx,yx2y a 1 ,右AIB B,則a的取值范圍是（）A. 2, B. , 2 C. 2,2 D. , 2 U 2,題型1:表示集合2:畫(huà)圖（a、常規(guī)（標(biāo)數(shù)）b 、創(chuàng)新）常規(guī)：例題2:設(shè)I為全集，S1、&、S3是I的三個(gè)非空子集且SiS2S3=I，則下面論斷正確的是（）A.CiSi（S2 S3）= B.S 1（CiS2 CS3）C.GS1CS2 CS3 =D.Si（C1S2 CS3）例題3:設(shè)集合M,N是非空集合，且 M N U （U為全集），則下列集合表示空集的

9、是（）A. M I （CuN）B. （CuM）I NC. （CuM ） I （CU N） D.M I N例題 4:全集 S=1、2、3、4、5、6、7、8, A B=1、2 , A CsB=5,C SACsB=6、7,求 B創(chuàng)新：例題5:已知集合 A,B屬于全集I,如果規(guī)定集合 A-B表示在集合 A中不在集合B中，那么B-A-（A-B）=七.集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算1、子集與真子集: 1已知集合M滿(mǎn)足1 , 2 M 1,2,3,4,5,寫(xiě)出這樣的集合 M,有多少個(gè)M2 已知集合 A=x|x 2-2x-3=0 ; B=x|ax-1=0,若 B A,則 a 的值為？3已知A=x|-3 x 4,B

10、=x|2m-1 x m+1,若B A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍4下列命題：1空集沒(méi)有子集；2任何集合至少有兩個(gè)子集；3交集是任何集合的真子集；4>A,則A，其中正確的命題有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C. 2個(gè)D.3個(gè)5已知x|x ； 60=0.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)13已知A=0,1,B=x|xA,則A與B之間的關(guān)系是（）A. A B B.A BC.B AD.A B14 已知集合 A=x|-2k+6<x<k 2-2,B=x|-k<x<k.若 A B,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍.15已知集合A=x|x|號(hào)2 x R , B=x|x間，且際B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2、集合

11、相等 1 設(shè)集合 A=x-y,x+y,xy,B=x 2+y2,x2-y2,0,且 A=B,試求實(shí)數(shù) x 和 y 的值及集合 A、B.2 若 A=x|x=4n+1,n Z,B=x|x=4n-3,n Z,C=x|x=8n+1,n Z,則 A,B,C 之間的關(guān)系是（ ）A.C B A B.A B C C.C A=BD.A=B=C=1 A -1,0,1,2,則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)（）A. 3B. 4C. 6D. 86如圖所示，下列集合關(guān)系正確的有()(1)A B (2)A C (3)B C (4)B DA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 7已知集合A=x|1<ax<2,B=x|x|<

12、1,滿(mǎn)足A B,求實(shí)數(shù)a的范圍。8 若集合 A=x|x 2+x-6=0,B=x|mx+1=0,BA,求 m 的值。9 設(shè)集合 A=x|x 2+4x=0,x R,B=x|x 2+2(a+1)x+a2-1=0,若 B A,求實(shí)數(shù) a 的值。10 已知 A=x|x<-2 或 x>3,B=x|4x+m<0,當(dāng) A B 時(shí)，求 m 的取值范圍.11 已知集合 A=x|x-a|=4,集合 B=1,2,b.（1）是否存在實(shí)數(shù)a的值，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)b都有A B若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不 存在，試說(shuō)明理由；若A B成立，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（a,b）.12下列各式正確的個(gè)數(shù)是（）U0 0 ,

13、1, 2 20 , 1, 2 2, 1, 0 30,1,2© =0 ;50 , 1= （0,3、集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系1判斷下列集合A與B的關(guān)系：(1) A=x|x>-2,B=x|x>-1;(2) A=x|x是4的約數(shù) , B=x|x是8的約數(shù);(3) A=x|x是正三角形 , B=x|x是有一個(gè)角為60°的等腰三角形(4) A=x|x=2n,n Z ,B=x|x=4n,n Z;(5) A=x|x 已知集合 M=1,2,a3 *-a,N=0,a+1,3-a2,且 MB.0,1C.1-x=0,B=x|x= 1_(-1) 22 設(shè)集合 M=x|x= k +

14、1,k Z,N=x|x= K +1,k 2,則()2 44 2A.M=NB.M NC.M ND.M N=4、正確判斷元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系 1以下各組中兩個(gè)對(duì)象是什么關(guān)系，用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示出來(lái) .10與0；四與 ；3 與0；圖0, 1與 (0, 1) ; 5 (b,a) 與 (a,b) 5、有限集合的子集問(wèn)題(注意空集，空集是任意集合的子集)1給出的下列命題，正確的個(gè)數(shù)是()1交集沒(méi)有子集2交集是任何一個(gè)集合的真子集3任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集 口果集合B A,那么若元素不屬于A,則必不屬于B.A.0B.1C.2D.36、交集的定義1 設(shè)全集 U=Z,將下列集合 A=x|x

15、=3k,k Z、B=y|y=3k+1,k Z、C=z|z=3k+2,k Z、 D=w|w=6k+1,k Z的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，并求 A B ,A C,B C,B D.A .0設(shè)集合A=x|-1A.x|0 x 2N=0,1,則實(shí)數(shù)a的解集是()D.B=()4 D.x|1 x 4N=0,1,則由實(shí)數(shù)a所有取值組成的集合是()A.0B.0,17、并集的定義C.1D.設(shè) A=x|2x 2-px+q=0,B=x|6x2+(p+2)x+5+q=0,若 A B= - ,貝U A B=( 2).A. 1,1 ,-4B. 1 ,-42 32設(shè)集合A=1,2,則滿(mǎn)足A1 1"3D.2B=1,2,3

16、的集合B的個(gè)數(shù)()A.1B.3C.4D.8滿(mǎn)足條件MU1=1 , 2,A.4B.33的集合M的個(gè)數(shù)是(C.2D.1若三個(gè)方程乂2+42乂-42+3=0,4+四-1伙+22=0,/+22乂-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5 設(shè)集合|a+1|, 3, 5, B2a+1,a2+2a,a2+2a-1,當(dāng) A B=2,3時(shí)，求 A B8、交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)1 設(shè)集合 A=x|x 2-3x+2=0,B=x|2x 2-ax+2=0,若 A B=A,求實(shí)數(shù) a 的值.2 若集合 P=1,2,3,m,Q= m2 ,3,滿(mǎn)足 P Q=Q,求 m 的值.9、全集與補(bǔ)集 1若集合U=小于

17、10的正整數(shù), A U,B U且（CuA）B=1,9,AB=2,（C uA）（CuB尸4,6,8,求 A 和 B.2 已知 A=x|x2-2x-8=0,B=x|x 2+ax+a2-12=0,若 B A A,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.10、子集、交集、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算1設(shè)I為全集，Si、S2、S3是I的三個(gè)非空子集且S1 S2 S3=I，則下面論斷正確的是（A.CiSi(S2 S3)=C.CiSiCiS2 CiS3B.Si (CiS2 CiS3)D.Si (CiS2 CiS3)2設(shè)全集是實(shí)數(shù)集 R,M=x|-2 x 2,N=x|x<1,故M N等于().A.x|x<-2Bx|-2<

18、;x<1C.x|x<1D.-2 x<13 已知全集 U=R,A=x|-4 x<2,B=x|-1<x3,P=x|x 0 或 x 5,2求 AB,(CuB)P,(A B) (CuP)4若集合A=1,3,x,B=1,x 2,AB=1,3,x,則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)乂有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5設(shè)M、P是兩個(gè)非空集合，規(guī)定M-P=x|x M且x P,根據(jù)這一規(guī)定，M-(M-P)等于(A.MB.PC.MU D.MP6 設(shè)全集 U=(x,y)|x,y R,集合M=(x,y)| -=1,N=(x,y)|yx+1,那么 CuM CuN 等于()x 2A.B.(2,3)C.(2,3)D.(x,y)|y x+1集合講義答案一、1、 C 2、 C二、1、（3） （4）2、C3、D4、0或 15、2四、有限集 無(wú)限集 有限集 無(wú)限集五、1、 （1） ； ； 6（2） ;（3）;（4）;2、7 個(gè) 3、C 4、D 5、C六、（一）1、k|k 0 且 k 32、C（二）1、B2、a | a 9/4（三）1、（0,3）2、（巴 1（四）