2019秋浙教版八年級上冊數(shù)學同步測試試題：對點專題提升1——有關(guān)全等三角形的開放題與探究題

1、對點專題提升1 有關(guān)全等三角形的開放題與探究題教材母題（教材P35探究活動）如圖，在4ABC和4DEF中，B, E, C, F在同一條直線上.下面給出四個論斷： AB = DE;AC=DF;/ABC=/DEF;BE=CF.任選三個作為已知條件，余下一個作為結(jié)論，可得到幾個命題？其中真命題有幾個？分 別給出證明.（教材母題圖）解：（1）為條件, 為結(jié)論;v BE=CF,BE+CE = CF + CE,即 BC=EF,在 ABC和 DEF中, | AB=DE,</ABC= / DEF, Ibc=ef,.ABCADEF(SAS),-，- AC= DF.故本命題為真命題；(2)為條件，為結(jié)論；.

2、 BE=CF, . BE+CE=CF+CE,即 BC=EF,'AB=DE,在 AABC 和 ADEF 中，AC=DF, 【BC=EF,.ABCADEF(SSS,丁. / ABC= / DEF.故本命題為真命題；(3)為條件，為結(jié)論；無法證明ABCzXDEF,故本命題不是真命題.(4)為條件，為結(jié)論；無法證明ABCzXDEF,故本命題不是真命題.綜上所述，可得到4個命題，其中真命題有2個.【思想方法】 判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA、AAS HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與， 若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必

3、須是兩邊的夾角.變形條件探索型問題1 .余姚期中如圖，下列條件中，不能證明 ABD04ACD的是（D ）A. BD=DC, AB=ACB. /ADB=/ADC, BD = DCC. /B=/C, Z BAD =Z CADD. / B=/C, BD = DC【解析】 全等三角形的判定定理有 SAS, ASA, AAS, SSS根據(jù)全等三角形的判定定 理逐個判斷即可.2 .臺州校級期中如圖，在4ABC和4DEF中，/B=/DEF, AB=DE,添加下列一個條件后，仍然不能證明 ABC04DEF,這個條件是（D ）A. /A=/DB. BC=EFC. / ACB=/ FD. AC = DF【解析】.

4、 /B=/DEF, AB=DE,添加/A=/D,利用 ASA可得ABCDEF;添力口 BC=EF,禾I用 SAS可得ABCDEF;添力口/ACB=/F,利用 AAS可得ABCDEF.故選D.3 .杭州臨安區(qū)期末如圖，/C=/D = 90°,添加一個條件：AC=AD 等（答案不唯一）_（寫出一個條件即可），可使RtABC與RtABD全等.（第3題圖）（第4題圖）4 .金華校級期中已知：如圖，D, E是4ABC中BC邊上的兩點，AD = AE,要證明 ABEAACD,應(yīng)該再增加一個什么條件？請你增加這個條件后再給予證明.解：本題答案不唯一，增加一個條件可以是：EC=BD或AB = AC或

5、BE=CD或/B=/C或/BAD=/CAE或/BAE= / CAD 等.證明：AD = AE, . ADE=/AED, . EC=BD, .CD = BD, .ABEAACD(SAS).變形結(jié)論探索型問題5.杭州上城區(qū)期末如圖，在 ABC中，/ C = 90°, AC=BC, AD平分/ CAB交BC 于點D, DELAB于點E,有下列說法：CD = BE;/ ADB= 112.5 °AC+CD = AB;若 DEB的面積為1,點P是邊AB上的中點，則a ADP的面積為2 +e.其中 正確的是（A ）B.A.C.D.【解析】:ABC為等腰直角三角形，/B=45°,

6、DE=BE,.CD=DE, ；CD = BE,故正確. 1_。. AD 平分/CAB, ./ DAB = /CAB=22.5 ,又./B = 45； .在 4ADB 中，/ ADB= 180 = / DAB/B= 112.5 .故正確.,. ACDAAED(AAS), .ac = ae.又CD = BE,.AC+CD = AE+BE = AB.故正確.DEB為等腰直角三角形， . DE=BE=V2, BD = 2, .BC=V2 + 2, AB = 2 + 272,P 為 AB 中點，.AP=1AB=1 + V2. Saadp=/P DE=；x(1 +也)乂/=1+冬，故錯誤.（第5題圖）（第

7、6題圖）6.臺州校級期中如圖，在RtAABC中，/ B = 45°, AB = AC,點D為BC中點，直角ZMDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM, DN分別與邊AB, AC交于E, F兩點，下列結(jié)論：4DEF 是等腰直角三角形；AE=CF;BE+CF = EF; ®ABDEAADF,其中正確結(jié)論是 （C ）A.B.C.D.【解析】. /B = 45°, AB = AC, . ABC是等腰直角三角形, 點D為BC中點， .AD=CD=BD, ADXBC, /CAD = 45°, ./ CAD= /B, / MDN是直角， ./ADF+ /ADE = 90°,B

8、DE+ /ADE=/ADB = 90°, ./ADF= /BDE,ABDEffiAADF 中,/CAD=/B, AD = BD, /ADF = /BDE,.BDEAADF(ASA),故正確; .DE=DF, BE=AF,.DEF是等腰直角三角形，故 正確；. AE=ABBE, CF = AC AF,；AE=CF,故正確； v BE+CF = AF + AE,.BE+CF>EF,故錯誤.故選C.7.紹興柯橋區(qū)校級期中如圖所示，在4ABC中，AB=AC, AD是4ABC的角平分線， DEXAB, DFXAC,垂足分別是 E, F.則下面結(jié)論中：DA平分/EDF;AE=AF, DE

9、= DF;AD上的點到B, C兩點的距離相等；圖中共有 3對全等三角形，正確的 有一一.（第7題圖）【解析】 已知DELAB, DFXAC, AD平分/BAC,丁./ EDA= / FDA,正確;可證ADEzXADF,故有AE = AF, DE = DF,正確；AD是4ABC的平分線，AB = AC,根據(jù)“三線合一”可知AD是BC的垂直平分線，.AD上的點到B, C兩點距離相等，正確；根據(jù)圖形的對稱性可知，圖中共有 3對全等三角形，正確.8.臺州校級期中如圖，4ABC是等邊三角形，D, E分別為BC, AC的中點，P是AD 上一動點，當EP+PC最短時，PE, PC滿足的數(shù)量關(guān)系是 PC =

10、2PE .ZJ D第8題答圖（第8題圖）【解析】:ABC是等邊三角形，D為BC的中點,ADXBC, BD=CD,B, C關(guān)于直線AD對稱， .如答圖,連結(jié)BE,交AD于點P ；則此時EP+PC最短，.E為AC的中點,BEXAC, / ABE=/CBE=30°, ./PCB = 30°, a Z PCE=30°, . P'C=2P'E.9 .寧波校級期中如圖，已知點P為/AOB的角平分線上的一點，點D在邊OA上.愛 動腦筋的小剛經(jīng)過仔細觀察后，進行如下操作：在邊 OB上取一點E,使得PE=PD, 這時他發(fā)現(xiàn)/ OEP與/ ODP之間有一定的數(shù)量關(guān)系，

11、請你寫出/ OEP與/ ODP所有可 能的數(shù)量關(guān)系.（第9題圖）第9題答圖解：數(shù)量關(guān)系是/OEP=/ODP或/OEP+/ODP=180°.理由：如答圖，以。為圓心，以O(shè)D為半徑作弧，交 OB于E2,連結(jié)PE2,根據(jù)SAS證£20P0/XDOP,推出E2P=PD,得出此時點E2符合條件，此時/0E2P=/0DP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交0B于另一點Ei,連結(jié)PEi,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出 / PE2Ei= / PE1E2,求出/ OEiP+ /ODP = 180 :10 .樂清校級期中如圖，在 ABC中，AB=AC, /A=100°,沿BD對折恰使點A落 在

12、BC邊上的E點，EC上有一點F,且DF = CF.求證：DF = AD;(2)猜想：BC與BD + AD的關(guān)系，并說明理由.(第10題圖)解：(1):/A=100°,AB = AC, a Z C = 40°,又DF = CF, ./ DFE = 80°,BED= /A=100°, ./ DEF=80°, .DE=DF, .DE = AD, .DF=AD.(2)BC= BD+AD.理由：./ DEF= /DFE = 80 ; ./EDF = 20°, ./BDF = 80°, .BD=BF, .CF=DF=AD,BC=BF+F

13、C = BD + AD.11.金華校級期中如圖，AD是4ABC的高線，E為AC上一點，BE交AD于F,且有DC = FD, AC=BF.(1)證明： BFDAACD;(2)若 AB = Ji0,求 AD 的長；(3)請猜想BF和AC的位置關(guān)系并說明理由.(第11題圖)解：(1)證明：:AD是4ABC的高線，.ACD與4BFD都是直角三角形，. DC=FD, AC=BF, RtABFDRtAACD.(2) /RtAACDRtABFD, .AD = BD.在 RtABD 中，AD2+BD2 = AB2,2AD2=AB2,.AD =或；(3)BF，AC.理由:,. ADCABDF, . / EBC=

14、 / DAC.又 vZ DAC + / ACD = 90 ； e / EBC + / ACD = 90 ; ./BEC=90°, .BFIAC.12.臺州校級期中(1)閱讀理解：如圖1,在四邊形ABCD中，AB/DC, E是BC的中 點，若AE是/BAD的平分線，試判斷AB, AD, DC之間的等量關(guān)系.解決此問題可 以用如下方法：延長 AE交DC的延長線于點F,易證AEB04FEC,得到AB=FC, 從而把AB, AD, DC轉(zhuǎn)化到 ADF中即可判斷.請將上述方法補充完整；問題探究：如圖2,在四邊形 ABCD中，AB/DC, AF與DC的延長線交于點F, E 是BC的中點，若AE是

15、/BAF的平分線，試探究AB, AF, CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(第12題圖)解：(1) v AB/ DC, . . ZBAF=ZF, : E是BC的中點，；CE = BE, AAEBffiAFEC 中，./BAF=/F, /AEB=/FEC, BE = CE, .AEBAFEC, .AB=FC,: AE是/BAD的平分線， ./DAF=/BAF, ./DAF = /F,DF = AD, . AD=DC+CF=DC + AB;(2)AB=AF+CF.證明：如答圖，延長 AE交DF的延長線于點G,第12題答圖: E是BC的中點，；CE = BE,. AB/DC, ./BAE=/G,在

16、AAEB和AGEC中，/BAE=/G, /AEB=/GEC, BE = CE,.AEBAGEC, . AB=GC,AE是/BAF的平分線, ./ BAG= / FAG, ./FAG=/G, .FA=FG, . AB=CG = AF+CF.13.杭州上城區(qū)校級期中如圖，在 ABC中，BELAC于E,且/ABE=/CBE.(1)求證：AB=CB;(2)若 / ABC = 45°, CD，AB于D, F 為 BC 中點，BE 與 DF, DC 分別交于點 G, H;判斷線段BH與AC相等嗎？請說明理由；求證：BG2 GE2=EA2(第13題圖)第13題答圖解：(1)證明：在4ABE與4CB

17、E中,/ABE=/CBE,B BE=BE, l/BEA=/BEC,.ABEACBE(SAS), .AB=CB.(2) BH = AC.理由：./BDC=/BEC=/CDA = 90 °, /ABC = 45 ； ./BCD=/ABC = 45°, /A+/DCA=90°, /A+/ABE=90°, .DB=DC, /ABE=/DCA,在DBH與ADCA中，/DBH = /DCA,B BD = CD,/BDH = /CDA,.DBHADCA(ASA),BH = AC.證明：如答圖，連結(jié)CG, AG,. AB=BC, BEXAC, .BE垂直平分 AC, .

18、AG = CG,.F點是BC的中點,DB = DC, DF垂直平分BC, .BG=CG, .AG=BG,在 RtAEG 中，AG2GE2=EA2,BG2 GE2=EA2.14.金華校級期中如圖，等腰直角三角形ABC中，/ABC=90°,點P在AC上，將4ABP 繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到 CBQ.（第14題圖）求/PCQ的度數(shù)；當AB = 4, AP ： CP=1 ： 3時，求PQ的長；當點P在線段AC上運動時（P不與A, C重合），請寫出一個反映PA2, PC2, PB2之 間關(guān)系的等式，并加以證明.解：由題意知，ABP04CBQ, / A= / ACB= /

19、BCQ = 45°, ./ PCQ= /ACB+/BCQ = 90°(2)當 AB = 4, AP： PC=1 ： 3 時，有 AC=4V2, AP=V2, PC = 372, . PQ= PC2+CQ2 =2a/5;(3)存在 2PB2=PA2+PC2易證ABPa是等腰直角三角形，. pq=/2pb,AP= CQ,PQ2= PC2+ CQ2= PA2+ pc2,故有 2PB2=PA2+PC2變形3 條件、結(jié)論都探索的問題15.紹興柯橋區(qū)校級期中學完”等腰三角形” 一章后，老師布置了一道思考題：如圖1,點M, N分別在正三角形 ABC的BC, CA邊上，且BM=CN, AM

20、, BN交于點Q. 求證：/ BQM = 60°.(1)請你完成這道思考題；(2)做完(1)后，同學們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中 “BM=CN”與"/ BQM = 60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？如圖2,若將題中的點M, N分別移動到BC, CA的延長線上，是否仍能得到/ BQM = 60°?圖I(第15題圖)請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否"： 是 ;上.選擇一個給出證明.解：(1)證明：:ABC為等邊三角形, .AB=BC, /ABC=/C = 60°,'AB=BC,在AAB

21、M 和ABCN 中，/ABM=/C,LBM = CN,.ABMABCN(SAS), ./ BAM =/CBN,丁. / BQM = / BAM + / ABQ= / CBN+ / ABQ= / ABM = 60°(2)是，證明如下： . /BQM = 60°,BQM=/ABM, ./ BAM+/ABQ=/CBN+/ABQ, ./ BAM =/CBN,、BAM=/CBN,在AABM 和ABCN 中，AB=BC,/ABM=/C,.ABMABCN(ASA),BM=CN;是，證明方法同(1).16 .海寧校級期末探究題：(1)如圖1, 4ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，動點P

22、在邊BC上，若這兩點分 別從C, B點同時出發(fā)，以相同的速度由 C向A和由B向C運動，連結(jié)AP, BD交于 點Q,兩點運動過程中AP=BD成立嗎？請證明你的結(jié)論；如果把原題中：“動點D在邊CA上，動點P在邊BC上”改為“動點D, P在射線 CA和射線BC上運動”，其他條件不變，如圖 2所示，兩點運動過程中/ BQP的大小 保持不變.求證：/ BQP = 60°(3)如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連結(jié)PD 交BC于E”，其他條件不變，如圖3,則動點D, P在運動過程中，DE始終等于PE 嗎？寫出證明過程.圖I圖2圖3(第16題圖)解：(1)成立.證明

23、：: ABC是等邊三角形,.C=/ABP = 60°, AB=BC,根據(jù)題意得CD = BP,.ABPABCD(SAS), . AP=BD;(2)證明：根據(jù)題意CP = AD, .CP+BC=AD + AC,即 BP=CD,.ABPABCD(SA9, ./APB= /BDC,APB+/PAC=/ACB=60°, /DAQ=/PAC, ./ BDC+ /DAQ=/BQP = 60°(3)DE=PE.證明：如答圖，過點 D作DG/AB交BC于點G,第16題答圖 ./CDG=/C=/CGD=60°, /GDE=/BPE, .DCG為等邊三角形， .DG=CD

24、= BP, ./DEG=/PEB,.DGEPBE(AAS), .DE = PE.變形圖形變化型問題17.杭州臨安區(qū)期末在直線上順次取 A, B, C三點，分別以AB, BC為邊長在直線的同側(cè)作正三角形，作得兩個正三角形的另一頂點分別為D, E.(1)如圖1,連結(jié)CD, AE,求證：CD=AE;(2)如圖2,若 AB=1, BC = 2,求 DE的長；(3)如圖3,將圖2中的正三角形BCE繞B點作適當?shù)男D(zhuǎn)，連結(jié) AE,若有DE2+BE2 = AE2,試求/ DEB的度數(shù).解：(1)證明：:ABD和4ECB都是等邊三角形, .AD=AB=BD, BC=BE=EC,/ABD=/ EBC=60

25、76;, ./ABE= /DBC,'AB=DB, 在 AABE 和 ADBC 中，/ABE=/DBC,.BE=BC,.ABEADBC, .AE=DC;(2)如答圖，取BE中點F,連結(jié)DF ,. BD=AB=1, BE=BC = 2,/ABD=/ EBC=60°, . BF=EF = 1 = BD, /DBF = 60°, .DBF是等邊三角形， .DF=BF=EF, /DFB = 60°,./ BFD= ZFED+ZFDE, ./ FDE= /FED = 30°, ./EDB=180° DBE/DEB = 90°, DE =

26、bE2BD2 =722-12 = V3;第17題答圖如答圖，連結(jié)DC,: ABD和 ECB都是等邊三角形， .AD=AB=BD, BC=BE=EC,/ABD=/ EBC=60°, ./ABE= /DBC,'AB=DB,在 AABE 和 ADBC 中，4/ABE=/DBC,BE=BC,.ABEADBC, .AE=DC.DE2+BE2=AE2, BE=CE, . DE2+CE2=CD2, ./DEC=90°, ./BEC=60°,丁. / DEB= / DEC / BEC = 30°.18.湖州校級期中已知點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與

27、A, B重合），分 別過A, B向直線CP作垂線，垂足分別為E, F, Q為斜邊AB的中點.（1）如圖1,當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是 AE / BF, QE與QF的數(shù)量關(guān)系為 QE=QF （2）如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給 予證明；（提示：延長FQ與AE交于點D）（3）如圖3,當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，止匕時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出 圖形并給予證明.（第18題圖）解：（1）AE/BF, QE = QF.Q 為 AB 中點,. .AQ=BQ, v BFXCP, AEXCP, .BF/AE, / BFQ=/AEQ=9

28、0°,NBFQ=/AEQ, 在 ABFQ 和AAEQ 中，/BQF=/AQE, bq=aq,.BFQAAEQ(AAS), .QE = QF.(2)QE=QF.證明：如答圖，延長FQ交AE于D, Q 為 AB 中點,. .AQ=BQ, BFXCP, AEXCP,BF/AE, ./ QAD=/FBQ,、FBQ=/DAQ, 在 AFBQ 和ADAQ 中，BQ = AQ,l/BQF=/AQD,.FBQADAQ(ASA), .QF=QD, VAEXCP,EQM RtADEF斜邊上的中線， .QE=QF=QD,即 QE=QF.第18題答圖(3)(2)中的結(jié)論仍然成立.證明：如答圖，延長EQ, FB交于D, Q 為 AB 中點,. .AQ=BQ, v BFXCP, AEXCP, .BF/AE, . / 1 = /D,'/ 1 = / D,在 4AQE 和 ABaD 中，/2=/3,AQ=BQ,.AQEABQ