2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示講義(含解析)

1、第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示突破點(diǎn)一數(shù)列的通項(xiàng)公式抓牢雙基自學(xué)回扣基本知識(shí)1 .數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，_ 數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng)).2 .數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.3 .數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間 的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，即an=f(an1)(或an=f (an1, an2)等)，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列an的遞推公式.4 .

2、 S與an的關(guān)系S, n= 1,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為則an=C這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成8 1, n>2,立.基本能力一、判斷題(對(duì)的打“，”，錯(cuò)的打“x”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).()1(3)若已知數(shù)列an的遞推公式為 an+1 = -且a2=1,則可以寫出數(shù)列&的任何2an 1一項(xiàng).()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,則對(duì)？ nC N,都有an+1 = S+1 S.()答案：(1) X (2) V (3) V (4) X二、填空題11 .數(shù)列an中，a=2,且an+1 = 2ai- 1,則a5的值

3、為11. 一 1 一 .解析：由 & = 2, an+1 = 2an1,得 a2 = 2a1- 1 = 1 - 1 = 0, a3=a2- 1 = 0-1 = - 1, a4=2a3 -1 = 2 1 = 一3 1 d2 a5= 2a4 1 =3-1 =- 4-7答案：-4n1 + a 2 , n為偶數(shù)，12,數(shù)列 an定義如下：a1=1,當(dāng)n>2時(shí)）an=- 1若an = 4,I尸，n為奇數(shù)，L an 1則n的值為解析：困為1a1 - 1 , 以 a2 1 + a1 2 , a3 一 a21 c 11,a4 1 + a2 3, a5 , a6 1 +2a43312 ,11a3

4、=a7= -= -, a8=1+a4=4, a9=-=所以 n= 9.2 a6 3a8 4答案：9,則歷一3是此數(shù)列的第項(xiàng).3 .數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an=T=/n+n+ 1解析：an=.1= In+ 1 即 p- = Jn+ 1 -Jn,n/n + 1 + nnnjm- 1 + y/nnjm 1 -yj n.qiO3=yi0小，回一3是該數(shù)列的第9項(xiàng).答案：94.已知S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且&= n2 + 1,則數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是 答案：an=2 n=1, =2n1, n>2研透高考,潦化提能全析考法考法一利用an與3的關(guān)系求通項(xiàng) S1, n= 1,數(shù)列an的前n項(xiàng)和&a

5、mp;與通項(xiàng)an的關(guān)系為an= ”通過紐帶：an = SSn-Sn 1, n>2,-Sn 1（n>2）,根據(jù)題目已知條件，消掉an或Sn,再利用特殊形式（累乘或累加）或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解.例1（1）（2019 化州模擬）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且log 2（Sn+1） = n+1,則數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 .（2）（2019 廣州測(cè)試）已知數(shù)列曰的各項(xiàng)均為正數(shù)，S為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意nCN, 均有an, S,芯成等差數(shù)列，則 an=.解析（1）由 log 2（Sn+ 1） =n+1,得 Sn+ 1 = 2n+1,當(dāng) n = 1 時(shí)，a=S = 3；當(dāng) n&g

6、t;2 時(shí)，an= SS1=2 ,3, n= 1, 所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=<2n 值？(2)an,a2成等差數(shù)列，2S=an+a2.2當(dāng) n = 1 時(shí)，2s = 2a1 = a1 + a1.又 a1>0, = a= 1.22當(dāng) n > 2 時(shí),2an = 2( Sn S1-1) =an+an an -1 an-1, (an an- 1) (an+ an- 1) = 0.- (an+ an 1)( anan 1) (an+ an 1)= 0,(an+an-1)( anan-1-1) = 0,- an + an i >0, an an-i = 1,.an是以1為

7、首項(xiàng),*.an= n(n N).1為公差的等差數(shù)列,答案(1) an=<； 2 ,n= 1,n>2(2) n方法技巧已知S求an的3個(gè)步驟(1)先利用a1=S求出a;(2)用n-1替換S中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an=$1(n>2)便可求出當(dāng)n>2 時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n>2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n=1與n>2兩段來(lái)寫.考法二利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)例2(1)在數(shù)列an中，a1=2, an+1=an+3n+ 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.n 1(2)在數(shù)列an中,a1=1

8、9; a = kan-1(廿2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式-(3)在數(shù)列an中a = 1, an+1 = 3an+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2 an已知數(shù)列an中，a1f an+1="'求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解(1)因?yàn)?an+1 an=3n+2,所以 an an-1 = 3n 1( n> 2),，、 n 3n+l ,、所以 an= (anan-1) + (an-1 an-2) + + (a2a1)+a1=2( n>2).一1當(dāng) n = 1 時(shí)，a1=2= 2X(3X1+ 1),符合上式,所以 an=3n2+2.n 1, 一、(2)因?yàn)?an=n an i( n>2),

9、 1a2= -ai.2n 2所以 an- 1 =an- 2n-112 n-1 ai 11由累乘法可得 an = a1 - 2 - 3 n= = -(n>2).又 a1=1符合上式，. an=n.,_, , .、，an +1 + 1(3)因?yàn)?an+1 = 3an+ 2,所以 an+1 + 1 = 3(an+1),所以 .=3,所以數(shù)列an+1為等an 1比數(shù)列，公比 q=3,又 a1+1=2,所以 an+1=2 Tn,所以 an=2 3n-一1.- an+1= an+2，a1=1.1 = - + 1,即工一2=1,又d= 1,則工=1, an+1an 2an+1 an2a1是以1為首項(xiàng)，

10、2為公差的等差數(shù)列.)(Dx 2=2 + 2, an = n：2-(n Nj .方法技巧典型的遞推數(shù)列及處理方法WK方法示例an+1= an+ f (n)疊加法a1 = 1, an+1= an+2nan+1 = anf ( n)疊乘法a1-1, 2nanan+1 = Aa+ B(Aw0,1 , Bw0)化為等比數(shù)列a1 = 1 , an + 1 = 2an+ 1Asn a-Ba+C(A, B, C為常數(shù))化為等差數(shù)列3ana _ 1)an+1 o q2an + 3集訓(xùn)沖關(guān)1.考法一已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn="2,則a2 019=()A. 2 018B. 2 01

11、9C. 4 036D. 4 038n + an nan-1an an- 1解析：選B由題意知n>2時(shí)，a1 = Sn-Sn 1 = 7一一工一，化為一=一22n n-1anan1n n-12.考法一已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3, a1=1, S=2an+1,則S=()aii=1，an=n.貝Ua2 019=2 019.故選 B.1一.S+1 3解析：選B 3=2an+1=23+1 2S? 3S=2S+1? k = 故數(shù)列3為等比數(shù)列，公比Sn 2口 3，是2,又S=1,所以3.考法二已知在數(shù)列d中，an+1 = nnan( nC N*),且日=4,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：由nan+1n

12、皿 a2 1 a3 2an+1=-an,得=故=二，一 =:n+2ann + 2 d 3 a2 4an n-1(n>2),以上an 12式子累乘信，01=3 4n-3 n-27 'n-1 nn- 1n+ 1 n n+1.因?yàn)閍1 = 4,所以an=T(n>2).因?yàn)閍1=4滿足上式，所以 an =8 n n+14.考法二已知數(shù)列an滿足 d= 2, an-an 1= n(n>2, n N),則 an=解析：由題意可知， a2- a1 = 2, a3a2=3,，an-an 1 = n( n>2),以上式子累加得，ana = 2+ 3+ n.因?yàn)閍1 = 2,所以

13、an=2+(2 + 3+ n) = 2+n-12 + nn2+n+22= -2( n > 2) 因?yàn)樗詀1 = 2滿足上式,n2+ n+2 an=.2n2+ n+2 答案：一2 一突破點(diǎn)二數(shù)列的性質(zhì)抓牢雙基自學(xué)回扣分類標(biāo)準(zhǔn)滿足條件基本知識(shí)數(shù)列的分類按項(xiàng)數(shù)分類后窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an+ 1>an其中nC N遞減數(shù)列an+ 1<an常數(shù)列an+ 1 = an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù) M使| an| w m擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)基本能力1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=；r那么這個(gè)數(shù)列是 （

14、填遞增或遞減）.3 n 1答案：遞增2 .設(shè)an=- 3n2+ 15n-18,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)的值是 .答案：03 .已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=（n + 2） 7- n,則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n等于8答案：5或6研透高考*深化提能全析考法考法一例1數(shù)列的單調(diào)性已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n'1）,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)為（3A.-B.64c而125口 243解析法一：（作差比較法）an+i-an=（n+1）（2 in+1-n1）=2f-當(dāng) n<2 時(shí)，an+1 an>0,即 an+1>an；當(dāng) n = 2 時(shí)，an+1 an = 0,即 an+1 = an ；

15、 當(dāng) n>2 時(shí)，an+1 an<0,即 an+1 <an.所以 a«a2=a3, a3>a4>a5> - >an,所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3,且a2=a3=2x法二：(作商比較法)an + 1an+ 1an+ 1令一>1,解得n<2；令=1,解得n=2；令<1,解得n>2. ananan又 an>0,故 a1<a2=a3, a3>a4>a5> - > an,所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3,且a2=a3=2x.故選a.答案A方法技巧求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)將數(shù)列視

16、為函數(shù)f(x)當(dāng)xC N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù) f (x)的類型作出相應(yīng)的 函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).an > an- 1(2)通過通項(xiàng)公式 a研究數(shù)列的單調(diào)性，利用(n>2)確定最大項(xiàng)，利用an > an+ 1an< an 1 ,(n>2)確定最小項(xiàng).anW an + 1(3)比較法：an+ 1育有 an+1 an = f (n + 1) f ( n)>0( 或 an>0 時(shí),a >1 ) 5則 an+1 >an,即數(shù)列an遞增數(shù)列，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)為a1 = f(1)；若

17、有 an+1 an = f (n+1) f ( n)<0( 或 an>0 時(shí)，an<1 ),則 an+1<an,即數(shù)列an是 遞減數(shù)列，所以數(shù)列an的最大項(xiàng)為a1 = f(1).考法二數(shù)列的周期性 數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性相類似.求解數(shù)列的周期問題時(shí)，通常是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察規(guī)律.確定出數(shù)列的一個(gè)周期，然后再解決相應(yīng)的問題.例2 (2019 廣西南寧二中、柳州高中聯(lián)考 )已知數(shù)列2 008,2 009,1 , -2 008,， 若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 018項(xiàng)之和S2 018 = .解析由題意可知 an+1=an+an+

18、2, a1=2 008, a2= 2 009, a3=1, a，= 2 008 ,a5= 2 009, a6=1, a7=2 008, a8= 2 009,，an+6=an,即數(shù)列an是以 6 為周期 的數(shù)列,又 a + & + a3 + a4 + a5 + a6 = 0 >S2 018 = 336( a + & + a?+ a4 + st + a6) + ( a + a2)=4 017.答案4 017方法技巧周期數(shù)列的常見形式與解題方法(1)周期數(shù)列的常見形式利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列.(2)解決此類題目的一般方法根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和.集訓(xùn)沖關(guān)1 .考法-若數(shù)列anj 中，ai = 2,a：2=3,ani+1 = anani( n2),則a2 019 =()A. 1B. - 2C. 3D. 3解析：A 因?yàn)?an= an-1 an-2( n >3),所1 以 an+1 =