梯子模型(軌跡的探究)

1、走進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室系列用幾何畫板探究“梯子模型”茂名一中數(shù)學(xué)科組楊金光【片段摘抄】我們將目光落在梯子模型中的MAB的費(fèi)馬點(diǎn)上（或許大家覺得奇怪，怎么會想到這個點(diǎn)呢？其實(shí)沒什么，只是去年有道高考題涉及到費(fèi)馬點(diǎn)，從而產(chǎn)生試試這個點(diǎn)的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）一、幾何畫板軟件簡介幾何畫板是一個適合數(shù)學(xué)和物理學(xué)科輔助教學(xué)的工具，它能為老師和學(xué)生提供一個觀察和探索數(shù)學(xué)圖形或物理現(xiàn)象內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。幾何畫板最大的特色是“動態(tài)性”，即用鼠標(biāo)拖動圖形上的任一元素（點(diǎn)、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系都保持不變。學(xué)生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的

2、過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明，因而也極易激發(fā)或培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。相關(guān)鏈接1：兩位美國中學(xué)生用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了“任意等分線段”的新方法，在美國引起轟動效應(yīng)。我國東北吉林石化實(shí)驗(yàn)學(xué)校的初二學(xué)生關(guān)雪揚(yáng)、黃卉、劉馨，又在兩位美國中學(xué)生的基礎(chǔ)上，加以改進(jìn)、推廣，得到了另一種“等分線段”的新方法。相關(guān)鏈接2:我國東北育才中學(xué)馮偉同學(xué)，利用幾何畫板，在“蝴蝶定理”的基礎(chǔ)上，將一個圓推廣到兩個圓，從而發(fā)現(xiàn)了“廣義蝴蝶定理”。廣義蝴蝶定理：由一個圓改成兩個圓蝴蝶定理：因圖形象一只飛舞的蝴蝶而得名16二、“梯子模型”探究1、什么叫“梯子模型”如下圖，一根長度一定

3、的梯子斜靠在豎直的墻上，當(dāng)梯子底端滑動時，探究梯子上某點(diǎn)（如中點(diǎn)）或梯子構(gòu)成圖形上的點(diǎn)的軌跡的模型，就是所謂的梯子模型。這個點(diǎn)的就建是什瑪？“梯子模型”是個探究性很強(qiáng)的模型。大陸稱它為“定長桿問題；臺灣師范大學(xué)陳創(chuàng)義教授稱它為“等棍問題”。巧的是，我們的高中數(shù)學(xué)必修課本里也出現(xiàn)了“梯子模型”O(jiān)它源自于我們課本的一道題：“定長為2a的一條線段，它的兩個端點(diǎn)分別在x,y軸上滑動，求線段中點(diǎn)的軌跡?！蹦敲?，這個梯子模型，會給我們帶來些什么呢？會有意外的驚喜嗎？正所謂“一沙一世界”，當(dāng)筆者帶領(lǐng)同學(xué)們走進(jìn)“梯子模型”這個世界時，就好象忽然來到一座開滿鮮花的山上，我們隨手摘一朵，都是不知名的花兒，我們陶醉

4、了2、上帝是數(shù)學(xué)家？我們是無神論者，由于在探究梯子模型過程中得到的點(diǎn)的軌跡五花八門，結(jié)果又出乎人的意料，仿佛來自上帝之手，讓人不得不承認(rèn)，原來上帝也偏愛數(shù)學(xué)，上帝是不折不扣的數(shù)學(xué)家。下面我們與學(xué)生一起，先利用幾何畫板軟件，畫出“定長為2a的一條線段，它的兩個端點(diǎn)分別在x,y軸上滑動”的這個梯子模型，然后再去探究梯子模型的點(diǎn)的軌跡。（1）探究梯子及其延長線上的點(diǎn)的軌跡梯子中點(diǎn)的軌跡（圓，見圖1）梯子非中點(diǎn)的軌跡（橢圓,見圖1）梯子延長線上點(diǎn)的軌跡（橢圓，見圖1）相關(guān)鏈接3:人們利用梯子模型的特性，發(fā)明了“橢圓規(guī)”有了它，同學(xué)們就可以象用圓規(guī)畫圓那樣，輕易地畫出橢圓了。（圖1）（圖2）（2） 探究

5、梯子本身的軌跡利用幾何畫板的跟蹤功能，跟蹤梯子本身，我們得到一個星形。（見圖2）星形，太漂亮了，她來得太突然了，我們一點(diǎn)思想準(zhǔn)備都沒有。她常在清涼夏夜閃亮登場，她是退潮時海灘浪漫的海星。333相關(guān)鏈接4：星形線。它的直角坐標(biāo)方程是：x2+y，=a參數(shù)方3,程是：|x-aCOs3t，其中t為參數(shù).星形線有著廣泛的應(yīng)用.如公共汽車折y=asint疊式的門開與關(guān)時，就劃出星形線.這種門能比普通門節(jié)約了更多空間，使車輛載更多的乘客。相關(guān)鏈接5:星形線的另一種形成方法.一個小圓在一個大圓內(nèi)滾動，小圓上某一固定點(diǎn)形成的軌跡.星形線是內(nèi)擺線.如右圖.（3） 探究梯子上與某線垂直相交的交點(diǎn)（垂足）的軌跡如果我

6、們過平面上任一點(diǎn)Q作梯子AB的垂線，垂足P的軌跡會是什么呢？Q的位置不特殊（軌跡有點(diǎn)象導(dǎo)彈，見圖3）Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合（軌跡是玫瑰線，或稱梅花，見圖4）（圖3）（圖4）哈，難以想象，一個人類最可惡的東西（導(dǎo)彈）和一個人類最可愛的東西（玫瑰）居然會同時出現(xiàn)在梯子模型中，且是通過同一方法得到，正與邪只不過是一念之差，一紙之隔。我們由得到了玫瑰，自然愛不釋手，于是突發(fā)奇想：變形1:把墻與地面弄成不垂直，垂足軌跡會是什么？（不是吧，居然是古代女孩子頭發(fā)上蝴蝶結(jié)。難怪此圖一出，女同學(xué)馬上尖叫起來了。見圖5）變形2:墻與地面依然垂直，只是把梯子作平行滑動，跟蹤中得到的軌跡，形成了色彩斑斕的蝴蝶，見圖6。（圖5

7、）（圖6）初步的探究，讓我們驚喜頻頻.我們仿佛看到，在一個開滿鮮花的山上，一個頭戴蝴蝶結(jié)的小姑娘，正在追逐著一只色彩斑斕的蝴蝶。不知不覺，天已暗下來，星星卻掛滿了天幕。正是這種驚喜，使我們倍受鼓舞。坐在山坡上，一陣陣花香飄來，我們精神為之一振，決心乘勝追擊，擴(kuò)大戰(zhàn)果。（4） 探究三角形的各種心的軌跡珠江三角洲I、長江三角洲的富裕發(fā)達(dá)，眾所周知。梯子模型,好象也有好幾個三角洲（形）喲，我們會滿載而歸嗎？三角形的內(nèi)心軌跡（設(shè)Q是平面上任一點(diǎn)）a）gAB的內(nèi)心P的軌跡i）將Q拖至M處（P點(diǎn)軌跡是正方形，見圖7）意外，太意外，剛才軌跡都還是曲的，現(xiàn)在突然成了方的。這難道是暗示著“方與圓的既矛盾又統(tǒng)一”

8、辯證法原理？ii）將Q拖至。處（P點(diǎn)軌跡是“X”形，見圖。）這就怪了，怎么出現(xiàn)一個“X”形，難道這是梯子模型中的禁區(qū)？我們無意中闖了進(jìn)來，有打擾之處，還請多多見諒。iii）將Q在平面上拖動（會變出許多圖形，見圖9）（圖7）（圖8）（圖9）b）AQAM的內(nèi)心P的軌跡i） Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合（軌跡好象蜘蛛俠的“眼鏡”？見圖10）是不是闖進(jìn)了梯子模型的禁區(qū)，我們都變成蜘蛛俠了？ii） Q在x軸上（P點(diǎn)軌跡象顆花生，見圖11）（圖 10）（圖 11）三角形的內(nèi)心，著實(shí)讓我們的內(nèi)心澎湃，梯子模型太神奇了,一會兒圓，一會兒方，一會兒變成了蜘蛛俠，讓我們好象跨越了時空，在宇宙中翱翔。那么，三角形的其它心呢？外心

9、、旁心、重心、垂心、界心，它們的軌跡又是什么？由于篇幅所限，我們就不在這里展開探究了。有興趣的同學(xué)，可以自己去試試。探究三角形中特殊的心-費(fèi)馬點(diǎn)的軌跡我們將目光落在梯子模型中的MAB的費(fèi)馬點(diǎn)上（或許大家覺得奇怪，怎么會想到這個點(diǎn)上呢？其實(shí)沒什么，只是去年有道高考題涉及到費(fèi)馬點(diǎn)，從而產(chǎn)生試試這個點(diǎn)的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）。如圖12。（圖12）茂名一中?；瘴覀円恢毕胍?，就是在我們茂名一中50周年校慶之際，用我們數(shù)學(xué)特有的圖形語言，表達(dá)我們對學(xué)校的愛。我們無意中，找到的茂名一中?；盏耐庑巍Ｏ嚓P(guān)鏈接6:在一個多邊形中，到每個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個多邊形

10、的費(fèi)馬點(diǎn)。（5）探究角平分線與AM交點(diǎn)軌跡設(shè)N是y軸上高過B點(diǎn)的點(diǎn)，角NBM的平分線與AM交點(diǎn)（軌跡是心形，見圖13）角MOA平分線與AM交點(diǎn)（軌跡是無窮大“8”拶這個結(jié)論還挺數(shù)學(xué)的。見圖14）（圖13）（圖14）天啊，這樣的結(jié)果太意外了。上帝居然將一個偌大的心形，隱藏在這個再普通不過的梯子模型中。這難道有什么居心？是不是想告訴我們，大家只要齊心（）,醫(yī)|就無窮大（OO）呢？相關(guān)鏈接7:韓劇嫂子19歲中的浪漫主義數(shù)學(xué)天才承宰就是通過愛的方程式：17x2-16|x|y+17y2=225/傳達(dá)他對女友柳敏的感情的。而這個方程式:用幾何畫板畫出來，就是右圖。-3、神奇的彩色世界一色彩幾何?幾何畫板不

11、但有極強(qiáng)的動態(tài)探究功能，更有極強(qiáng)的色彩表現(xiàn)功能。如果運(yùn)用得當(dāng)，我們可以得到一個更加神奇、連畫家都自嘆不如的色彩世界。讓我們用幾何畫板跟蹤圖7中的正方形吧。方法是：(1)量度圖7中一些線段的長x;(2)構(gòu)造x的函數(shù)值(如x-trunc(x),tan(x)等)；(3)由計(jì)算得到的值與要表現(xiàn)色彩的點(diǎn)進(jìn)行顏色相關(guān)；(4)滑動梯子AB,跟蹤正方形。由于構(gòu)造出的圖形色彩細(xì)膩、均勻，常伴有各種花紋、臉譜，比如罕見的水果、孫悟空臉譜等,簡直讓人匪思，猶如七仙女手舞仙筆彩帶，在天地間飛舞、作畫。(1)單變量與顏色相關(guān)算式：PO-trunc(PO);得到圖形：圓系。如圖15算式：PM-trunc(PM);得到圖形

12、：街心花園。如圖16算式：PS-trunc(PS);得到圖形：豬都笑了。如圖17。其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，S是角MOA平分線上的一點(diǎn)（圖 15）（圖 16）（圖 17）(2)雙變量與顏色相關(guān)算式：sin(PA+PB);得到圖形：星系。如圖18.算式：sin(PA)+sin(PB)-truncsin(PA)+sin(PB)；得到圖形：神奇“水果”“地毯”如圖19算式：tan-1(PA)-tan-1(PB)-trunctan-1(PA)-tan-1(PB)；得到圖形：四把劍鋒相對的倚天劍。如圖20(圖18)(圖19)(圖20)怎么樣，上面這樣圖，你能畫得如此美麗、精細(xì)、神奇嗎？或許你會說“不但下面一組圖

13、，一定會讓你目瞪口呆，進(jìn)而大嘆不已雙變量中的臉譜世界：算式：sin(PT)+cos(PU)-truncsin(PT)+cos(PU);圖形：中1年孫悟空。其中U,T分別在y軸正半軸和負(fù)半軸上。如圖21算式：sin(PT)+cos(PU)x0.618-truncsin(PT)+cos(PU)X0.618;得到圖形：少年孫悟空。如圖22。算式：sin(PT)+cos(PU)x1.618-truncsin(PT)+cos(PU)X1.618;得到圖形：老年孫悟空。如圖23。（圖 21）（圖 22）（圖 23）細(xì)心的同學(xué)，或許在算法里發(fā)現(xiàn)了一個神奇的數(shù)字，不錯，就是黃金分割率0.618或1.618.(3)三變量與顏色相關(guān)算式：sin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618-truncsin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618;得