信號與系統(tǒng)習題答案 第三章

1、第三章習題基礎(chǔ)題3.1 證明cos t , cos(2t , , cos(nt (n 為正整數(shù),在區(qū)間(0,2的正交集。它是否是完備集? 解:(積分?此含數(shù)集在(0,2為正交集。又有sin(nt 不屬于此含數(shù)集02sin(cos(0nt mt dt =,對于所有的m和n 。由完備正交函數(shù)定義所以此函數(shù)集不完備。 3.2 上題的含數(shù)集在(0,是否為正交集?解:由此可知此含數(shù)集在區(qū)間(0,內(nèi)是正交的。3.3實周期信號(f t 在區(qū)間(,22T T -內(nèi)的能量定義為222(TT E f t dt -=。如有和信號12(f t f t +(1若1(f t 與2(f t 在區(qū)間(,22T T-內(nèi)相互正交

2、,證明和信號的總能量等于各信號的能量之和;(2若1(f t 與2(f t 不是相互正交的,求和信號的總能量。解:(1和信號f(t的能量為222222222221212222(12(T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -=+(少乘以2由1(f t 與2(f t 在區(qū)間內(nèi)正交可得2122(0T T f t f t dt -=則有 22221222(T T T T E f t dt f t dt -=+即此時和信號的總能量等于各信號的能量之和。 和信號的能量為(2222222222221212222(12(T

3、T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -=+(少乘以2吧?由1(f t 與2(f t 在區(qū)間(,22T T-內(nèi)不正交可得 2122(0T T f t f t dt K -=則有2222222212122222(T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt -=+即此時和信號的總能量不等于各信號的能量之和。3.4 求下列周期信號的基波角頻率和周期T 。(1100j te(2 2/3(cos-t (34sin(2cos(t t + (4cos(2cos(3cos(5

4、t t t +(54/sin(2/cos(t t + (6 5/cos(3/cos(2/cos(t t t +解:(1角頻率為=100rad s ,周期22100T s = (2角頻率為2rad s =,周期42T s = (3角頻率為2rad s =,周期2T s =(先求T ,后求omg 吧? (4角頻率為rad s =,周期22T s =(5角頻率為4rad s =,周期28T s = (6角頻率為30rad s =,周期260T s =3.5 用直接計算傅里葉系數(shù)的方法,求圖示周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)(三角形式或指數(shù)形式。 解:(1周期T=4,2T =2=,則有 1, 4k-1 t 4k+

5、1f(t=0, 4k+1 t 4k+3(k 是整數(shù);怎么求的邊界條件? 由此可得222(cos(T T n a f t n t d t T -=221(cos(22n t f t dt -=111cos(22n t dt -=2sin(,0,1,2,2n n n =22221(sin(sin(22T T n n tb f t n t d t f t dt -=111sin(0,1,2,22n t dtn -=(X ?(2周期T=2,2T =,則有sin(,221(0,2122t k t k f t k t k +=+<<+ 由此可得: 1121022111(sin(221,0,1,

6、2,2(1T jn t jn t jn t T n n jn t F f t e d t f t e dt t e dt T e n n -=+=±±- (積分?3.6如圖所示是4個周期相同的信號 (1用直接求傅里葉系數(shù)的方法求圖(a 所示信號的傅里葉級數(shù)(三角形式; (2將圖(a 的函數(shù)1(f t 左(或右移,就得圖(b 的函數(shù)2(f t ,利用(1的結(jié)果求2(f t 的傅里葉級數(shù);(3利用以上結(jié)果求圖(c 的函數(shù)3(f t 的傅里葉級數(shù); (4利用以上結(jié)果求圖(d 的信號4(f t 的傅里葉級數(shù); 解:(1由1(f t 的波形可知12,2(0,2T t kT t kT

7、T f t T kT t kT T +=+<<+ 令2T =,則有220212112121211222cos(sin(sin(,1,2,1cos(1cos(cos(sin(4(2211cos(1cos(sin(4(T TT n n n n n n b n t dt t n t dt n T T T n n n f t n t n t n n T Tf t f t f t f t n n t n t n n -=-=-=+-=+=-=+-2210222cos(cos(T TT n a n t f t dt n t dtT T -=2cos(1,1,2,(n n n -=2210222

8、2sin(sin(cos(,1,2,T T T n b n t f t dt t n t dtT T T n n n -=-=則1(f t 的傅里葉級數(shù)為12111cos(1cos(cos(sin(4(n n n n f t n t n t n n =-=+-(2由2(f t 和1(f t 的波形圖可知21(2T f t f t =+或21(2Tf t f t =- 則2(f t 的傅里葉數(shù)為21(2Tf t f t =+2111cos(1cos(cos (sin (4(22n n n T n T n t n t n n =-=+-+ 2111cos(1cos(cos(sin(4(n n n

9、n n t n n t n n n =-=+-+ 2111cos(1cos(cos(cos(cos(sin(4(n n n n n n t n n t n n =-=+- 21111cos(1cos(sin(4(n n n n t n t n n =-=+-(3由3(f t 的波形可知32(f t f t =-則3(f t 的傅里葉級數(shù)為 32(f t f t =-21111cos(1cos(sin(4(n n n n t n t n n =-=+- 21111cos(1cos(sin(4(n n n n t n t n n =-=+(4有4(f t 的波形可知423(f t f t f t

10、=+ 則4(f t 的傅里葉級數(shù)為4232121cos(1(cos(2(n n f t f t f t n t n =-=+=+3.7試畫出圖示信號的奇分量和偶分量 解:(1由1(f t 的波形求得1(f t -的波形 則奇分量的波形為(od f t =11(2f t f t -偶分量的波形為(ed f t =11(2f t f t +-(2由2(f t 的波形求得2(f t -的波形 則奇分量的波形為(od f t =11(2f t f t -偶分量的波形為(ed f t =11(2f t f t +-3.8利用奇偶性判斷圖示各周期信號的傅里葉級數(shù)中所含有的頻率分量。 解:(1 由1(f t

11、 的波形可知1(f t =1(f t -=1(2tf t -±則有 24(cos(t n a f t n t dt t = ,0,1,2,n =0n b =0242460a a a b b b =則1(f t 的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為奇次余弦波。 (2 由2(f t 的波形可知 22(f t f t =- 則有 0n a =24(sin(,0,1,2,t n b f t n t dt n t =則2(f t 的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為正弦波。 (3 由3(f t 的波形可知33(f t f t =-則有 0n b =24(cos(,0,1,2,t n a f t n t d

12、t n t =即3(f t 的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為奇次余弦波。 (4 由4(f t 的波形可知,4(f t 為奇諧函數(shù),即44(2tf t f t =-±則有 0242460a a a b b b =即4(f t 的傅里葉級數(shù)中只含有奇次諧波,包括正弦波和余弦波。3.9 如圖的周期性方波電壓作用于RL 電路,試求電流(i t 的前五次諧波。 解:由(s u t 的波形圖可知周期22,1T T=,則有1,2222(30,2222s k t k u t k t k -+=+由此可得傅立葉級數(shù)的系數(shù) 222(c o s (Tn s Ta u t n t dt T -= 1(cos(

13、su t nt dt -=221cos(nt dt -= 221021,2,sin(2n dtn n n -=時, a 0時,a n因(s u t 為偶數(shù),則0,1,2,n b n = 則電路激勵(s u t 的前五次諧波為5011222(c o s (5c o sc o s (3c o s (52235s n n a u t a t t t t =+=+-+ 由電路得系統(tǒng)微分方程為'(s i t i t u t +=欲求電流(i t 的前五次諧波,即求此微分方程激勵的前五次諧波的特解。 設(shè)0123456(cos sin cos(3sin(3cos(5sin(5p i t C C t

14、C t C t C t C t C t =+ 代入上面微分方程比較兩邊系數(shù)可得01234561111,215111,56515C C C C C C C =-=-=則電流(i t 的前五次諧波為1111111(c o s s i n c o s (3s i n (3c o s (5s i n (521556515p i t t t t t t t=+-+-+ 3.10求圖示各信號的傅立葉變換。 解:(a 由(1f t 的波形可知(11,00,t f t =其它則(1f t 的傅立葉變換為(110j t j t F j f t e dt e dt -=212j j e sa e j -=(b 由

15、(2f t 的波形可知(21,00,t t f t =其它則(2f t 的傅立葉變換為(2201j t j t F j f t e dt te dt -=2111j j j j e e e j e j j j -=-=- (c 由(3f t 的波形可知(3cos ,1120,t t f t - =其它則(3f t 的傅立葉變換為(33j t F j f t e dt -=11cos 2j t t e dt -= 122112j t j t j t e e e dt -=+ 122112j t j t e e dt -+ -=+ sin sin 2222-+ =+-+22cos 2=- (d 由

16、(4f t 的波形可知(4sin ,220,T Tt t f t -=其它則(4f t 的傅立葉變換為 (44j t F j f t e dt -=(222222sin sin sin 222242sin sin 222T j t T t e dtT T TT j j T T j T j T -=-+ =-+ =- 3.11根據(jù)上題(a (b 的結(jié)果,利用傅立葉變換的性質(zhì),求下圖所示各信號的傅立葉變換。 解: (a 令(1,00,t f t =其它,由上題可知其傅立葉變換為 (22j F j sa e -=由(1f t 的波形可知 (1f t f t f t =- 由傅立葉變換的性質(zhì)可知(1f

17、 t 的傅立葉變換為(22214sin 222j jj F j F j F j sa e sa e - =-=-= (b 令(1,010,t f t =其它,由上題可知其傅立葉變換為 (22jF j sa e -= 由(2f t 的波形可知(233t t f t f t f f t f =+-+- 則由傅立葉變換的性質(zhì)可知,(2f t 的傅立葉變換為(23333F j F j F j F j F j =+-+-3322222333322228sin cos j j j j sa e sa e sa e sa e-=+-+- =(c 由(3f t 的波形可知(2312f t f t dt -=則

18、由傅立葉變換的性質(zhì)可知,(3f t 的傅立葉變換為(311210F j F j F j =+24sin 212j j = 24sin 212j j =228sin 2=(d 令(1,00,t t f t =其它,由前題可知其傅立葉變換為(21j j e j e F j -=- 由(4f t 的波形可知 (422f t f f =- 由傅立葉變換的性質(zhì)可知,(42222F j F j F j =-(2222222121222222cos 2j j j j e j e e j e j-=-=(e 由(5f t 的波形圖可知(sin 6,1150,t t f t -=其他則(5f t 的傅立葉變換為

19、(15522112sin sin 66j t j t j F j f t e dt t e dt -=-(f 由(6f t 的波形圖可知(1cos 10,1061cos 10,010,t t t t t t f t +-+=其他則(6f t 的傅立葉變換為(016611cos 101cos 10j tF j f t edt t t dt t t dt -=+-+(2222224sin 10210+ =-3.12 若(f t 為虛函數(shù),且(F j R jX j =+,試證錯誤!未找到引用源。 (,R R X X =-=- 錯誤!未找到引用源。 (*F j Fj -=-解: 令(f t jg t

20、=,(g t 為t 的實函數(shù),則有 (cos sin j tF j f t edt jg t t j t dt -=-(sin cos g t t dt j g t t dtR jX j -=+=+式中頻譜函數(shù)的實部和虛部為 (sin R g t t dt -=(cos X g t t dt -=則有(sin sin cos cos R g t t dt g t t dt R X g t t dt g t t dt X -=-=-=-=-=即 (,R R X X =-=-由上面結(jié)果可知(*F j R jX j R jX j F j -=-+-=-+=-3.13若(f t 為復函數(shù),可表示為(r

21、 i f t f t jf t =+且(f t 的頻譜函數(shù)為(F j 。式中(r f t 、(i f t 均為實函數(shù),證明: 錯誤!未找到引用源。 (*ft F j 錯誤!未找到引用源。 (1*2r f t F j F j +- (1*2i f t F j F j j -解:錯誤!未找到引用源。(c o s s i nj t ri F j f t e dt f t jf t t j t dt -=+-(cos sin cos sin r i i r f t t f t t dt j f t t f t t dt -=+-而(*r i ft f t jf t =-,則有(*f t (*cos s

22、in j t ri f t e dt f t jf t t j t dt -=- (cos sin cos sin *r i i r f t t f t t dt j f t t f t t dt F j -=-+=- 錯誤!未找到引用源。 由 (r i f t f t jf t =+,(*r i ft f t jf t =-,可知(*1212r i f t f t f t f t f t f t j =+=-由(*,*f t F j f t F j -,利用傅立葉變換的線性性質(zhì)可得(1*21*2r i f t F j F j f t F j F j j +-3.14 據(jù)傅立葉變換對稱性求下列

23、函數(shù)的傅立葉變換錯誤!未找到引用源。 (sin 22,2t f t t t -=-<<-錯誤!未找到引用源。(222,f t t t=-<<+ 錯誤!未找到引用源。(2sin 2,2t f t t t =-<<解: 錯誤!未找到引用源。 由于寬度為,幅度為1的門函數(shù)(g t 的頻譜函數(shù)為2sa ,即 (sin 222g t sa = 取2,=幅度為12,根據(jù)傅立葉變換的線性性質(zhì)有 (211222g t sa sa = 即 (212g t sa 注意到(2g t 是偶函數(shù),根據(jù)對稱性可得(22122sa t g g =根據(jù)時移性和尺度變換可知(241222j

24、sa t g e -由(sin 222222t f t sa t t -=-,可知(24j f t g e -錯誤!未找到引用源。 由于 222te -+可知 22222e e t -=+即 (222,f t t t=-<<+的傅立葉變換為2e - 錯誤!未找到引用源。由于 (21sin 2g t 根據(jù)對稱性可知(4sin 2122t g t 根據(jù)頻域卷積性質(zhì),可得(244sin 2111*2222t g g t 又有(11,424440,4111*222rad srad sg g -<>= 3.15求下列信號的傅立葉變換錯誤!未找到引用源。 (2jtf t e t -

25、=- 錯誤!未找到引用源。(311t f t et -'=-錯誤!未找到引用源。 (2sgn 9f t t =- 錯誤!未找到引用源。 (21tf t et -=+錯誤!未找到引用源。 (12t f t =-解: 錯誤!未找到引用源。已知 (1t 由時移性質(zhì)可得(22j t e -再由頻移性質(zhì)可得(f t 的傅立葉變換(212j jt e t e -+-錯誤!未找到引用源。(311131131t f t e t t t t t -'''=-=-=-+-又(1,t t j '由時移特性可知(f t 的傅立葉變換為(3j F j j e -=+錯誤!未找到引

26、用源。 (26sgn 912f t t g t =-=-又 (36634sin 3j t j t g t g t e dt e dt -=(12則有 (4sin 32f t -錯誤!未找到引用源。 (2212j j ttjte F jf t ed te te d t j +-=+=+錯誤!未找到引用源。 由 (1t j + 利用時移特性可得(11j j e t e j j -+=+再由尺度變換特性可得(22112222j j t e e j j -+=+ 即(f t 的傅立葉變換為(2j e F j j -=+ 3.16 試用時域微積分性質(zhì),求圖示信號的頻譜。 解:(1由(1f t 的波形可得

27、其閉合表達式為(1tf t t t =+- 由此可得(11tf t t t t t '=+-+ 又有(11t j t +可得(j j e t j t e ±±±+± 則有 (12sin 12cos f t '-當0=時上式值為0,則有(1122cos 2sin F f t f t j j '-=錯誤!未找到引用源。 由(2f t 的波形可得其閉合表達式為 (2422444422f t t t t t t t t t =+-+-+- 由此可得 (242442f t t t t t '=+-+-+- 又有 (1t j +可得

28、(22j e t j ±±+ (44j e t j ±±+則有 (28cos cos 24f t j '- 當0=時,上式為0,則有(22316sin sin 88f t 3.17 已知(f t F j ,試求下列函數(shù)的頻譜:錯誤!未找到引用源。 (tf t 錯誤!未找到引用源。 (2t f t - 錯誤!未找到引用源。 (df t tt錯誤!未找到引用源。 (1f t - 錯誤!未找到引用源。 (11t f t - 錯誤!未找到引用源。 (25f t - 錯誤!未找到引用源。 (112t f d -錯誤!未找到引用源。 (32jt e f t

29、-錯誤!未找到引用源。(1*df t t t 解:錯誤!未找到引用源。 根據(jù)頻域微分特性可知(djt f t F j d -則有 (dtf t j F j d 根據(jù)尺度變換特性可得(12222d tf t jF j d 則可得 (1242d tf t jF j d 錯誤!未找到引用源。 根據(jù)頻域微分特性可得(djt f t F j d -則有 (dtf t j F j d 由傅立葉變換的線性性質(zhì)可得(22dt f t jF j F j d - 錯誤!未找到引用源。 由時域微分特性可得(df t j F j dt 又由頻域微分特性可得 (df t djt j F j dt d - 則有 (df

30、t d d t j j F j F j F j dt d d =-+錯誤!未找到引用源。 由反轉(zhuǎn)特性可得 (f t F j - 又由時移特性可得 (1j f t F j e -+-即 (1j f t F j e -錯誤!未找到引用源。 由頻域微分特性可得(dtf t jF j d 由反轉(zhuǎn)特性可得 (dtf t j F j d - 又由時移性質(zhì)可得到(11j dt f t je F j d -+-+- 即 (11j dt f t je F j d - 錯誤!未找到引用源。 由時移性質(zhì)可得(55j f t F j e -又由尺度變換特性可得(5212522j f t F j e - 錯誤!未找到引

31、用源。 由尺度變換特性可得(1222f t F j - 又由時移性質(zhì)可得 (211222j f t e F j - 則有 (2111222j f t e F j - 當0=時,上式為(0F ,又有(11211122t d f t dt f t dt -=- 則利用時域積分性質(zhì)可得(1122102t j d f t dt F e F j dt j - 錯誤!未找到引用源。 由尺度變換特性可得(1222f t F j - 由時移特性可得 (3213222j f t e F j - 又由頻移特性可得(312113222j jte f t e F j - 錯誤!未找到引用源。 由時域微分特性可得(df

32、 t j F j dt 又有 (1sgn j t- 則由時域卷積定理可得 (1*sgn df t j F j j F j dt t-=3.18 求下列函數(shù)的傅立葉逆變換10(1(00w w F jw w w <=>, , 00(2(F jw w w w w =+- (3(2cos(3F jw w = (4(2jw F jw w w e -=-2(2102sin (5(j n wn w F jw ew -+= 解:(1傅立葉逆變換為 0011(22w jwt jwtw f t F jw e dt e dw -= 000sin 1(2jw t jw t w te e jtt-=-=(2

33、由于 12(w 由頻移特性可得012jw t e 0(w w ± 則有000sin(1(2jw t jw tw t f t e e j -=-=(3(F jw 的傅立葉逆變換為3311(2cos(3(22jwtjw jw jwt f t w e dw e e e dt -=+(3(312jw t jw t e e dt +-=+由于(t1,得1(2jwt t e dw -=,則有(3(3f t t t =+- (4(F jw 的傅立葉逆變換為1(2jwt f t F jw e dw -=12jwt e dw -jw -(w-(w-2e2(12(11122(1j t jw t e ed

34、w j t -=-(1sin(1(1j t t e t -=-(52(2102sin (j n w n w F jw ew -+=352sin jw j w j ww e e e w -=+由于2(gt 2sin ww,則由時移特性可知 2(1gt -2s i n jww e w-,2(3gt -32sin j ww e w-, 2(5gt -52sin j ww e w - 則(F jw 的傅立葉逆變換為222(1(3(5f t g t g t g t =-+-+-3.19用傅里葉變換性質(zhì),求如圖所示函數(shù)的傅里葉逆變換。 (a (F j 的幅頻圖和相頻圖可得(000,/0,/j t Ae r

35、ad s rad s F j <<=由(2r g t Sa ,將02=代入,得 (02002Sa g t 由傅里葉變換對稱性可得(00022Sa 2t g t 整理得 (002sin A t Ag t t由時移特性可得(000020sin j t A t t Ag t e F j t t +=+則(F j 的傅里葉逆變換為 (000sin A t t f t t t +=+(b 由(F j 的幅頻圖和相頻圖可得(20200,0,00,j j Ae Ae F j -<<-<<=>由(2r g t Sa ,將0=代入,得 (0002g t Sa 由傅里葉變

36、換對稱性可得 000(2(2tSa g 整理得 (00sin 2t A Ag t由頻移特性得00002sin 22tj t A e Ag t ± 又由于(000022F j jA g g =-+ 則(F j 的傅里葉逆變換為0020022sin 2sin 22(t t j j t t A A f t j e e t t - =-=-3.20試用下列方法求圖示信號的頻譜函數(shù) 錯誤!未找到引用源。 利用延時和線性性質(zhì)(門函數(shù)的頻譜可利用已知結(jié)果; 錯誤!未找到引用源。 利用時域積分定理;錯誤!未找到引用源。 將(f t 看作門函數(shù)(2g t 與沖激函數(shù)(2t +,(2t -的卷積之和。解

37、:錯誤!未找到引用源。 已知(2g t sa ,將2=代入,得 (22g t s a 由傅立葉變換的時移性質(zhì)可得(2222j g t sa e ±±根據(jù)傅立葉變換的線性性質(zhì)可得(f t 的傅立葉變換為(224sin cos 22j j F j sa e e -=+=錯誤!未找到引用源。 由(f t 的波形圖可得其閉合表達式為(3113f t t t t t =+-+-則有 (3113f t t t t t '=+-+- 又(1t ,由時移性質(zhì)可得(332sin 3sin 4sin cos 2j j j j f t e e e e j j -'-+-=-=當0

38、=時上式為0,則由時域積分定理可得(f t 的頻譜函數(shù)(4sin cos 24sin cos 2j F j j =錯誤!未找到引用源。 已知(221g t sa t 由時移特性可得(2222j j t e t e-+-則由(2*22f t g t t t =+-以及時域卷積定理可知(f t 的頻譜函數(shù)為(224sin cos 22j j F j sa e e -=+=3.21 試用下列方法求圖示余弦脈沖的頻譜函數(shù)。 錯誤!未找到引用源。 利用傅立葉變換定義; 錯誤!未找到引用源。 利用微分、積分特性;錯誤!未找到引用源。 將它看作函數(shù)(2g t 與周期余弦函數(shù)cos 2t 的乘積。 解:錯誤!

39、未找到引用源。 由傅立葉變換定義可得 (112211cos 2t tj j j tj t j t t F j f t edt e dt e e t e dt -=+ 222sin 2sin cos 22222-+ =+=-+- 錯誤!未找到引用源。 由(f t 的波形圖可得其閉合表達式為(cos 112t f t t t =+- 則可得(sin 11cos 11222t f t t t t t t '=-+-+- (s i n 1122t t t =-+- 由于 (22sin 11t t g t +-=sin 222t j +- 則由頻域卷積定理可得(f t '的頻譜函數(shù)為(1

40、12sin *2222F j j =-+- sin sin 22222j +- =-+-當0=時上式為0,則由積分特性可知(f t 的頻譜函數(shù)為(122sin sin 1cos 222222F j F j j j j +- =-=+- 錯誤!未找到引用源。 由(f t 的波形可知(2cos 2t f t g t = 又有cos 222t +- (22g t sa 則由頻域卷積定理得(f t 的頻譜函數(shù)(11*222222F j sa sa sa =+-=+- 22sin sin cos 22222+- =-=+- 3.22 試求圖示周期信號的頻譜函數(shù)。圖(b 中沖激函數(shù)的強度均為1。 解:(a

41、 由于 (12(cos t +-利用傅立葉變換的線性性質(zhì)可得(f t 的頻譜函數(shù)為(22F j =+-(b (f t 的傅立葉級數(shù)為(222211112T T jn t jn t jn t T T n T T F f t e dt t t e dt e T T T -=-+=- 則(f t 的頻譜函數(shù)為(122211jn t jn tn n n F j e n e TT T =-=-=-=- 3.23 圖示升余弦脈沖表示為(11cos ,120,1t t t f t +<>= 試用以下方法求其頻譜函數(shù)錯誤!未找到引用源。 利用傅立葉變換的定義; 錯誤!未找到引用源。 利用微分、積分特性錯誤!未找到引用源。 將它看作是門函數(shù)(2g t 與題3.21(a圖函數(shù)的乘積。解:錯誤!未找到引用源。 由傅立葉變換定義可得 (1111cos 2j t j tF j f t e dt t e dt -=+(11112221111122sin j t j t j te e e j j j -+-=+-+=-(2由(f t 的表達式可得(sin ,120,1t t t f t -<>'=則有 (11sin 2j t j t f t f t e dt t e dt -''=-(2sin 2sin 4j -+=-+當0=時