【提優(yōu)教程】江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競賽 第51講 圓教案

1、第51講 圓對圓的問題的研究是高中解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考和數(shù)學(xué)競賽中也很常見，學(xué)習(xí)中應(yīng)熟練掌握圓的方程的幾種常見的形式：1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2，其圓心為(a，b)，半徑為r(r0)2圓的一般方程：x2y2DxEyF0，當(dāng)D2E24F0時，該方程表示圓，圓心(，)，半徑r；當(dāng)D2E24F0時，該方程表示點(diǎn)(，)(點(diǎn)圓)；當(dāng)D2E24F0時，該方程不表示任何曲線(虛圓)3以(x1，y1)，(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0；4圓的參數(shù)方程：圓心為(a，b)半徑為r的圓的參數(shù)方程(為參數(shù))同時在學(xué)習(xí)的過程中還應(yīng)該注意點(diǎn)與圓、直線與

2、圓、圓與圓的位置關(guān)系及一些相關(guān)的結(jié)論，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用與圓有關(guān)的問題還常常要考慮用平幾方法來解A類例題例1設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23，那么的最大值是( )A B C D(2000年全國高考題)分析 由于(x，y)在圓上，則的值可以理解為通過圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，從而比較順利地解決問題解 如圖，方程(x2)2y23的圖形為圓心在(2，0)，半徑為r的圓設(shè)k，則k為ykx的斜率，顯然k的最大值是在直線ykx與圓在x軸上方相切時得到，即直線OM的斜率為k的最大值又|AM|，|OA|2，則MOA于是可得的最大值是ktan，故選D說明 這里運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把視為圓上一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)

3、連線的斜率是破題的“高明”之招本題也可以直接解出：以ykx代入圓的方程(k21)x24x10，這是關(guān)于x的二次方程，4(k21)0，解得k23，則k的最大值為例2自點(diǎn)A(3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線L所在直線的方程(1989年全國高考題)分析 考慮作出已知圓關(guān)于x軸的對稱圖形圓C'，則兩條入射光線均與圓C'相切，以此為突破口解決問題解 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y2)21，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x2)2(y2)21， 設(shè)光線L所在直線的方程是y3k(x3)(其中斜率k待定）由題設(shè)知對稱圓的圓心C&#

4、39;(2，2)到這條直線的距離等于1，即d1整理得，12k225k120，解得k，或k故所求的直線方程是y3(x3)，或y3(x3)，即3x4y30，或4x3y30例3設(shè)圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線l：x2y0的距離最小的圓的方程(1997年全國高考題)分析 要求圓心到直線的距離最小的圓的方程，必須先求出距離的最小值或求出何時距離最小，可以把本題先化成一個最值問題，解決之后再來求圓的方程解法一 設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為|b|，|a|由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90

5、76;，知圓P截x軸所得的弦長為r，故r22b2又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2a21從而得2b2a21又點(diǎn)P(a，b)到直線x2y0的距離為d，所以5d2|a2b|2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a21當(dāng)且僅當(dāng)ab時上式等號成立，此時5d21，從而d取得最小值由此有解此方程組得或由于r22b2，則r于是，所求圓的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22解法二 同解法一得d，所以，a2b±d，得a24b2±4bd3d2， (1)將a22b21代入(1)式，整理得2b2±4bd5d210 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有實(shí)根

6、，故判別式非負(fù)，即(±4d)24×2×(5d21)8(5d21)0，解得5d21所以5d2有最小值1，從而d有最小值為將其代入(2)式得2b2±4b20，解得b±1將b±1代入r22b2，r22，由r2a21得a±1綜上a±1，b±1，r22， 由|a2b|1知，a，b同號，于是，所求圓的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22說明 在解題的過程中，要體會如何合理刻畫最值情景再現(xiàn)1過點(diǎn)A(1，1)、B(1，1)且圓心在直線xy20上的圓的方程是( )A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y

7、1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 (2001年全國高考題)2已知當(dāng)且僅當(dāng)k滿足akb時，兩曲線x2y2412x6y與x2y2k4x12y有公共點(diǎn)，則ba的值為 ；(上海市2001高中數(shù)學(xué)競賽)3求過原點(diǎn)且與直線x1及圓(x1)2(y2)21都相切的圓的方程B類例題例4設(shè)a、b是方程x2cot·xcsc0的兩個不等實(shí)根，那么過點(diǎn)A(a，a2)和B(b，b2)的直線與圓x2y21的位置關(guān)系是( )A相離 B相切 C相交 D隨的值而變化(第九屆全國希望杯邀請賽)分析 可以先求出過A、B的直線方程，然后運(yùn)用圓心到直線的距離與半徑的大小比較，確定直線與圓的位置關(guān)系解

8、選B根據(jù)題意，得即因此，A(a，a2)和B(b，b2)都在直線ysinxcos10上所以過A、B的直線方程為xcosysin10 (1)因此原點(diǎn)到該直線的距離d1故過A、B的直線與單位圓相切故選B說明 1本題求過A、B的直線的方程的方法很重要，也很簡潔讀者也可以思考一下其他解法比較一下2判斷直線與圓的位置關(guān)系常用兩種方法：消去x，或y之一，得到一個一元二次方程，判斷的符號；運(yùn)用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系的比較進(jìn)行判斷3式(1)即是直線l的法線式方程，其中熟字“1”就是原點(diǎn)與直線l的距離例5已知直角坐標(biāo)平面上一點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x2y21，動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0

9、)求動點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線(1994年全國高考題)分析 按求軌跡方程的常規(guī)方法，設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，將動點(diǎn)M滿足的條件等式轉(zhuǎn)化為解析表達(dá)式，化簡得軌跡方程，特別要注意題中的隱含條件：二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0時退化為一次方程，由此引起對的討論解 如圖設(shè)MN切圓于N，則動點(diǎn)M組成的集合為PM|MN|MQ|式中常數(shù)0因?yàn)閳A的半徑|ON|1，所以|MN|2|MO|2|ON|2|MO|21設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則，整理得(21)(x2y2)42x(142)0經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個方程的點(diǎn)都屬于集合P，故這個方程為所求的軌跡方程當(dāng)1時，方程化為x，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且

10、相交于點(diǎn)(，0)；當(dāng)1時，方程化為(x)2y2，它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為(，0)，半徑為說明 本題中軌跡方程的探求、對的討論及對軌跡所表示的曲線的研究都有一定的難度，應(yīng)注意理解和掌握例6實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y26x4y9，求2x3y的最大值與最小值的和(第十屆全國希望杯數(shù)學(xué)邀請賽)分析 方程x2y26x4y9，即(x3)2(y2)24表示一個圓，可以寫出這個圓的參數(shù)方程，從中求出2x3y的最大值與最小值解法一 由x2y26x4y9，得(x3)2(y2)24，于是可設(shè)即則2x3y2(32cos)3(22sin)4cos6sin122cos(j)12，所以2x3y的最大值為122，2x3y的最

11、小值為122因此，2x3y的最大值與最小值之和為24解法二 設(shè)2x3yc，代入x2y26x4y9，消去y，整理得13x2(4c30)x(c212c81)0，此關(guān)于x的方程0，即(4c30)24×13×(c212c81)0，即c224c920方程c224c920的兩根為c1、c2(c1c2)，顯然c1cc2，故cmaxcminc1c224說明 本題也可以這樣解決：2x3yc表示斜率為的平行線簇，從而只要求直線與圓有公共點(diǎn)的條件即可得出cmax和cmin由2，解得|12c|2，即122c122，故cmaxcminc1c224情景再現(xiàn)4(1)圓2x22y21與直線xsiny10(

12、R，k，kZ)的位置關(guān)系是( )A相交 B相切 C相離 D不確定 (2002年北京市春季高考題)(2)在圓x2y25x0內(nèi)，過點(diǎn)(，)有三條弦的長度成等比數(shù)列，則其公比的取值范圍是( )A， B，C， D， (河北省2000年高中數(shù)學(xué)競賽)5知圓C：x2y22x4y40，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得弦AB，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由6在ABC中，A、B、C所對的邊為a、b、c，若c10，P為ABC內(nèi)切圓上一動點(diǎn)，d為點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和，則dmindmax ；(第六屆河南省高中數(shù)學(xué)競賽)C類例題例7已知：正數(shù)m取不同的數(shù)值時，方程

13、x2y2(4m2)x2my4m24m10表示不同的圓求這些圓的公切線的方程(福州市高中數(shù)學(xué)競賽題)解 化圓方程為(x2m1)2(ym)2m2故圓心坐標(biāo)為(2m1，m)，半徑為m若直線ykxb是這些圓的公切線，則必須而且只需對于一切正數(shù)m恒有m兩邊平方并整理得，(3k24k)m22(kb)(2k1)m(kb)20從而解得或故這些圓有兩條公切線，其方程分別為y0或yx例8三個圓，半徑都是3，中心分別在(14，92)、(17，76)、(19，84)，過點(diǎn)(17，76)作一條直線，使得這三個圓位于這條直線某一側(cè)的部分的面積和等于這三個圓位于這條直線另一側(cè)的部分的面積的和求這條直線的斜率的絕對值(第2屆

14、美國數(shù)學(xué)邀請賽)解 首先注意到這三個圓是互相外離的等圓記O1(14，92)，O2(19，84)，O3(17，76)由于過O3的直線總把O3分為等積的兩部分，因此，只要考慮過平面上怎樣一點(diǎn)所畫的直線與O1、O2相交且使直線兩側(cè)的面積相等記O1O2的中點(diǎn)為M，則M為兩等圓O1和O2的對稱中心，因此過M且與O1、O2都相交的直線能滿足題目的要求因此，所求直線應(yīng)過M和O3的直線，符合題設(shè)要求的唯一的由于M(16.5，88)，O3(17，76)，則該直線的斜率的絕對值是|k|24情景再現(xiàn)7證明：方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x的圖形為兩個互相內(nèi)切的圓(天津市高中數(shù)學(xué)競賽題)8已

15、知：通過定點(diǎn)M(x1，y1)的兩個圓與兩坐標(biāo)軸相切，它們的半徑分別為r1、r2求證：r1r2xy(遼寧省高中數(shù)學(xué)競賽題)習(xí)題511已知直線(t為參數(shù))與圓(q為參數(shù))相切，則直線的傾斜角為( ) (湖南省1998年高中數(shù)學(xué)競賽)A或 B或 C或 D或 2已知：圓C：x2y22x2y10，直線l與C相切，且l與x、y軸交于點(diǎn)A、B，O為原點(diǎn)|OA|a，|OB|b，a2，b2(1)求證：(a2)(b2)2；(2)l與x、y軸交于點(diǎn)A、B，求線段AB的中點(diǎn)軌跡；(3)求AOB面積的最小值3設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)為動點(diǎn)，則當(dāng)t由

16、15°變到45°時，線段AP掃過的面積是 (1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)4已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) A(x)(y)0B(x)(y)0C(x)(y)0D(x)(y)0(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)5已知點(diǎn)集A(x，y)|(x3)2(y4)2()2，B(x，y)|(x4)2(y5)2()2，則點(diǎn)集AB中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為 (1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)6在直角坐標(biāo)平面，以(199，0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為_(1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)7設(shè)定點(diǎn)P在圓周x2

17、y21上，若點(diǎn)Q、R在圓x2y21的內(nèi)部或圓周上，且PQR為邊長是的正三角形則|OQ|2|OR|2的最大值為 ；(O為坐標(biāo)原點(diǎn)) (上海市1992年高中數(shù)學(xué)競賽)8求一個圓，它與三個圓C1：(x5)2(y3)29；C2：(x3)2(y5)225；C3：(x10)2y219都相交，且在交點(diǎn)處的切線互相垂直本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1C21403(x)2(y)24(1)C(2)C5圓C的圓心(1，2)，半徑r3設(shè)l的方程為yxb，則過A、B的圓可寫為x2y22x4y4(xyb)0，即x2y2(2)x(4)y4b0其圓心(，)在直線yxb上，故422b，Þb3原點(diǎn)在此圓上，故b4則b1，4；或

18、b4，1則直線l的方程為yx1，或yx46因?yàn)?，則可得2A2B，或2A2B180°而2A2B與矛盾，故AB90°，則C90°，a6，b8內(nèi)切圓半徑2建立直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)P(x，y)，則(x2)2(y2)222dx2y2(x6)2y2x2(y8)23x23y212x16y100884y(0y4)故dmindmax88721607方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x可以寫成(x2y2)(x2y216)4x(x2y216)0，即(x2y24x)(x2y216)0，從而x2y24x0，或x2y2160，即(x2)2y24，或x2y216方程(x

19、2)2y24表示圓心為(2，0)，半徑為2的圓，方程x2y216表示圓心為(0，0)，半徑為4的圓而兩圓的半徑的差為2，且圓心距為2，所以這兩個圓互相內(nèi)切，即方程x416x22x2y216y2y44x34xy264x的圖形為兩個互相內(nèi)切的圓8如圖，由于兩圓和兩坐標(biāo)軸相切，設(shè)兩圓的方程分別為(xa1)2(yb1)2a，|a1|b1|r1；(xa2)2(yb2)2a，|a2|b2|r2即x2y22a1(x±y)a0；x2y22a2(x±y)a0因?yàn)镸(x1，y1)在圓O1、O2上，則xy2a1(x1±y1)a0；xy2a2(x1±y1)a0如果兩圓O1、O2

20、在同一象限內(nèi)，于是a1、a2是方程x22(x1±y1)xxy0的兩個根所以由根與系數(shù)關(guān)系推得，a1a2xy，即r1r2xy本節(jié)“習(xí)題11”解答：1A2(1)C：(x1)2(y1)21，圓心(1，1)，半徑為1直線l的方程為(±bx)(±ay)ab0但只有bxayab0與C可能相切直線l與C相切的充要條件為1，即ab2a2b20，就是(a2)(b2)2(2)設(shè)AB中點(diǎn)為(x，y)，則a2x，b2y，代入得軌跡為2(x1)(y1)1(x1)(3)SAOBabab1(a2)(b2)323323點(diǎn)P在單位圓上，sin(2t60°)cos(150°2t)，cos(2t60°)sin(150°2t)