直線方程的點斜式、斜截式、兩點式和截距式

1、【課 題：】直線的點斜式方程【教學(xué)目的：】 知識目標(biāo)：在直角坐標(biāo)平面，直線上一點和直線的斜率或 直線上兩點，會求直線的方程；給出直線的點斜式方程， 能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過的定點能力目標(biāo)：通過直線的點斜式方程向斜截式方程的過渡，訓(xùn)練學(xué)生由一般到特殊的處理問題方法；通過直線的方程特征觀察直 線的位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力.德育目標(biāo)：通過直線方程的幾種形式培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)意識.【教學(xué)重點：】由于斜截式方程是點斜式方程的特殊情況，教學(xué)重點應(yīng)放在推導(dǎo)直線的斜截式方程上實質(zhì)上它也是整個直線方程理論 的根底?！窘虒W(xué)難點：】在推導(dǎo)出直線的點斜式方程后，說明得到的就是直線的方程， 即直線上每個點的坐標(biāo)都

2、是方程的解；反過來，以這個方程 的解為坐標(biāo)的點在直線上.【授課類型：】新授課【課時安排：】1課時【教 具：】【教學(xué)過程：】1、復(fù)習(xí)引入：2、講解新課：(1)點斜式設(shè)點P(x, y)是直線I上不同于直線I的斜率是k,并且經(jīng)過點Pi(xi, yi)，直線是確定的，也就是可求的，怎樣求直線I的方程(圖 1-24) ?P1 (x1, y1)的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的斜率公式得y %xx-i(1)即 y-y1=k(x-x1)(2)注意方程(1)與方程 的差異：點P1的坐標(biāo)不滿足方程(1)而滿足方程 ，因此，點P1不在方程(1)表示 的圖形上而在方程 表示的圖形上，方程(1)不能稱作直線I的方程.重復(fù)上面

3、的過程，可以證明直線上每個點的坐標(biāo)都是這個方程的解；對上面的過程逆推，可以證明以 這個方程的解為坐標(biāo)的點都在直線I上，所以這個方程就是過點P1、斜率為k的直線I的方程.(實質(zhì)上是證明了直線的方程與方程的直線的關(guān)系)這個方程是由直線上一點和直線的斜率確定的，叫做直線方程的點斜式.注：當(dāng)直線的斜率為0時(圖1-25), k=0，直線的方程是y=y1.I上每一點當(dāng)直線的斜率為 90時(圖1-26)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因的橫坐標(biāo)都等于X1,所以它的方程是 X=X1 .(2)斜截式直線I在y軸上的截距為b，斜率為b,求直線的方程.這個問題，相當(dāng)于給出了直線上一點(0, b)及

4、直線的斜率k,求直線的方程，是點斜式方程的特殊情況， 代入點斜式方程可得：y-b=k(x-O)也就是y=kx+b上面的方程叫做直線的斜截式方程為什么叫斜截式方程？因為它是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的.當(dāng)kz0時，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距.注：斜截式方程因為形式是直線方程中最簡的，故在后續(xù)的課程中有十分重要的運用，但上述兩種直線方程的形式都要求 有斜率，故運用它們時往往要先對斜率的存在與否進(jìn)行討論，而這正是最容易錯的地方。典型例錯例剖析3、 小結(jié)：4、課后作業(yè)：5、能力提高：(1 )直線y=kx+b(k豐0)經(jīng)過點

5、(、.2 ,1),求證直線不可能經(jīng)過兩個有理點(所謂的有理點即橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點)6、高考鏈結(jié)： 【板書設(shè)計：】 【課后反思：】【課題：】直線的兩點式方程(1)兩點式直線I上的兩點Pi(X1, yi)、 P2(X2, y2),(X1M X2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可 求的，請同學(xué)們求直線 l 的方程當(dāng)yiMy2時，為了便于記憶，我們把方程改寫成這個方程是由直線上兩點確定的，故叫做直線的兩點式方程對兩點式方程要注意下面兩點： (1)方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行(Xl=X2或yi=y2)時，可直接寫出方程；(2)要記住兩點式方程，只要記住左邊就行了，右

6、邊可由左邊見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣(2)截距式試用兩點式求方程：直線I在x軸和y軸上的截距分別是 a和b(aM0, b豐0),求直線I的方程. 此題由老師歸納成兩點求直線的方程問題，由學(xué)生自己完成解：因為直線I過A(a , 0)和B(0, b)兩點，將這兩點的坐標(biāo)代入兩點式，得也就是學(xué)生也可能用先求斜率,然后用點斜式方程求得截距式.這個方程是由直線在 x軸和y軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式.對截距式方程要注意下面三點：(1)如果直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖；(3)

7、與坐標(biāo) 軸平行和過原點的直線不能用截距式表示即如果有一個的截距為零那么不能用截距式.典型例錯例剖析3、 小結(jié)：4、課后作業(yè)：5、能力提高：(1)直線過點 P (3，4)且與x,y軸的正半軸相交于 A、B，求 使 AOB 面積最小時的直線方程。6、高考鏈結(jié)： 【板書設(shè)計： 】 【課后反思： 】【課題：】直線的一般式方程【教學(xué)目的：】知識目標(biāo)：掌握直線方程的一般形式及其運用能力目標(biāo)：通過研究直線的一般方程與直線之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步強化學(xué)生的對應(yīng)概念；通過對幾 個典型例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識、簡化運算的能力.德育目標(biāo)：通過對直線方程的幾種形式的特點的分析，培養(yǎng)學(xué)生看問題一分為二的辯證唯物主

8、義觀點.【教學(xué)重點：】直線的點斜式、斜截式、兩點式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，教學(xué)中要講清直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系.【教學(xué)難點：】【授課類型：】新授課【課時安排：】1課時【教 具：】【教學(xué)過程：】1、復(fù)習(xí)引入：點斜式、斜截式不能表示與 x軸垂直的直線；兩點式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；截距式既不能表 示與坐標(biāo)軸平行的直線，又不能表示過原點的直線.與x軸垂直的直線可表示成 X=XO,與x軸平行的直線可表示成y=yo。它們都是二元一次方程.我們問：直線的方程都可以寫成二元一次方程嗎？反過來，二元一次方程都表示直線嗎？2、講解新課：我們知道，在直角坐標(biāo)系中，

9、每一條直線都有傾斜角a當(dāng)90時，直線有斜率，方程可寫成下面的形式：y=kx+b當(dāng)a =90時，它的方程可以寫成 x=xo的形式.由于是在坐標(biāo)平面上討論問題，上面兩種情形得到的方程均可以看成是二元一次方程這樣，對于每 一條直線都可以求得它的一個二元一次方程，就是說，直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程.反過來，對于x、y的一次方程的一般形式 Ax+By+C=O其中A、B不同時為零.a C(1) 當(dāng)B豐0時，方程(1)可化為yx即為直線的斜截式方程B BC(2) 當(dāng)B=0時，由于A、B不同時為零，必有 A豐0,方程(1)可化為x它表示一條與y軸平行的A直線.這樣，我們又有：關(guān)于 x和y的一次方

10、程都表示一條直線.我們把方程寫為：Ax+By+C=0這個方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式.引導(dǎo)學(xué)生思考：直線與二元一次方程的對應(yīng)是什么樣的對應(yīng)？直線與二元一次方程是一對多的，同一條直線對應(yīng)的多個二元一次方程是同解方程.注：如果求解直線的方程沒有特別說明要寫成一般式。典型例例1己知直線經(jīng)過點4),斜率為冷，求直線的點斜式.F解：直線的點斜式是化成一般式得4x+3y-12=0 .把常數(shù)次移到等號右邊，再把方程兩邊都除以12，就得到截距式講解這個例題時，要順便解決好下面幾個問題：(1)直線的點斜式、兩點式方程由于給出的點可以是直線上的任意點，因此是不唯一的，一般不作為最后結(jié)果保存，須進(jìn)

11、一步化簡；(2)直線方程的一般式也是不唯一的，因為方程的兩邊同乘以一個非零常數(shù)后得到的方程與原方程同解，一般方程可作為最終結(jié)果保存，但須化為各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù)；(3)直線方程的斜截式與截距式如果存在的話是唯一的，如無特別要求，可作為最終結(jié)果保存.例2 把直線I的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直線I的斜率和在x軸與y軸上的截距，并畫圖.解：將原方程移項，得 2y=x+6，兩邊除以2得斜截式：因此，直綢的斜率k = 在上的截距是久在上面的方程中x=-6根據(jù)直線過點A(-6 , 0)、B(0, 3)，在平面作出這兩點連直線就是所要作的圖形(圖1-28).本例題由學(xué)生完成，老師講清下面的

12、問題：二元一次方程的圖形是直線，一條直線可由其方向和它上 面的一點確定，也可由直線上的兩點確定，利用前一點作圖比擬麻煩，通常我們是找出直線在兩軸上的截 距，然后在兩軸上找出相應(yīng)的點連線.例3 證明：三點 A(1 , 3)、B(5 , 7)、C(10 , 12)在同一條直線上.證法一 直線AB的方程是：化簡得 y=x+2 .將點C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立. A、B、C三點共線.證法一二 K池=yj- = 1KAC =1 = L所以A、B、C三點共線. |AB|+|BC|=|AC| , A、C、C三點共線.講解本例題可開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力.例4 直線x+2y-10=0與過A(1 , 3)、B(5 , 2)的直線相交于 C,此題按常規(guī)解題思路可先用兩點式求出AB的方程，然后解方程組得到點 C的坐標(biāo)，再求點 C分AB所成的定比，計算量大了一些.如果先用定比分點公式設(shè)出點C的坐標(biāo)(即滿足點C在直線AB上)，然后代入的直