求偏導(dǎo)數(shù)的方法小結(jié)

1、求偏導(dǎo)數(shù)的方法小結(jié)(應(yīng)化2,聞庚辰，學(xué)號(hào)：130911225)一，一般函數(shù)：計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于變?cè)啵?jì)算量較大.在求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般的計(jì)算方法是，先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再代人這一點(diǎn)的值而得到這一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù).我們發(fā)現(xiàn)，把部分變?cè)闹迪却撕瘮?shù)中，減少變?cè)臄?shù)量，再計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，可以減少運(yùn)算量。求函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處的偏導(dǎo)數(shù)f'x(a,b)及f'y(a,b)的方法是：1)先求出偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)式，然后將(a,b)代入計(jì)算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g'(b),h'(a)便得到f'x(a,b)和f

2、'y(a,b).3)若函數(shù)f(x,y)是分段函數(shù)則一般采用定義來(lái)做.復(fù)合具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解：?z?z?u?z?v基本法則：？x=?u?x+?v?x?z?z?u?z?v?y=T7?y+?v?y其本質(zhì)與一元函數(shù)的求導(dǎo)法則是一樣的，只不過(guò)是將暫時(shí)不求的變量看成常量而已。例1:z=f(x,y)=(x+y)xy,求fx(1,1),f'y(1,0);法一：設(shè)u=x+y,v=xy,則z=uv函數(shù)的復(fù)合關(guān)系為：z是u,v的函數(shù)，u,v分別是x,y的函數(shù).?z?z?u?z?v貝ij：?x=?u?x+?v?x=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)x=y(x+y)xy(xy)+ln

3、(x+y)xfx(x,y)=y(x+y)xy(xy)+ln(x+y)一一一，所以：fx(1,1)=1+2ln2由于f(x,y)的表達(dá)式中的x,y依次輪換，即x換y成，同時(shí)將換y成x,表達(dá)式不變，這叫做函數(shù)f(x,y)對(duì)自變量x,y交換具有輪換對(duì)稱(chēng)性。具有輪換對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)，只要在fx的表達(dá)式中將x,y調(diào)換即得到f'y。即：f'y(x,y)=xy(x+y)xy(xy)+ln(x+y)所以f'y(1,0)=0法二：由于和一元函數(shù)的求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是一樣的。我們可以不引入中間變量，對(duì)某一自變量求導(dǎo)時(shí)，只要把其他自變量看成常數(shù)即可。如：Lnz=xyln(x+y)上式兩邊求導(dǎo)得：1?zx

4、z?x=yln(x+y)+(xy)?zxx從而：？x=zyln(x+y)+(xy)一一一，所以：fx(1,1)=1+2ln2有函數(shù)的對(duì)稱(chēng)輪換性得：f'y(1,0)=0例三：我們也可以利用全微分的不變性來(lái)解題。?z?z設(shè)z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求？x+?y在(1,1)處的值。dz=d(eusin(v)=eusin(v)du+eucos(v)dvdu=d(xy)=ydx+xdydv=d(x+y)=dx+dy代入后合并同類(lèi)項(xiàng)得：dz=(eusin(v)y+eucos(v)dx+(eusin(v)x+eucos(v)dy將點(diǎn)(1,1)代入得：?z?x+?y=2e(sin2+cos2).二，隱函數(shù)的求偏導(dǎo)。求隱函數(shù)的偏導(dǎo)時(shí)，我們一般有兩種方法選擇：1）公式法2）對(duì)函數(shù)兩邊直接求導(dǎo)。（但必須明確誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)）。然后按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求。xyzo例一：方程組x2y2z2a2（注：x2為x的平方）法一：題中有3個(gè)自變量，明確了x=x（z）,y=x（z）,既z是自變量。我們可以利用公式求但比較繁。我們可以采用