流體力學(xué)流力34流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、3-3 3-3 流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流體運(yùn)動(dòng)的基本概念( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t拉格朗日法跡線的參數(shù)方程 歐拉方程出發(fā)推導(dǎo)跡線方程 一、跡線一、跡線定義：定義：流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡。是流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。 ),(),(),(tzyxutztzyxutytzyxutxzyxdddddddttzyxudztzyxudytzyxudxzyx ),(),(),(dt表示一段時(shí)間，時(shí)間間隔。求解上述方程并消去參數(shù)t后便可得到跡線方程。跡線的微分方程也可寫為：跡線的微分方程也可寫為：一、跡線一、跡線

2、1.1.定義：定義：用用歐拉法歐拉法形象地對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行幾何形象地對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行幾何描述，引進(jìn)了流線的概念。描述，引進(jìn)了流線的概念。是用來描述流場(chǎng)中各點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線，是速度場(chǎng)的矢量線。在某一時(shí)刻該曲線上任意一點(diǎn)的速度總是在該點(diǎn)與此曲線相切。此曲線即為流線。流線流線二、二、 流線流線(1)(1)因?yàn)樵诳臻g每點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向，所以流線因?yàn)樵诳臻g每點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向，所以流線不能不能相交相交。另外，由于流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素在空間是。另外，由于流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素在空間是連續(xù)的，流線連續(xù)的，流線不可能轉(zhuǎn)折不可能轉(zhuǎn)折，只能是光滑曲線。，只能是光滑曲線。(2)(2)對(duì)于不穩(wěn)定流，經(jīng)過同一點(diǎn)的流

3、線其空間方位和形狀對(duì)于不穩(wěn)定流，經(jīng)過同一點(diǎn)的流線其空間方位和形狀是隨時(shí)間改變的。是隨時(shí)間改變的。(3)(3)由于穩(wěn)定流動(dòng)的速度分布與時(shí)間無關(guān)，所以流線的形由于穩(wěn)定流動(dòng)的速度分布與時(shí)間無關(guān)，所以流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化。同時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)只能沿著流線運(yùn)動(dòng)，狀和位置不隨時(shí)間變化。同時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)只能沿著流線運(yùn)動(dòng)，否則將會(huì)有一個(gè)與流線相垂直的速度分量。所以否則將會(huì)有一個(gè)與流線相垂直的速度分量。所以穩(wěn)定流動(dòng)穩(wěn)定流動(dòng)的跡線與流線重合的跡線與流線重合。2.2.流線的性質(zhì)流線的性質(zhì) (5)(5)在流場(chǎng)中，過每一空間點(diǎn)都有一條流在流場(chǎng)中，過每一空間點(diǎn)都有一條流線，所有流線構(gòu)成流線簇。由流線簇構(gòu)成線，所有流線構(gòu)成流線

4、簇。由流線簇構(gòu)成流譜。流譜不僅能反映速度的方向，而且流譜。流譜不僅能反映速度的方向，而且能反映流速的大小。能反映流速的大小。(4)(4)不穩(wěn)定流動(dòng)包含兩方面的含義：大小或方向隨時(shí)間變化。不穩(wěn)定流動(dòng)包含兩方面的含義：大小或方向隨時(shí)間變化。不穩(wěn)定流不穩(wěn)定流速度大小改變速度大小改變速度方向改變速度方向改變流線的形狀和位置不隨時(shí)間流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，跡線與流線重合。變化，跡線與流線重合。流線的形狀和位置隨時(shí)間變流線的形狀和位置隨時(shí)間變化，跡線不與流線重合。化，跡線不與流線重合?；疖嚨倪\(yùn)行軌跡是跡線，而不論火車是否變速，其速度總與火車的運(yùn)行軌跡是跡線，而不論火車是否變速，其速度總與鐵軌相切，因

5、此鐵軌為流線，跡線與流線重合。鐵軌相切，因此鐵軌為流線，跡線與流線重合。 2.2.流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)3.3.流線方程流線方程 設(shè)流線上一點(diǎn)的速度矢量為設(shè)流線上一點(diǎn)的速度矢量為u, ,流線上的微元線段矢量流線上的微元線段矢量dr0 rdu由流線定義，矢量表示的微分方程為由流線定義，矢量表示的微分方程為 tzyxudztzyxudytzyxudxzyx, 在直角坐標(biāo)系中，依矢量運(yùn)算法則可知在直角坐標(biāo)系中，依矢量運(yùn)算法則可知u與與dr成比例，即成比例，即式中的式中的t代表的是同一瞬時(shí)，當(dāng)作常數(shù)處理。代表的是同一瞬時(shí)，當(dāng)作常數(shù)處理。在不穩(wěn)定流動(dòng)中，流線微分方程積分的結(jié)果包括時(shí)間t，不同時(shí)刻有不同的流

6、線形狀。有一二元流動(dòng)流場(chǎng)，速度場(chǎng)為有一二元流動(dòng)流場(chǎng)，速度場(chǎng)為) 1(, ytutxuyx) 1(, ytdtdyxtdtdx2/22/1221,ttecyecx cyx ) 1(求其跡線和流線求其跡線和流線解解:(1)由跡線微分方程由跡線微分方程積分得積分得x與與y+1相乘可得相乘可得例例cyx ) 1( 流動(dòng)的跡線方程和流線重合。流動(dòng)的跡線方程和流線重合。) 1( ytdytxdx(2)由流線微分方程由流線微分方程積分可得積分可得定義：定義：由于流線不能相交，所以各個(gè)時(shí)刻，由于流線不能相交，所以各個(gè)時(shí)刻，1 1、流管、流管在流場(chǎng)中取任意封閉曲線在流場(chǎng)中取任意封閉曲線c c，經(jīng)過曲線，經(jīng)過曲線

7、c c的每一點(diǎn)的每一點(diǎn)作流線，由這些流線所圍成的管稱為流管。作流線，由這些流線所圍成的管稱為流管。c c三、流管、流束和總流三、流管、流束和總流流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或沿流體流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或沿流體表面流動(dòng)表面流動(dòng)，而不能穿越流管而不能穿越流管；穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流管的形狀是和位置都穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流管的形狀是和位置都不隨時(shí)間變化，流管與固體管壁相不隨時(shí)間變化，流管與固體管壁相似，所不同的是流管由流線組成，似，所不同的是流管由流線組成，而管壁由固體組成；非穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)而管壁由固體組成；非穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流管的形狀有可能隨時(shí)間變化。，流管的形狀有可能隨時(shí)間變化。2 2 流束和總流流束和總流無數(shù)微小流束的總和稱

8、為總流。無數(shù)微小流束的總和稱為總流。 定義：定義： 1A2A1dA2dA 流束和總流流束和總流充滿在流管內(nèi)部的流體的集合稱為流束。充滿在流管內(nèi)部的流體的集合稱為流束。流線流線流束流束總流總流斷面無窮小的流束稱為微小流束，斷面無窮小的流束稱為微小流束，如圖中斷面為如圖中斷面為21,dAdA的流束。的流束。1 1在同一瞬時(shí)，位于流線上各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向總是在同一瞬時(shí)，位于流線上各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向總是在該點(diǎn)，與此流線（）在該點(diǎn)，與此流線（）A A相切相切 B B重合重合 C C平行平行 D D相交相交A A2.2.實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概

9、念的意義何在？答：不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的流動(dòng)，確答：不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的流動(dòng)，確定流體流動(dòng)趨勢(shì)。定流體流動(dòng)趨勢(shì)。1 1、 有效斷面有效斷面 當(dāng)組成流束的所有流線互相平行時(shí)，有效斷面是平面；當(dāng)組成流束的所有流線互相平行時(shí)，有效斷面是平面；否則，有效斷面是曲面。否則，有效斷面是曲面。流束或總流上垂直于流線的斷面，稱為有效斷面。流束或總流上垂直于流線的斷面，稱為有效斷面。定義：定義：四、有效斷面、流量和平均流速四、有效斷面、流量和平均流速2 2、流量、流量定義：定義： 三種表示方法：三種表示方法：以單位時(shí)間通過的流體重量表示，稱為重量流量，記作以單位時(shí)間通過的流

10、體重量表示，稱為重量流量，記作)(sNG單位時(shí)間內(nèi)通過有效斷面的流體量稱為流量。單位時(shí)間內(nèi)通過有效斷面的流體量稱為流量。對(duì)總流而言，體積流量為對(duì)總流而言，體積流量為udQ以單位時(shí)間通過的流體體積表示，稱為體積流量，記作以單位時(shí)間通過的流體體積表示，稱為體積流量，記作3/QmsLs或以單位時(shí)間通過的流體質(zhì)量表示，稱為質(zhì)量流量，記作以單位時(shí)間通過的流體質(zhì)量表示，稱為質(zhì)量流量，記作mQkgsmGgQQv平均流速的物理意義：平均流速的物理意義：就是假想有效斷面上各就是假想有效斷面上各點(diǎn)的速度相等，而按平點(diǎn)的速度相等，而按平均流速流過流量正好相均流速流過流量正好相等。所以有等。所以有AudAAvQ或或A

11、QudAAvA1實(shí)際流體流動(dòng)的有效斷面上各點(diǎn)處的速度大小都是實(shí)際流體流動(dòng)的有效斷面上各點(diǎn)處的速度大小都是不一樣的，工程上為簡(jiǎn)化問題，引入有效斷面上速不一樣的，工程上為簡(jiǎn)化問題，引入有效斷面上速度的平均值，稱為平均流速，以度的平均值，稱為平均流速，以v表示。表示。3 3、平均速度、平均速度 由此可以看出，有效斷面的平均流速v就是有效斷面上各點(diǎn)速度u對(duì)面積A的幾何平均值。工程上所說的管道中的流速，便是有效斷面的平均流速。引入平均流速后可將實(shí)際流體的二元流動(dòng)簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化為一元流動(dòng)。3 3、平均速度、平均速度練練3-1 3-1 已知拉格朗日描述為已知拉格朗日描述為 ttbeyaex求：求：( (1)1)跡

12、線；跡線； (2)(2)速度與加速度的歐拉描述；速度與加速度的歐拉描述； (3)(3)流線方程。流線方程。abxy 解解: :(1)(1)將已知條件將已知條件( (x,y) )中的參數(shù)中的參數(shù) t 消去便可得到跡線方程消去便可得到跡線方程 ，即將即將x，y相乘可得相乘可得上式便是初始時(shí)刻位于上式便是初始時(shí)刻位于( (a, ,b) )的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。(2) (2) 依題意可得依題意可得txxaetua tybetyu txaetxu tyybetua 再將已知條件代入上述表達(dá)式，可得速度和加速度的歐拉描述再將已知條件代入上述表達(dá)式，可得速度和加速度的歐拉描述ybeuxaeut

13、ytx ,ybeaxaeatytx ,(3) (3) 將所得的歐拉描述的速度表達(dá)式代入流線方程得將所得的歐拉描述的速度表達(dá)式代入流線方程得ydyxdx 積分可得流線方程為積分可得流線方程為cxy 初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于空間點(diǎn)初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于空間點(diǎn)( (a, ,b) )上，則上，則 ，可得跡線，可得跡線方程為方程為 ，與得到的跡線方程一致。，與得到的跡線方程一致。abc 1abxy 定義：定義： 確定物質(zhì)的集合。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 始終包含著相同的流體質(zhì)點(diǎn)； 系統(tǒng)的形狀和位置可以隨時(shí)間變化； 邊界上可有力的作用和能量的交換，但不能有質(zhì)量的交換。1.1.系統(tǒng)系統(tǒng)一一 系統(tǒng)（系統(tǒng)（system,Syssyste

14、m,Sys）與控制體（）與控制體（control volume,CVcontrol volume,CV）（拉格朗日描述）（拉格朗日描述）3-4 3-4 連續(xù)性方程連續(xù)性方程系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為環(huán)境。環(huán)境。系統(tǒng)與環(huán)境的分界面稱為邊界。邊界。（1 1）控制體內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)是不固定的；）控制體內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)是不固定的；定義：定義：特點(diǎn)：特點(diǎn)：是指根據(jù)需要所選擇的具有確定位置和體是指根據(jù)需要所選擇的具有確定位置和體積形狀的流場(chǎng)空間?？刂企w的表面稱為控積形狀的流場(chǎng)空間?？刂企w的表面稱為控制面（制面（control surfacecontrol surface）。）。2.2.控制體控制體（2 2）控制體的位置和形狀

15、不會(huì)隨時(shí)間變化；）控制體的位置和形狀不會(huì)隨時(shí)間變化；（3 3）控制面上不僅可以有力的作用和能量）控制面上不僅可以有力的作用和能量 交換，而且還可以有質(zhì)量的交換。交換，而且還可以有質(zhì)量的交換。（歐拉描述）（歐拉描述）二二 輸運(yùn)定理（輸運(yùn)定理（ transport theorem transport theorem ）我們所學(xué)過的固體力學(xué)，是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)我們所學(xué)過的固體力學(xué)，是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行的分析還是針對(duì)空間點(diǎn)進(jìn)行的分析？行的分析還是針對(duì)空間點(diǎn)進(jìn)行的分析？如何將基于系統(tǒng)的基本原理如何將基于系統(tǒng)的基本原理(質(zhì)量守恒，能量守恒，動(dòng)量守恒，質(zhì)量守恒，能量守恒，動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒等角動(dòng)量守恒等)表達(dá)成適用于

16、控制體的形式，這就是輸運(yùn)定理所表達(dá)成適用于控制體的形式，這就是輸運(yùn)定理所要解決的問題。要解決的問題。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)系統(tǒng)拉格朗日描述拉格朗日描述工程上很少用這種方法工程上很少用這種方法歐拉描述歐拉描述空間上的點(diǎn)空間上的點(diǎn)控制體控制體12mmCVqqdtdmIIIIII系統(tǒng)中質(zhì)量變化率，系統(tǒng)中質(zhì)量變化率，即即(dm/dt)sys=?0()()( )( )()limIIIIIIIIsystmttmttm tmtdmdtt ()()IIm ttm tt0()() ( )( )()()limIIIIIIIIIItm ttmttm tmtmttm ttt 表示控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率；表示控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率；

17、表示輸出控制體的質(zhì)量流量；表示輸出控制體的質(zhì)量流量；表示輸入控制體的質(zhì)量流量。表示輸入控制體的質(zhì)量流量。12mmCVsysqqdtdmdtdm依質(zhì)量守恒定律，有依質(zhì)量守恒定律，有(dm/dt)sys=0穩(wěn)定流動(dòng)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體不可壓縮流體22211121vAvAqqmm212211QQvAvA三三 一元穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程一元穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表述形式。對(duì)于一元穩(wěn)定不可壓縮流動(dòng)，流體表述形式。對(duì)于一元穩(wěn)定不可壓縮流動(dòng)，流出控制體的體積流量（出控制體的體積流量（+）等于流入控制體的）等于流入控制體的體積流量（

18、體積流量（-）。）。Q為體積流量為體積流量q為質(zhì)量流量為質(zhì)量流量1110MNMNiiijjkkijkQAvA vA v24例：某瞬時(shí)水流通過具有自由面例：某瞬時(shí)水流通過具有自由面A3的蓄水通道，已知通道的蓄水通道，已知通道截面積截面積A1=A2=0.1m2，A3=0.2m2。設(shè)流動(dòng)定常，。設(shè)流動(dòng)定常，A1，A2截截面上流動(dòng)均勻，面上流動(dòng)均勻，v1=1m/s，v2=1.2m/s。求該瞬時(shí)自由水面。求該瞬時(shí)自由水面高度的變化率。高度的變化率。332211AvAvAvv3=-0.1m/s該瞬時(shí)自由面該瞬時(shí)自由面A3的下降速的下降速度為度為0.1m/s。解：取控制面如圖，設(shè)自由面上水位變化是均勻的，并

19、設(shè)控制面解：取控制面如圖，設(shè)自由面上水位變化是均勻的，并設(shè)控制面A3上流上流體的出流速度為體的出流速度為v3，由不可壓縮流體的連續(xù)方程可得，由不可壓縮流體的連續(xù)方程可得25例：如下圖所示，逐漸擴(kuò)張的管道進(jìn)出口截面面積分別為例：如下圖所示，逐漸擴(kuò)張的管道進(jìn)出口截面面積分別為Ai，Ae，若其中不可壓縮流體的進(jìn)出口平均流速，若其中不可壓縮流體的進(jìn)出口平均流速Vi，Ve已知，已知，有一導(dǎo)管將部分流體疏導(dǎo)至管外，求單位時(shí)間內(nèi)導(dǎo)管出口有一導(dǎo)管將部分流體疏導(dǎo)至管外，求單位時(shí)間內(nèi)導(dǎo)管出口的流體重量的流體重量Ws？四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程zoyx BA CD FE GH1.流入與流出微元六

20、面體的質(zhì)量x方向棱長(zhǎng)為dx,dy,dz的六面體，速度分量為ux,uy,uz。在dt時(shí)間內(nèi)從ABCD流入的質(zhì)量為：yzxd d u dt在dt時(shí)間內(nèi)從EFGH流出的質(zhì)量為：()yzxyzxd d u dtd d u dtdxx()()yzxxxyzd d u dtudxd d d dtxx流入與流出微元六面體的質(zhì)量x方向y方向()yxyzud d d dtyz方向()zxyzud d d dtzdt時(shí)間內(nèi)六面體的凈流量為()()()yxzxyzuuxyud d d dtz四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程2. 微元六面體內(nèi)的質(zhì)量變化率由密度引起xyzd d d dtt3.質(zhì)量守恒()

21、()()0yxzxyzxyzuuud d d dtd d d dtxyzt()()()0yxzuuuxyzt四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程()0yxzxyzuuuuuutxyzxyz0yxzxyzuuuuuuxyzxyzt四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程()()()0yxzuuuxyzt0ddivudt流體空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，適用于所有的流動(dòng)。流體空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，適用于所有的流動(dòng)。()0divut()0yxzxyzuuuuuutxyzxyz0yxzxyzuuuuuuxyzxyzt四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程()()()0yxzuuuxyz

22、t0ddivudt流體空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，適用于所有的流動(dòng)。流體空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，適用于所有的流動(dòng)。()0divut四四 空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程假設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)()0divu()0divut假設(shè)不可壓縮流體( )0div u0ddivudt0t0ddtcossinrxyuuusincosxyuuuzu110rzr vvtr rrvz柱坐標(biāo)系中質(zhì)量柱坐標(biāo)系中質(zhì)量守恒微分方程為：守恒微分方程為：例例已知流動(dòng)速度場(chǎng)為已知流動(dòng)速度場(chǎng)為 ，試判斷流動(dòng)是否可壓縮。試判斷流動(dòng)是否可壓縮。236(),2,4xyzuxyuyz uxyz解：根據(jù)已知條件可得解：根據(jù)已知條件可得120yxzuu

23、udivuxyz0ddt0ddivudt流動(dòng)為可壓縮。流動(dòng)為可壓縮。例：例：不可壓縮流場(chǎng)的兩個(gè)速度分量為不可壓縮流場(chǎng)的兩個(gè)速度分量為222czbyaxufzxeyzdxyv其中，其中，a, b, c, d, e, f為常數(shù)，求速度分量為常數(shù)，求速度分量w。例：例： 驗(yàn)證不可壓縮流場(chǎng)：驗(yàn)證不可壓縮流場(chǎng)：是否符合連續(xù)性？是否符合連續(xù)性？2222,yxyvyxxvyx1.1.連續(xù)性方程表示控制體的連續(xù)性方程表示控制體的_守恒守恒 (A) (A) 能量能量 (B) (B) 動(dòng)量動(dòng)量 (C) (C) 流量流量 (D) (D) 質(zhì)量質(zhì)量 2.2.控制體是控制體是_(A) (A) 包含一定質(zhì)量的系統(tǒng)包含一定

24、質(zhì)量的系統(tǒng)(B) (B) 位置、形狀都變化的空間體位置、形狀都變化的空間體(C) (C) 固定的空間體固定的空間體(D) (D) 形狀不變，位置移動(dòng)的空間體形狀不變，位置移動(dòng)的空間體 DC3.3.單位時(shí)間內(nèi)，控制體里面由于密度變化引起的質(zhì)量增量單位時(shí)間內(nèi)，控制體里面由于密度變化引起的質(zhì)量增量等于從控制面等于從控制面_。(A)(A)流出的動(dòng)量流出的動(dòng)量 (B) (B) 流入的動(dòng)量流入的動(dòng)量(C) (C) 流出的質(zhì)量流出的質(zhì)量 (D) (D) 流入和流出控制體的質(zhì)量差流入和流出控制體的質(zhì)量差D4.4.以下哪些概念屬于拉格朗日法以下哪些概念屬于拉格朗日法 （）（）流線；流線； 跡線；跡線； 系統(tǒng)；系統(tǒng)； D D控制體；控制體；C CB B4.4.以下哪幾種概念屬于歐拉法（）以下哪幾種概念屬于歐拉法（）流線；流線； 跡線；跡線； 液體質(zhì)點(diǎn)；液體質(zhì)點(diǎn)； D D控制體；控制體； E E固定空間點(diǎn)。固定空間點(diǎn)。A D E4.4.試判斷不列各三維流場(chǎng)的速度分布是否滿足不可壓縮流體試判斷不列各三維流場(chǎng)的速度分布是否滿足不可壓縮流體連續(xù)性條件：連續(xù)性條件： （1 1） （2 2）（3 3）（4 4）xyzyxwzyvyxu4,2,2222222222222,2y