【教師必備】小學(xué)奧數(shù)4-2-5平移、旋轉(zhuǎn)、割補.專項檢測及答案解析

1、4-2-5平移、旋轉(zhuǎn)、割補例題精講4-2-5.平移、旋轉(zhuǎn)、割補 題庫page 14 of 12圖形變換，是指不改變圖形的大小、形狀，只通過位置關(guān)系的改變（旋轉(zhuǎn)、平移、折疊等）構(gòu)成新的圖形.【例1】 右圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，它們的寬都是2,求草地部分的面積（陰影部分）有多大？【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【題型】解答【解析】 如圖所示，將道路平移后的 （162產(chǎn)（102 ）=112。【答案】112【例2】 如圖所示，一個正十二邊形的邊長是 1厘米，空白部分是等邊三角形，一共有12個.請算出陰影部分的面積.1cm1cm1cm【考點

2、】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】3星【題型】解答【解析】 如圖，將陰影部分分割成一個正六邊形和12個小三角形，再把正六邊形分割成6個正三角形，由于正十二邊形的每個內(nèi)角為180%（12-2廣12=1502 所以陰影小三角形的頂角等于150'-60%2=30：每個頂角的兩邊和與其相鄰的正三角形的 底邊所成的角都是300 + 60+ = 90）所以通過如右上圖所示的平移可以組成6個邊長為1厘米的正方形，所以所求陰影部分面積為12M6 =6平方厘米.【答案】6【例3】 如圖所示，梯形ABCD中，AB平行于CD ,又BD=4, AC =3 , AB + CD=5 .試 求梯形ABCD的面積.【考點】平

3、移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】3星【題型】解答【解析】 如右圖，將 AB沿AC平移至CE，連接BE ,在三角形 BDE中，有 BD=4 ,222BE = AC =3, DE=AB+CD =5,有 BD +BE =DE，所以二角形 BDE 為直角 三角形.由于S逸bd=S&abc S& BC所以梯形ABCD的面積與三角形BDE的面積相等，為1m3 M4 =6.2【答案】6例 4 如下圖，六邊形 ABCDEF中，AB = ED, AF =CD , BC=EF ,且有 AB平行 于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,對角線FD垂直于BD ,已知FD =24厘 米，BD=18厘米，

4、請問六邊形 ABCDEF的面積是多少平方厘米？【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【難度】5星【題型】解答【解析】 如圖，我們將ABCD平移使得CD與AF重合，將iDEF平移使得ED與AB重合, 這樣EF、BC都重合到圖中的 AG 了.這樣就組成了一個長方形BGFD ,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為24父18 = 432平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.【答案】432例5如圖2,六邊形ABCDEF為正六邊形，P為對角線CF上一點，若PBC、PEF的 面積為3與4 ,則正六邊形 ABCDEF的面積是 .【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞

5、】迎春杯、中年級、初賽、 7題【解析】這是一道幾何問題，考察同學(xué)們對常見圖形性質(zhì)的認識.正六邊形的六條邊都相等，每個角都是，每一組對邊都互相平行， 正六邊形可以看作是由六個正三角形拼成的 （如圖（1）.其中正六邊形的面積是正三角形面積的6倍.每相鄰兩個正三角形拼成的是一個平行四邊形.如圖（2）,連結(jié)BF ,三角形ABF的面積是平行四邊形ABFO面積的一半.六邊形 ABCDEF的面積是平行四邊形 ABFO的3倍，故六 邊形ABCDEF的面積是三角形 ABF的面積的6倍.如圖（3）,連結(jié)BF , CE , 三角形BCP的面積與三角形 EFP的面積和是平行四邊形 BFEC面積的一半.而六 邊形ABC

6、DEF的面積是平行四邊形 BFEC的1.5倍，故六邊形ABCDEF的面積是 三角形BCP的面積與三角形 EFP的面積和的3倍.圖（2）所以，由APBC> 4PEF的面積分別為3與4,可知正六邊形 ABCDEF的面積是（3 +4） m 3 = 21 .【答案】21例6 正六邊形A1A2A3A4A5A6勺面積是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米.A6【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯、六年級、初賽、 14題【解析】如圖，設(shè)B6A2與B1A3的交點為O,則圖中空白部分由6個與A2OA

7、3 一樣大小的三 角形組成，只要求出了 4。合的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影 部分面積.連接 A3A3、B6B1、B6A3設(shè)ABBs的面積為“1”，則B1A2B6面積為“ 1 "，AAAB6 面積為“ 2”，那么A6A3B6 面積為AAz國的2倍，為“ 4"，梯形 AA2AA6的面積為2父2+4父2=12, 4AzB6A3的面 積為“ 6"，ABAA3 的面積為2根據(jù)蝴蝶定理，B1O =A3O =S 61A2B6 ： SA A3A2B6 =1： 6 ,故 Sa AOA3 =-Sa=-，167121所以SaA2OA : S弟形A1A2A3A6 = -

8、1 12 ：1： 7，即A2OA3的面積為梯形 A1A2A3A6面積的-,故為K113邊形AA2A3A4A5A6面積的 一，那么空白部分的面積為正K邊形面積的一乂6=-，所以陰影14147部分面積為2009父1 -3 "）=1148（平方厘米）. ,7【答案】1148【例7】 按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形.已知甲 三角形兩條直角邊分別為2cm和4cm,乙三角形兩條直角邊分別為3cm和6cm ,求圖中陰影部分的面積.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】3星【解析】 如右圖，我們將三角形甲與乙進行平移， 長方形面積之和.所以陰影部分面積為:【答案】11【題型

9、】解答就會發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積等于平移后兩個3 4 6 2 （3 6 - 2 4 22） =11（ cmj【例8】在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】3星【題型】解答【解析】陰影總值是一個梯形.我們用三種方法解答.割補法從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形.將這兩個直角三角形拼成一個長方形（見下圖）.顯然，陰影部分正好是長方形的 1 ,所以原題陰影部分占整個圖形面積的1.33拼補法將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）.顯然，圖中陰影面積占平行四邊形面積的1

10、.根據(jù)商不變性質(zhì)，將陰影面積和平行四邊形面積同時除以2,商不變.所以原題陰3影部分占整個圖形面積的 1.3等分法將原圖等分成9個小三角形（見右上圖），陰影部分占3個小三角形，所以陰影部分占整個圖形面積的3 =1. 9 3注意，后兩種方法對任意三角形都適用 .也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形, 其它條件不變，結(jié)論仍然成立 .3【例9】 如下左圖，有兩個大小相同的完全重疊在一起的正方形，現(xiàn)在以點P為中心轉(zhuǎn)動一個正方形.當(dāng) AB=5厘米，BC=13厘米，CA =12厘米時（如下右圖），求右圖 中的兩個正方形相重疊部分的面積（注意，圖的尺寸不一定準(zhǔn)確 ）.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【難度】

11、3星 【題型】解答【解析】 右圖由左圖旋轉(zhuǎn)而得，則右圖中的8個空白小三角形都是完全相同的，右圖中重疊部分的面積等于正方形面積減去 4個小三角形的面積，從右圖中可以看出正方形的邊長為5+13+12 =30厘米，所以重疊部分的面積為：302 4x(5x12 + 2)=780 (平方厘米).【答案】780【例10如圖，在直角三角形中有一個正方形，已知BD=10厘米，DC =7厘米，求陰影部分的面積.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】4星【題型】解答【解析】 繞D點逆時針旋轉(zhuǎn) MED,使E與F重合，則C點落在AB邊上的C'點處，且 C'D =CD .則陰影部分面積轉(zhuǎn)化為直角三角形BC&#

12、39;D的面積，所以陰影部分的面積為10x7 + 2=35平方厘米.【答案】35【例 11】四邊形 ABCD 中，AB=30,AD=48, BC=14, CD=40.又已知/ AB*/ BDC900，求四邊形 ABCD勺面積.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【題型】解答【難度】5星【解析】如下圖，以BD的垂直平分線為對稱軸ACL,做 ABD關(guān)于L的對稱圖形 A'BD連接因為/ ABD/ BDC9000而/ ABDZ A'DB=900,所以有/ A,Da/ BDC900.那么A'CD為直角三角形，由勾股定理知AC2 = AB2 +CD2 =2500,所以 AC =50.而在 A&

13、#39;BC中，有 A'B=AD=48，有 482+142=25 00，即 A'd+BCuA,C2,即 ABC為直 角三角形.一- i _ 1,_ 1有 S|ACD Sabc=30 4014 48 一 =936.22而1 Sg邊形ABCD = SACD，SABC = 936 .評注：I .本題以/ ABG/ BDC900突破口，通過對稱變換構(gòu)造出與原圖形相關(guān)的角 三角形n .對于這道題我們還可以將BCD（乍L的對稱圖形.如下:【答案】936【例12如圖，在三角形ABW，當(dāng)AB和CD的長度相等時，請求出“？”所示的角是多少度 給出過程.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】5星【題型】

14、解答【解析】 因為AB=CD于是可以將三角形 ABC的邊BA邊與CD對齊，如下圖. 在下圖中有/ BCA110 ,所以/ ACD70 于是/ AC C' = / ACD+/ DC C' = / ACD+/ ABC =70 +40° =110° ；A即/ ACC'=110。=/ CCD；又因為 CA'只是CA移動的變化，所以C'A' = CA；則 ABC'A 是一等腰梯形.于是 ，/ ADC'=180° -110° =70° ；又/ CDC'=30° ,所以/ AD

15、C =70-30° =40° .【答案】40 °【例13如圖所示的四邊形的面積等于多少？【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】4星【題型】解答【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時三角形OAB將旋轉(zhuǎn)到三角形OCD的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為12x12=144.（也可以用勾股定理）【答案】144例14如圖，二角形abc是等腰直角二角形，

16、p是二角形外的一點， 其中/bpc_90o,AP=10cm，求四邊形ABPC的面積【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】5星【題型】解答【解析】 因為/BAC和/BPC都是直角，和為180，所以/ABP和ZACP的和也為180、 可以旋轉(zhuǎn)三角形 APC，使AC和AB重合，則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形 AP'P,面積為10M10+2 =50平方厘米.【答案】50【例15如圖所示，AABC中，ZABC=90"，AB=3, BC =5 ,以AC為一邊向AABC外 作正方形ACDE ,中心為O,求AOBC的面積.EEB 5 CB 5 C F【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【難度】5星【題型

17、】解答【關(guān)鍵詞】武漢明心奧數(shù)【解析】 如圖，將OAB沿著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,到達AOCF的位置.由于 ZABC=90% ZAOC =90°,所以2OAB+NOCB =180叱 而 NOCF =NOAB ,所以/OCF+/OCB=180那么B、C、F三點在一條直線上.由于 OB = OF , ZBOF =/AOC =90口，所以 iBOF是等腰直角三角形，且斜邊 BF為2 155+3=8,所以它的面積為 82父1 =16 .根據(jù)面積比例模型，AOBC的面積為16父、=10.48【答案】10【例16如圖，直角梯形 ABCD中，AD II BC , AB _L BC , AD

18、=2 , BC =3,將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 900至ED，連接AE、CE ,則 MDE的面積是.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】武漢明心奧數(shù)【解析】 如圖所示，將MDE以D為中心順時針旋轉(zhuǎn) 90口，到AFDC的位置.延長FD與BC 交于H .由于ABCD是直角梯形， AD與FD垂直，則四邊形 ADHB是長方形，則 BH =AD .由于 MDE與iFDC面積相等，而AFDC的底邊FD =AD =2 ,高Cd ® BH =321,所以iFDC的面積為2父1 +2 =1 ,那么 MDE的面積也為1 .【答案】1D，試比較三角形 ADG和三角形【例17如圖

19、，正方形ABCD和DEFG有一個公共點CDE的面積.【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【難度】5星【題型】解答【解析】 因為ZADC和ZGDE是直角，所以 /ADG和ZCDE是互補角，將三角形 ADG順 時針旋轉(zhuǎn)90 口到達AA'DE的位置，則A'、D、C在同一條直線上，且 A'D =AD=CD ,即D是A'C的中點，所以三角形CDE和三角形 A'DE面積相等， 則三角形CDE和三角形ADG面積相等.【答案】相等【例18如圖，以正方形的邊 AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE, NAEB=90，AC、BD交于O .已知AE、BE的長分別為3cm、5cm,求三角

20、形OBE的面積.CDF【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】資優(yōu)杯【解析】 如圖，連接DE ,以A點為中心，將 MDE順時針旋轉(zhuǎn)90©到MBF的位置.那么 ZEAF =NEAB +NBAF =NEAB +NDAE =90立，而 ZAEB也是 90% 所以四邊形 AFBE 是直角梯形，且 AF =AE =3 ,所以梯形AFBE的面積為：12(3 +5 產(chǎn)3父一 =12( cm ). 2又因為 MBE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB2 = AE2+BE2 =32+52 =34 ,所以_1 一 2 . ,2、Sbd =2" AB =17( cm ) 那么 S4

21、DE =SaBD (S2BE +S力DE )=S&BD SAFBE =1712 =5 ( Cm ),所以 S為be -2SDE =2.5 ( cm ) .【答案】2.5【例 19如圖，已知 AB = AE=4cm, BC = DC, /BAE =/BCD =90)AC=10cm,則S ABC S ACE S CDE 2 cm .BACBAEDC點分別順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)DCDDE50CDDABAB4.ABD =305ABD 中AB 二CDAA0DEAEC'禾 ACA'C將iDBC剪上圖所示.貝5 J10題C點在E點的£O中心對稱，在中心對如圖所示的四邊形 連接對

22、角線BD,A'DC ,再連接 A'C',顯然 AC _LAC', AC ±A'C , AC =A'C = AC',所以D B 8 0翻轉(zhuǎn)，再貼在 BD邊上，即將B點粘在D點上，D點粘在B點上，如右【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補 【用【關(guān)鍵詞】迎春杯、高年級、復(fù)賽、【解析】將三角形ABC繞A點和12-10 10= 50cm 2是正方形.三角形 AEC'和三角形A'DC關(guān)于正方形的中心 稱圖形ACA'C'中有如下等量關(guān)系：之置.由于 /ADB+/EDB =105口+75口=180： 所以 A、D、E /A=

23、/E =/C=45° ,所以 /ABE =90',即 MBE 是等腰直角ABCD 中，/A=/C=45°, /ABC =105°, AB = CD=15厘米 /ABD =30上 求四邊形 ABCD的面積.EC【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、割補【關(guān)鍵詞】第八屆、華杯總決賽【解析】由 /A = 45° , .DBC =105 -30E - S CDES AEC方厘米.【答案】112.5ABCD的面積，所以四邊形ABCD的面積為15a5 =112 5平2B CDC' ； S&ECB40Y 7040-30?- 110DA所以S ABCC割補【考點】

24、平移、旋轉(zhuǎn)、 【解析】如圖，乙 A C B1由于 AB=CD8 0-(30【題型】解答以將AABC移動到ADCE , 由于4 0,= CD =18031103 = 70*/ACE=70+40o=110J 又/CED=110*,而 AC=DE ,所以四邊形 ACED是等 腰梯形，有 /ADE=180©/CED=180。110口 = 70*, /ADC =70J30* = 40口.點評：通過構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化.【答案】40.當(dāng)三角形ABC的面積是50cm2時,【例22下圖三角形 ABC是等腰三角形， AB=AC, NBAC=120©.三角形ADE是正三角形，點D在BC邊上，B

25、D:DC=2:3 角形ADE的面積是多少？FRAQAEBDBCD5RD面積是正六邊形面積的QCCE14A6cmBQC5974ae2111所以7 cmb9cma2cmed1 a131 b)圖，正方形PQRS的面積所以a【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、害肝 【解析】以點A為中心, 是一個正六邊形b c d 75ABC可拼成右圖DQ、RQ,顯黑BQ =QC .求正方形【考點】平移、旋轉(zhuǎn)、 【解析】如下2C 3 =42cm所以是三角形ADE的面積的3倍r 2 2cm2M3=150cm ,根據(jù)“鳥頭定理解答:連結(jié) QE、RF、GD ,則 DEFG；RDQ是一個等邊三角形，并且它的【題型】解答ABC的12268, b

26、 c d14313681 375-143DQ -i3=42-： 3=14cm2S PBC - S ABC23BC3 2 2 37cm ':飛z S 三 9cmE C6cmc所以S RDQp如下圖左，將三角形 c和三角形d分別以P、R為中心按箭頭方向旋轉(zhuǎn) 90s,形成由兩個直143角三角形連在一起的一個四邊形，如下圖右, b、c、d被虛線分成兩個直角三角形，它們2.682的面積之和為：b+c+d =7x6 + 2+9x2 + 2 =30cm ,所以 a =30m =27.2(cm ).75【難度】4星【題型】解答011人有/ MBD60 + S|_ADE =二 SF六邊形 DEQSRT =二 S DQR63 -1800 -1200=/ PCD CP=BM BD=CD所以有 MB等 PCD于是/ MDC/ PDC又因為/ MD+/ NDC600,所以/ PDG/ NDC/ NDP600;MBPD 在MDN APND43, / NDM/ NDPND=NDMBPD于是 MNDA PND有 MN=PN 因為 NP=NP=NGCP而 AMABMBABCP所以 AMAN+MN(ABCP+Ar+(NGCP=ABbAN+NC=2.即AAMN勺周長為 2.【答案】2【例25】若干個大小相同的正五邊形如右圖排成環(huán)狀，下圖中所示的只是 么要完成這一圈共需個正五邊形.3個五邊