課例研究直線的點方向式方程

1、課例研究：直線的點方向式方程數(shù)學教研組 孫賢歡現(xiàn)有教師在職教育雖形勢多樣，但效果頗難如愿，多數(shù)參與培訓的教師依然很難將所培訓的知識和技能應用到日常課堂之上。以“課例”為載體、在教學行動中開展包括專業(yè)理論學習在內(nèi)的教師教育行動教育模式，既利于提高課堂教學實效，又利于教師的專業(yè)成長。2006年，學校開展課例學習活動，又恰逢筆者要參加區(qū)里面的教學比武，所以正好利用此次機會，把筆者在學校里面的試講改進方案一一詳細記錄，作為一次課例分析的嘗試。 筆者所選擇的課題為直線方程，直線這一章節(jié)的核心思想是：通過坐標把幾何問題表示成代數(shù)問題，然后通過方程來研究直線！直線是解析幾何中最基本而內(nèi)涵豐富，應用廣泛的內(nèi)容

2、之一，同時也是應用解析法解決平面幾何問題的基礎，涉及角，距離的計算和平行垂直的判斷，不但是重要的知識點，更是進一步學習圓錐曲線的基本工具。原計劃設計方案：在新教材中，用向量方法推導直線方程體現(xiàn)了從幾何角度分析，確定直線需要兩個獨立的條件（位置和方向），利用給定的條件，通過向量平行和垂直的充要條件（對應坐標的關系式）推導出直線的點方向式方程、點法向式方程。我們用向量工具推導直線方程，不僅形式十分簡潔明了，而且能充分認識字母系數(shù)的含義，這對以后學習直線的一般式以及位置關系有十分重要的意義！對于學生而言，初中時已學過一次函數(shù)、正比例函數(shù)這兩種形式的直線方程，對于直線有一定的了解，而本堂課是讓學生了解

3、直線的兩種新的的形式：點方向式、點法向式！初中時候?qū)W生學習的直線方程是模糊的，而通過這節(jié)課，要讓學生能夠清楚的明白何謂直線方程，徹底明白直線與方程之間需滿足怎樣的關系才能夠稱為直線方程！所以這節(jié)課的重點為：直線方程的意義以及直線的點方向式、點法向式方程。難點為：直線方程的意義。主要流程如下：一次函數(shù)、正比例函數(shù)引入兩點確定一條直線，拿掉一點行嗎？換一個這樣的條件也同樣能夠確定一條直線呢？（板書）利用向量平行的性質(zhì)讓學生探究推導 “點方向式方程”直線方程定義解決例題1：已知點和，求經(jīng)過點且與平行的直線的點方向式方程？變式：求經(jīng)過點和的直線的點方向式方程！例題2：讓學生用類比的方法推導：點法向式方

4、程例題3：已知點，求的垂直平分線的點法向式方程小結(jié)作業(yè)對于點方向式的推導，我采取引導學生推導的策略，而對于點法向式，就完全由學生類比點方向式的推導，讓學生自己探究，自己感悟。在講直線與方程關系的時候，先講定義，再舉一個例子，并借助于圖象來說明直線與方程的關系，從而由特殊到一般，通過證明來說明是所求的直線方程！第一次記錄：在高二（10）班第一次試講時，學生基本上按照我所設計的方案有條不紊的進行，學生在探究點方向式方程以及用類比的方法來研究點法向式方程時都能積極主動參與，達到了我所預定的目標。但是在講直線方程的定義時，從學生的反應當中能夠感覺到學生并沒有真正的理解掌握。原因有兩個方面：一、以往在初

5、中的教學過程中已經(jīng)用到了直線方程這一個概念，學生認為在這邊再給它定義，老師是不是多此一舉。二、概念本身比較抽象，要充分理解方程的“解”和圖形的“點”之間的關系。除此之外，在例1的變式中，有的人選擇用點，有的用，從表達式上講是不一樣的，當我讓學生來解釋時，可喜的是一部分學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)通過化簡后是同一個方程，于是我借助于學生的發(fā)現(xiàn)，總結(jié)為：同一條直線可以有不同的點方向式方程。在評課的過程中，各位老師給我提出了一些寶貴的意見，本人根據(jù)學生狀況并確立了解決的方案：1、例題1中可以再變式：求一條中位線的點方向式方程，有助于原例題與兩變式之間比較。2、板書時：已知兩點能確定一條直線，當問到拿掉一個點換一個怎

6、樣的條件也能確定直線時，在黑板上可以擦掉一個點，這樣比較生動形象而且有助于學生想到再加一個條件（方向）。3、 在探究例題2時，多給學生一點時間并最終讓學生上黑板寫出點法向式的推導過程！4、講直線方程時，該部分各評課老師之間的觀點是比較有爭議的，有的老師認為要詳講，是一個新的重要的概念。有的老師認為在這邊只需要略講，因為課本后面還有一節(jié)課：曲線與方程，到時再講的透徹些。最終考慮到本堂課的側(cè)重點放在點方向式方程比較合適，所以選擇了略講。然后借助于一個簡單的直線方程和它的圖形來進行說明。5、本堂課容量過多，不易于學生真正的理解并掌握。各評課老師經(jīng)過討論后例題準備重新安排，點法向式不準備講！在各位老師

7、的指導之下，我準備重新設計這堂課程，整個流程如下：一次函數(shù)、正比例函數(shù)引入兩點確定一條直線，拿掉一點行嗎？換一個這樣的條件也同樣能夠確定一條直線呢？（板書）利用向量平行的性質(zhì)讓學生探究推導 “點方向式方程”直線方程定義例題1：觀察下列直線方程，并指出各直線必過的點和它的一個方向向量？ 例2：已知點和，求經(jīng)過點且與平行的直線的點方向式方程？變式1：求經(jīng)過點、C兩點的直線的點方向式方程？變式2：求 中，平行于邊的中位線所在直線的點方向方程？例題3：能否把直線方程化為點方向式方程？若能，它的點方向式方程是否唯一？并觀察x、y的系數(shù)與方向向量有什么聯(lián)系？（探究性學習）小結(jié)作業(yè) 重新定義教學重點為：直線

8、的點方向式方程。教學難點為：理解直線方程以及點方向式方程的推導。 第二次記錄：在高二（13）班再上這堂課時，相對前一次相比，課的容量減少，難度降低，前一次所出現(xiàn)的問題也能夠基本上得到改善，整個教學過程也比較舒暢。但是上課時學生與老師的語言交流還不夠，缺乏一些默契。我自己分析了一下，可能是該班并不是我是任課老師造成的，而上一次的高二（10）班是我與學生之間經(jīng)過了半個學期的磨合，所以比較順手。在例題2的變式3中，學生甲是通過求出兩中點再轉(zhuǎn)化為變式2中的已知兩點求直線方程的，當我問及有沒有不同解法時，很激動的能夠看到一部分同學提出只需要求一個中點，然后利用作為方向向量即可?？梢娺@一部分同學是真正掌握

9、了直線的點方向式方程的精髓：一個點、一個方向。在和各位聽課老師交流后，針對這堂課所存在的問題我制定了新的策略：1、在對的分類討論時，把這種情況放在最后一類，便于和例題1直接產(chǎn)生聯(lián)系。有助于學生解答輕松的解決例題1。2、講直線方程時還需要精煉！經(jīng)過各位老師的討論，最終決定就按照書上兩句話：以方程的解為坐標的點都在曲線上，曲線上的點都是方程的解，然后直接給出定義！不要特意展開，否則一發(fā)不可收，并提示學生后面在講曲線與方程將重點講，有興趣的同學課后可以先看書本。3、在解題和探究的過程中，圍繞點方向式方程的特點，一個點，一個方向展開。這樣就能夠讓學生不斷的感悟到，點方向式方程的特點：一個點、一個方向。

10、4、在例題3的探究活動中，考慮到部分學生并不能夠探究出結(jié)論或者不會歸納結(jié)論，所以準備先讓學生獨立探究，再以四人為一個小組團隊討論，最終由學生說出結(jié)論。這樣既能夠培養(yǎng)學生的團隊合作精神又能夠達到我所預定的例題目標。第三次記錄：最后一堂課放在高二（9）班，感覺上的很熟練，思路也較清晰。以往所出現(xiàn)的問題都一一得到了明顯的改善，但讓學生探究例3的時候，我發(fā)現(xiàn)有部分學生模仿例2中變式1的結(jié)論，直接得到和兩個點方向式方程。如果有下一次上該堂課的機會，我準備換一個方程讓學生進行探究！一方面便于學生化為點方向式方程，一方面防止學生參照例題2的變式1，對于學生主體而言并沒有積極思考！直線的方程這一堂課我共上了3

11、次，有點遺憾就是沒有想到一個合適的引入，通過初中的一次函數(shù)引入，感覺上有點枯燥。后來我想到了這樣的一個引例：南橋鎮(zhèn)在爭創(chuàng)全國文明鎮(zhèn)的過程中，要給參觀者介紹南橋各主要道路的地理位置，比如如何介紹人民路呢？學生會說：由北向南（方向）；人民路上有金葉商廈（點）等從而發(fā)現(xiàn)：一個點和一個方向能夠確定一個平面。這樣就能夠讓學生體驗到數(shù)學來源于生活，運用于生活！也較符合二期課改精神！ 收獲感悟：通過這次課例分析，我發(fā)現(xiàn)自己不知不覺成長了許多，同樣一堂課，從我最初的個人設計，通過各位同事的幫助下，再經(jīng)過自己不斷的反思，逐步的完善了這樣一堂課，最終的這堂課的教案可以說是集中了我們整個數(shù)學備課組智慧的精華。從我個

12、人角度出發(fā)，也有了很多收獲：1、一個青年教師在面對某些教學問題時，由于缺乏經(jīng)驗總會擔心自己所選擇的處理方式是否正確，也無法預見上課時學生會出現(xiàn)的問題。但通過課例研究，反復的上同一堂課，面對不同學生的不同想法采取不同的方法，從而積累寶貴的教學應變能力。2、課例研究的整個過程其實也是一個讓教師發(fā)現(xiàn)自己、肯定自己，完善自己，發(fā)展自己，增強教師的個人成就感，增強教師的合作意識，引導老師自主提高知識素養(yǎng)、業(yè)務能力、科研水平的過程。對于我這樣的青年教師而言，特別能夠促進成長！3、通過這一次的課例研究，從中我也發(fā)現(xiàn)了作為一個青年教師自身還存在著許多不足之處，相比較一些經(jīng)驗豐富的老師而言，各方面還存在著很大的

13、差距。所以在以后的教學過程中，要多進行課例研究，不斷的完善自己。4、對于同一堂課，每位教師總有自己的設計方案，正所謂“仁者見仁，智者見智”。作為我們青年教師而言，平時一定要多思考，多研究，反復推敲，正如課例分析一樣，這樣才能使自己的教學素養(yǎng)和思維品質(zhì)在原有的基礎上面不斷的提高。附：詳細教案課題：直線的方程直線的點方向式方程教學目標：1、理解直線方程的意義，掌握直線的點方向式方程。2、學生分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想和探究能力的培養(yǎng)。 3、培養(yǎng)學生探究新事物的欲望，獲得成功的體驗，樹立學好數(shù)學的信心。教學重點：直線的點方向式方程。教學難點：理解直線方程以及點方向式方程的推導。教學過程：師：在我們

14、以前所學的函數(shù)中，哪些函數(shù)的圖象是直線？生：一次函數(shù)師：那么怎樣才能夠確定一條直線呢？生：兩點能夠確定一條直線?。ò鍟寒嬈矫嬷苯亲鴺讼?、兩點以及這兩點所確定的直線）師：兩點能夠確定一條直線，假如拿掉一個點（板書：擦掉一個點），換一個怎樣的條件，那么也能夠確定一條直線呢？ 生：方向xLOy師：很好，那么今天我們主要研究一下當一條直線的方向和一個非零向量平行的情況！ 已知：直線過點，且與非零向量平行，求：直線上任意一點滿足的關系式？ 同時我給出方向向量的定義！ 解：點為直線上任意一點，易得向量， 結(jié)合圖形：師：直線上所有點的坐標是否都滿足方程？ 生：是！ 師：那么，以方程的所有解為坐標的點是否都

15、在直線上？生：是！師：這樣就建立了直線上所有點組成的集合與方程的解的集合之間的對應關系。我們把方程叫做直線的方程，把直線叫做方程的圖形！師：接著我們來進一步的研究 ，當時，方程可化為什么形式？ 生： 利用圖形解釋：表示過，平行于軸的一條直線師： 時呢？生： 利用圖形解釋：表示過，平行于軸的一條直線師： 時呢？生： （積的形式轉(zhuǎn)化為商的形式）師：我們把稱為：直線的點方向式方程 思考：它能夠表示所有的直線嗎？形式的特點？需要哪些量？如果忘記了，怎么辦？例題1：觀察下列直線方程，并指出各直線必過的點和它的一個方向向量？ 解：經(jīng)過點，它的一個方向向量是化簡得到：，從中可見該直線經(jīng)過點，一個方向向量是數(shù)形結(jié)合解題，并點名方向向量的特點！有無數(shù)個方向向量！小結(jié)：通過直線的點方向式方程，可以判斷一條直線經(jīng)過的一個點和它的方向向量。例題2：已知點和，求經(jīng)過點且與平行的直線的點方向式方程？ （問：過點B與AC平行的直線） 解： ， M O N x三個方面講解：點、方向、點方向式方程。 變式1：求經(jīng)過點、C兩點的直線的點方向式方程？解： ， 思考：有沒有別的表達方式？是否一樣呢 ？不妨化簡，得到的都是：變式2：求 中，平行于邊的中位線所在直線的點方向方程？解：的中點為，的中點為，則小結(jié)：這三類題目的特點與解法！