九上數(shù)學(xué)《垂徑定理》

1、三井二中 初三 數(shù)學(xué)王相丹問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它

2、的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸圓的對稱性圓的對稱性n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形, ,它的對稱中心就是圓它的對稱中心就是圓心心. .n用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到: :n一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度意一個角度,都能與原來的圖都能與原來的圖形重合形重合.O如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E

3、（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半兩側(cè)的兩個半圓重合，點圓重合，點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重重合，合， ， 分別與分別與 、 重重合合ACADBCBD（?。夯。篈C=BC，AD=BD（OABCDEAEBE， ，ACBCADBD

4、即直徑即直徑CD平分弦平分弦AB，并且平分并且平分及及ABACB垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧所對的兩條弧垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 例例1 1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧( (即即圖中弧圖中弧AB,AB,點點O O是弧是弧ABAB的圓心的圓心),),其中其中AB=600m,EAB=600m,E為弧為弧CDCD上的一點上的一點, ,且且OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m

5、.F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .n解解: :連接連接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為,CDOE ).(3006002121mCDCF得根據(jù)勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解這個方程.545m這段彎路的半徑約為解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4

6、，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中例例2 2：如圖，用：如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心所在圓的圓心為為O O，半徑為，半徑為R R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O 作弦作弦AB AB 的垂線的垂線OCOC，D D為為垂足，垂足，OCOC與與AB AB 相交于點相交于點D D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D D 是是AB AB 的中點，的中點，C C是是 的中點，的中點，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB 2.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。你認(rèn)為你認(rèn)為AC

7、和和BD有什么關(guān)系？為什么？有什么關(guān)系？為什么？證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半徑為在半徑為3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，則，則O O到到ABAB的距離是的距離是= = ， OABP24mm注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法是一種常用輔助線的添法活活 動動 三三3如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3

8、cm，求，求 O的半徑的半徑OABE解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 4如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自

9、我畫一畫畫一畫 2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCDOAB60在直徑是在直徑是20cm的的中，中，的度數(shù)是的度數(shù)是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是. D A B O5 3cm小小 結(jié)結(jié)直徑平分弦直徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 =、圓的軸對稱性、圓的軸對稱性、垂徑定理及其逆定理的圖式垂徑定理的推論垂徑定理的推論 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相那么這兩條弦所夾的弧相等嗎等嗎? 老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理