勾股定理證明

1、【證法1】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形. 從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2)，整理得到：a2+b2=c2?！咀C法2】以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 ab/2. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH

2、+ AHE = 90º, AEH + BEF = 90º. HEF = 180º90º= 90º. 四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的 正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90º, EHA + GHD = 90º. 又 GHE = 90º, DHA = 90º+ 90º= 180º. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2)， a2+b2=c2。【證法3】 以a

3、、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90º， EAB + HAD = 90º， ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90º. EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2， a2+b2=c2。【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明） 以a、b 為直角

4、邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90º, AED + BEC = 90º. DEC = 180º90º= 90º. DEC是一個(gè)等腰直角三角形， 它的面積等于c2/2. 又 DAE = 90º, EBC = 90º, ADBC. ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2?！?/p>

5、證法5】（梅文鼎證明） 做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180º90º= 90º. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90º. RtABC RtEBD, ABC = EBD.

6、EBD + CBE = 90º. 即   CBD= 90º. 又 BDE = 90º，BCP = 90º， BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c2?！咀C法6】（項(xiàng)明達(dá)證明） 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)Q作QPBC，交A

7、C于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn) F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90º，QPBC， MPC = 90º， BMPQ， BMP = 90º， BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90º. QBM + MBA = QBA = 90º， ABC + MBA = MBC = 90º， QBM = ABC， 又 BMP = 90º，BCA = 90º，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF. 從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）

8、做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于a2/2， GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =a2. 同理可證，矩形MLEB的面積 =b2. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 a2+b2=c2?！咀C法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明） 如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D

9、. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90º， CAD = BAC，   ADC ACB. ADAC = AC AB， 即  AC2=AD*AB. 同理可證，CDB ACB，從而有 BC2=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2，即  a2+b2=c2。【證法9】（楊作玫證明） 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為

10、P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90º，PAC = 90º， DAH = BAC. 又 DHA = 90º，BCA = 90º， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba.   RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA .

11、又 DGT = 90º，DHF = 90º， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90º， DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形.   GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為【證法10】（李銳證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.

12、 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. TBE = ABH = 90º， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90º， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90º， DBC + BHT = TBH + BHT = 90º， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90º， RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 過Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90º，可知 ABE

13、 = QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 S8=S5. 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90º，BAE + CAR = 90º，AQM = BAE， FQM = CAR. 又  QMF = ARC = 90º，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即S4=S6. 【證法11】（利用切割線定理證明） 在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如

14、圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90º，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得 【證法12】（利用多列米定理證明） 在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有 【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明） 在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內(nèi)切圓O，切點(diǎn)分別為D

15、、E、F（如圖），設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF） = CE+CD= r + r = 2r, 【證法14】（利用反證法證明） 如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D.【證法15】（辛卜松證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 （a+b）2=a2+2ab+b2；把正方形ABCD劃分成上

16、方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面【證法16】（陳杰證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. 在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC， 則 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = (b+a)a = b. 又 CMD = 90º，CM = a， AED = 90º， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180º， ADE + MDC = ADE + EAD = 90º， ADC