小波在信號奇異性檢測及圖象邊緣提取中的應用

1、第第8章章 小波在信號奇異性檢測及圖象小波在信號奇異性檢測及圖象邊緣提取中的應用邊緣提取中的應用信號信號/函數奇異性的定量描述函數奇異性的定量描述連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測 連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 小波分析及其工程應用小波分析及其工程應用-清華大學計算機系清華大學計算機系-孫延奎孫延奎-2005春春簡介 簡介簡介 函數光滑性與奇異性的定義函數光滑性與奇異性的

2、定義 奇異性點的重要性奇異性點的重要性 傳統(tǒng)檢測方法的缺點傳統(tǒng)檢測方法的缺點 小波變換檢測方法的可行性及有效性小波變換檢測方法的可行性及有效性 本章的主要內容本章的主要內容用Lipschitz指數刻畫信號的奇異性 稱函數稱函數 f在點在點 vR為Lipschitz 0，如果存在常數，如果存在常數 0vK 和和 m 次多項式次多項式 vp，使得，使得 ,vvtR f tptK tv 稱函數稱函數 f在區(qū)間在區(qū)間 , a b上是一致上是一致 Lipschitz 0的，如果存在常數的，如果存在常數 0K 使得（使得（8.1）對所有的）對所有的 （8.1）,va b成立，其中成立，其中 K與與 v無關

3、。無關。 函數在一點的函數在一點的Lipschitz指數指數:如果函數如果函數 f在點在點 vR連續(xù)可微連續(xù)可微,或者可微，而導數有界但不連續(xù)時或者可微，而導數有界但不連續(xù)時 , 在該點的在該點的Lipschitz指數為指數為1. f在在v點不連續(xù)但有界時點不連續(xù)但有界時,其其 Lipschitz指數為指數為0.用Lipschitz指數刻畫信號的奇異性 如果函數如果函數 f在點在點 在該點在該點如果函數如果函數 f在點在點 vR的的Lipschitz指數小于指數小于1,則稱它則稱它在該點是奇異的在該點是奇異的.的的Lipschitz指數指數0滿足滿足01nn，則 f是是n次可微的，但其次可微的

4、，但其n階導數階導數 nftv在點在點 vLipschitz指數為指數為 是奇異的，它的是奇異的，它的0n，我們也說，我們也說 0描述了這個奇異性。描述了這個奇異性。 Lipschitz指數還可以擴展到指數還可以擴展到 10 的范圍。的范圍。 噪聲的噪聲的Lipschitz指數為負數指數為負數.連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測 平滑函數及多尺度邊緣點平滑函數及多尺度邊緣點 11stss一個函數一個函數 在尺度在尺度 s下的邊緣定義為下的邊緣定義為 sft tf的局部突變點。的局部突變點。 小波變換模極大用于信號多尺度邊緣檢測的可行性小波變換模

5、極大用于信號多尺度邊緣檢測的可行性 /tdtdt 1/21/2,ssdWf s usfusfudu ftsft(,)W fsu連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測 小波變換模極大值、模極大點小波變換模極大值、模極大點 與極大曲線與極大曲線 （定義（定義8.2） 信號的邊界點信號的邊界點假設 0T 是一個閾值，在尺度 00s 下，則滿足以下兩個條件的點0u稱為信號在尺度 0s下的邊界點： 00,Wf s uT0,Wf s u點取得局部極大值。點取得局部極大值。 在在0u 離散小波系數序列模極大值的定義離散小波系數序列模極大值的定義對于離散的小波變換

6、序列對于離散的小波變換序列 ( ,0),( ,1),( , )Wf sWf sWf s n如果： ,1,1Wf s mWf s mWf s mWf s m且兩式中不能同時取等號。且兩式中不能同時取等號。則稱在則稱在m點取得模極大值。點取得模極大值。連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號多尺度邊界檢測 確定邊界點的算法過程確定邊界點的算法過程已知輸入信號已知輸入信號01,nd dd步驟步驟1，計算連續(xù)小波變換，計算連續(xù)小波變換 ( ,0),( ,1),( , )Wf sWf sWf s n步驟步驟2，確定閾值，確定閾值 0T ，對，對 0,1,mn，如果以下條件滿

7、足：，如果以下條件滿足： ( ,)Wf s mT( ,)Wf s m在 m點取得模極大值。點取得模極大值。則則m點就是信號在尺度點就是信號在尺度s下的一個邊界點。下的一個邊界點。 連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 在在v點的鄰域中在細尺度下的點的鄰域中在細尺度下的 基本原理基本原理: 人們已從理論上證明，小波變換模人們已從理論上證明，小波變換模 ,Wf s u衰減性能夠刻畫函數衰減性能夠刻畫函數f在點在點v的局部的局部Lipschitz正則性正則性 。 n階消失矩小波的小波變換的特性：階消失矩小波的小波變換的特性： f t設設在v點的Lipschit

8、z 指數為指數為,則在則在v 點的某鄰域內點的某鄰域內,f 可以用可以用多項式多項式vp做如下逼近做如下逼近: , vvvf tptttK tv其中設設 t是具有是具有n階消失矩的小波階消失矩的小波,則容易推出則容易推出:( , )( , )( , )( , )vvvWf s uWp s uWs uWs u也即小波變換可以刻畫信號在奇異點的奇異性質也即小波變換可以刻畫信號在奇異點的奇異性質.n連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 基本原理基本原理: n階消失矩的小波與一個階消失矩的小波與一個平滑函數的導數平滑函數的導數之間的關系之間的關系教材中參考文獻教

9、材中參考文獻1 假設假設是快速衰減的，即對任意衰減指數是快速衰減的，即對任意衰減指數m（正整數），存在常數（正整數），存在常數Cm使得使得 ,1mmCtRtt ，則則快速衰減的快速衰減的小波小波具有具有n階消失矩，階消失矩，當且僅當當且僅當存在存在快速衰減的函數快速衰減的函數，使得，使得 1nntt 由此可以推出由此可以推出,如果如果恰好具有恰好具有n階消失矩并且是緊支撐階消失矩并且是緊支撐的的,則一定則一定存在存在緊支撐的函數緊支撐的函數,使得使得 1nntt 且且 0t dt問題問題:在什么條件下在什么條件下,構成平滑函數構成平滑函數?Mallat原著中是否指平滑函數原著中是否指平滑函數?

10、如果小波還是對稱小波如果小波還是對稱小波,能否保證能否保證構成平滑函數構成平滑函數?連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 基本原理基本原理: Mallat等進一步分析發(fā)現等進一步分析發(fā)現，的衰減性可以由其局部極大值控制。的衰減性可以由其局部極大值控制。,Wf s u定理定理 8.1（HWANG,MALLAT） 設設n0， t平滑函數平滑函數 緊支的緊支的n次連續(xù)可微的小波函數次連續(xù)可微的小波函數 ， 1nn 設設 1,f tL a b，如果存在，如果存在 00s ，使得對任意的，使得對任意的 0ss和和 ,ua b,Wf s u，沒有局部極大值點，則對任

11、意的沒有局部極大值點，則對任意的 0，在在,abf上是一致上是一致Lipschitz n的。的。 定理定理8.1 蘊含如下事實：僅當存在一個小波極大點序列蘊含如下事實：僅當存在一個小波極大點序列 ,ppp Nsu在細尺度下收斂于在細尺度下收斂于v,亦即亦即 lim0pps且 limppuv，則 f在在v點是奇異的。點是奇異的。連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 uu 2log( , )Wf s u2log s注意：注意： 模極大點可以在也可以不在同一條極大曲線上。模極大點可以在也可以不在同一條極大曲線上。 信號信號f的所有奇異點可以通過跟蹤細尺度下小波

12、變換模極大而檢測出來。的所有奇異點可以通過跟蹤細尺度下小波變換模極大而檢測出來。但僅沿著尺度搜索小波模極大對于奇異性檢測還是不充分的，還需要從模極大值的但僅沿著尺度搜索小波模極大對于奇異性檢測還是不充分的，還需要從模極大值的衰減性計算函數在一點的衰減性計算函數在一點的Lipschitz正則性。正則性。 連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 孤立奇異點的檢測：孤立奇異點的檢測： 假定假定 滿足定理滿足定理8.1的假設條件，的假設條件， 其其緊支集為緊支集為 ,C C0C 對對 0ss，設收斂于，設收斂于v點的所有模極大點都包含在錐點的所有模極大點都包含在錐

13、uvCs中中vv點的影響錐點的影響錐則對小于則對小于n 的非整數的非整數 ，函數，函數 f t在在v點為點為 Lipschitz ，當且僅當，當且僅當 存在常數存在常數 0A使得影響錐中的模極大點使得影響錐中的模極大點 , s u滿足滿足 1/2,Wf s uAs2221log,loglog2Wf s uAs或或 ,u Css us us uu CsWf s uff tt dtf tt dt,vuCs uCs連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 在數值計算中，小波變換的最細尺度由離散數據的分辨率決定。假設所輸入在數值計算中，小波變換的最細尺度由離散數據的

14、分辨率決定。假設所輸入01,nd dd的原始信號為一個有限能量的序列的原始信號為一個有限能量的序列 ，則計算它的奇異性的主則計算它的奇異性的主主要過程可歸納如下：主要過程可歸納如下： （1）計算連續(xù)小波變換）計算連續(xù)小波變換,這里通常選用高斯小波這里通常選用高斯小波.（2）計算小波變換模極大值曲線；）計算小波變換模極大值曲線；（3）沿著各極大曲線確定奇異點；）沿著各極大曲線確定奇異點；（4）對于奇異點）對于奇異點v，求出，求出 2log,Wf s u作為作為log2s的函數沿著收斂的函數沿著收斂于于 v的極大曲線的最大斜率，該斜率為的極大曲線的最大斜率，該斜率為 1/2，從而求出，從而求出 問

15、題：問題： 通過實驗搞清楚具體的計算過程?。曨}通過實驗搞清楚具體的計算過程！（習題8.2）數值計算過程：數值計算過程：連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 的不連續(xù)點或的不連續(xù)點或稱為階梯型邊界稱為階梯型邊界，是一類重要的邊界點。記，是一類重要的邊界點。記 滿足滿足Lipschitz 階梯型邊界點的提取階梯型邊界點的提取 ：0的點屬于一種特殊的奇異點，這種點對應信號的點屬于一種特殊的奇異點，這種點對應信號 ssW f ufu 1/2,sWf s us W f u sW f uAs對應式（對應式（8.4），有），有這表明，對于階梯型邊界這表明，對于階梯型

16、邊界v，沿著收斂于，沿著收斂于v點的極大曲線上的點點的極大曲線上的點u,其模其模極大值都小于極大值都小于A。從而。從而 sW f vA連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 階梯型邊界點的提取階梯型邊界點的提取 ：下面將證明，當下面將證明，當 v是是階梯型邊界點時，階梯型邊界點時， sW f v是一個與尺度是一個與尺度s s無關無關 非零常數。非零常數。 1, 0, tve ttv 0sW f vt dt即在不同的尺度 12,Js ss下， 12,JsssW f v Wf vW f v是一個相同的非零常數。 1jlssWf vW f v,1,2,j lJ

17、1jlssWf vrrW f vr r是一個大于是一個大于1但非常接近于但非常接近于1的一個實數的一個實數 連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測連續(xù)小波變換的模極大值與信號奇異性檢測 階梯型邊界點的提取階梯型邊界點的提取 算法：算法：1 1）即在不同的尺度）即在不同的尺度 12,Js ss下，計算，計算 12,JsssW f v Wf vW f v2）對于閾值對于閾值T0T0， 及及r1r1且非常接近且非常接近1 1，如果，如果 , 1,2,jsW f vTjJ 1jlssWf vrrW f v,1,2,j lJ則則v v是檢測出的信號的階梯型邊界點。是檢測出的信號的階梯型邊界點。 請大家構

18、造一個具有若干不連續(xù)點的邊界點，驗證上述算法的有效性請大家構造一個具有若干不連續(xù)點的邊界點，驗證上述算法的有效性(習題習題8.1 )。也可結合習題。也可結合習題8.2進行實驗。進行實驗。從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 問題的提出與研究現狀：問題的提出與研究現狀：問題：問題：二進小波變換模極大究竟攜帶了信號的多少信息？它能否給二進小波變換模極大究竟攜帶了信號的多少信息？它能否給出信號的一個完備而穩(wěn)定的表示？也即，能否由所有模極大出信號的一個完備而穩(wěn)定的表示？也即，能否由所有模極大 2 ,jWfu的位置的位置 , j pu和小波變換和小波變換 ,2 ,jj pWfu完全重構原信號

19、？完全重構原信號？ 研究現狀：研究現狀： 1 1）實驗數值表明，交錯投影法等算法只能以）實驗數值表明，交錯投影法等算法只能以1010-2-2的級相對均方誤差近似的級相對均方誤差近似地重構信號。地重構信號。 2 2）目前已證明，對于一般的二進小波，從二進小波變換模極大精確）目前已證明，對于一般的二進小波，從二進小波變換模極大精確重構信號是不可能的。重構信號是不可能的。 3 3）當信號的）當信號的FourierFourier變換是帶通的，并且小波的變換是帶通的，并且小波的FourierFourier變換具有緊變換具有緊支撐時，二進小波變換模極大可以給出信號的一個完備而穩(wěn)定的表支撐時，二進小波變換模

20、極大可以給出信號的一個完備而穩(wěn)定的表示。示。 從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構信號的快速算法：一種重構信號的快速算法：1. 問題描述問題描述2 ,jWfu對應的局部極大點為對應的局部極大點為 , j ppu已知已知，小波系數為，小波系數為,2 ,jj pj pWfuf ,122j pj pjjtut設設 表示表示的導數，則有的導數，則有 ,(2 ,)2,0jj pjj pWfufu 則則我們的問題是：重構一個近似函數我們的問題是：重構一個近似函數 f，它滿足以下條件：，它滿足以下條件： 1）、）、2）、）、3）從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構

21、信號的快速算法：一種重構信號的快速算法：2. 求解方法求解方法共軛梯度法共軛梯度法 設設 V是由是由 ,j pj pj p生成的線性空間，則對于如下生成的線性空間，則對于如下 L算子：算子：,j pj pj pj pj prV Lrrr 1fL w可得，可得，,j pj pj pj pj pj pj pj pwLffff，其中，其中如下共軛梯度法定理如下共軛梯度法定理8.38.3可通過遞歸過程計算重構函數可通過遞歸過程計算重構函數 f具有指數級收斂性。具有指數級收斂性。 ，而且它，而且它從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構信號的快速算法：一種重構信號的快速算法：3.基于共

22、軛梯度法的快速算法基于共軛梯度法的快速算法 為簡化計算，我們不明確地要求為簡化計算，我們不明確地要求 ,0j pf法中，算子法中，算子L L可簡化為可簡化為 ：，這樣，在共軛梯度，這樣，在共軛梯度,j pj pj prV Lrr 其中其中 V是由是由 ,j pj p生成的線性空間生成的線性空間 。在這種條件下，利用共軛梯度法（定理在這種條件下，利用共軛梯度法（定理8.3）可遞歸計算重構函數）可遞歸計算重構函數 f并能夠使并能夠使 2 ,jWfu在 , j puu點近似為局部模極大。點近似為局部模極大。 從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構信號的快速算法：一種重構信號的快速

23、算法：4. 離散快速算法離散快速算法 主要是給出計算主要是給出計算LrLr的濾波器快速算法。的濾波器快速算法。 輸入的離散信號輸入的離散信號 00|0,1,1naanN尺度尺度 2j下的小波變換，求出每個尺度下的小波變換，求出每個尺度 2j下的模極大點下的模極大點 , j pu1001NJmnaaNCN計算每個計算每個在最低分辨率在最低分辨率,有有 1001NnCaN已知的信息如下已知的信息如下:特性特性: 模極大點模極大點, j pu是有限的是有限的,所以所以,j pj p是有限集，從而由是有限集，從而由 ,j pj p生成的線性空間生成的線性空間 V是有限維空間。是有限維空間。 從二進小波

24、模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構信號的快速算法：一種重構信號的快速算法：4. 離散快速算法離散快速算法 基本計算過程描述基本計算過程描述:,1,Jj pj pjprV LrrC ,1,Jj pj pjpwfCLfLfw0,kkfLfwrw rLr我們需要解決的問題是，我們需要解決的問題是，已知已知rn,快速計算快速計算Lrn. 處理相應的離散情況處理相應的離散情況.從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號 一種重構信號的快速算法：一種重構信號的快速算法：4. 離散快速算法離散快速算法 多孔算法多孔算法:步驟步驟1:計算 r n在各尺度 2j1jJ下的二進小波變換，記各尺

25、度下的小波系數為下的二進小波變換，記各尺度下的小波系數為 1jdjJ步驟步驟2:構造如下離散信號：構造如下離散信號： , 0, j pjuj pjmj pdmudmu若若步驟步驟3:濾波器組的重構算法濾波器組的重構算法 11jjjjjaahdg對 2logJN，令 Jna /CN0Jj0 nLr na 而當 時時,令令從二進小波模極大重構信號從二進小波模極大重構信號的討論的討論 1. 交錯投影法交錯投影法 基本思想：用模極大值點逼近原始小波系數。確點是：計算量大，基本思想：用模極大值點逼近原始小波系數。確點是：計算量大，程序復雜，而且計算過程可能不穩(wěn)定。程序復雜，而且計算過程可能不穩(wěn)定。2.

26、基于共軛梯度法的快速重構算法基于共軛梯度法的快速重構算法3. 一種新的信號二進小波變換模極大重構信號的迭代算法一種新的信號二進小波變換模極大重構信號的迭代算法.中國科學中國科學(E輯輯), Vol.33, No. 6,20034. PCSI算法算法教材中參考文獻教材中參考文獻8 主要由兩步組成：主要由兩步組成：1） 模極大值預處理；模極大值預處理；2）分段樣條插值方法）分段樣條插值方法二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測 ,f u v1.連續(xù)圖象邊緣點的概念連續(xù)圖象邊緣點的概念 :一幅連續(xù)圖象一幅

27、連續(xù)圖象 ,fffuv : 梯度矢量梯度矢量 設 11,u v是圖象上一點，如果是圖象上一點，如果 f的梯度矢量的模的梯度矢量的模 22fffuv在在 11,u v點沿著最大變化方向的一維鄰域點沿著最大變化方向的一維鄰域 1111,u vu vf u v 中變化，當中變化，當 充分小時在該點取到局部極大值，則稱充分小時在該點取到局部極大值，則稱 的一個邊緣點。的一個邊緣點。 11,u v是是f二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點之間的對應關系二維小波變換模極大

28、與圖象邊緣點之間的對應關系 設二維平滑函數設二維平滑函數 , u v滿足：滿足： 2,0,1, lim,0Ru vu vu v dudvu v記記21,su vu vss s定義定義 1,u vu vu2,u vu vv則則 ,f u v在尺度在尺度 s上的二維小波變換包括兩個分量上的二維小波變換包括兩個分量： 21111, ,sRxu yvW f s u vfx ydxdyfu vsss22221, ,sRxu yvW f s u vfx ydxdyfu vsss二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣

29、檢測 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點之間的對應關系二維小波變換模極大與圖象邊緣點之間的對應關系 2212, , , ,Mf s u vW f s u vW f s u v21, , ,arctan, ,W f s u vAf s u vW f s u v于是，計算一個光滑函數于是，計算一個光滑函數 ,sfu v等價于計算小波變換的模極大值。等價于計算小波變換的模極大值。 沿著梯度方向的模極大值，沿著梯度方向的模極大值，,sfu v與如下小波變換的模成比例：與如下小波變換的模成比例： 梯度方向與水平方向的夾角（相角或幅角）為：梯度方向與水平方向的夾角（相角或幅角）為： 1122, , ,s

30、ssssfu vfu vW f s u vusssfu vW f s u vfu vfu vv ,cos( , , ),sin( , , )sn u vAf s u vAf s u v與與,sfu v平行平行.二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取二維小波變換模極大與圖象多尺度邊緣提取 連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測連續(xù)圖象的小波多尺度邊緣檢測 2. 二維小波變換模極大與圖象邊緣點之間的對應關系二維小波變換模極大與圖象邊緣點之間的對應關系 在在 11,u v點沿著最大變化方向的一維鄰域點沿著最大變化方向的一維鄰域 1111,u vu vf u v 中變化，當中變化，當 取到局部極大值，則點取到局

31、部極大值，則點 的一個邊緣點。的一個邊緣點。 11,u v若模若模 , ,Mf s u v充分小時在該點充分小時在該點就是就是 ,sfu v從而是從而是 ,f u v的一個突變點。的一個突變點。 以上表明，通過檢測二維小波變換的模極大點可以確定圖象的邊緣點。以上表明，通過檢測二維小波變換的模極大點可以確定圖象的邊緣點。 3. 各尺度下的模極大曲線各尺度下的模極大曲線 沿著邊界方向將每個尺度下的邊緣點連接起來可形成沿著邊界的沿著邊界方向將每個尺度下的邊緣點連接起來可形成沿著邊界的模極大曲線。模極大曲線。 注意注意,任一邊緣點的邊界方向與該點的梯度方向是垂直的任一邊緣點的邊界方向與該點的梯度方向是

32、垂直的.數字圖象的多尺度邊緣提取數字圖象的多尺度邊緣提取 ,| ,0,1,1n mDdn mN對于數字圖象對于數字圖象進行邊緣檢測呢？進行邊緣檢測呢？ ,如何利用小波變換模極大如何利用小波變換模極大1) 計算計算 122 , ,2 , ,jjW fn m W fn m,0,1,1n mN21logjJN分解的尺度數可根據需要而定。分解的尺度數可根據需要而定。 說明說明: 小波變換的選擇小波變換的選擇2）計算每一點的模值和相角）計算每一點的模值和相角 (2 , ,)jAfn m的正切值的正切值 2212(2 , ,)2 , ,2 , ,jjjMfn mW fn mW fn m212 , ,tan

33、(2 , ,)2 , ,jjjW fn mAfn mW fn m(都等于都等于0,怎么處理怎么處理?)數字圖象的多尺度邊緣提取數字圖象的多尺度邊緣提取 3) 求邊界點求邊界點 確定閾值確定閾值 0T ，對，對 ,0,1,1n mN，如果，如果 (2 , ,)jMfn mT 如果 (2 , ,)jMfn m取得局部極大值。取得局部極大值。 則 , n m就是一個邊界點。就是一個邊界點。 Code (2 , ,)jAfn m用用表示表示tan(2 , ,)jAfn m所落入的區(qū)間編號，所落入的區(qū)間編號， 將將 (2 , ,)jMfn m與扇區(qū)與扇區(qū) Code (2 , ,)jAfn m對應梯度方向

34、上對應梯度方向上 相鄰兩個像素的模值進行比較即可判定相鄰兩個像素的模值進行比較即可判定是否取得局部極大值是否取得局部極大值. 12,12 ,21,21 ,21, 12 , 12,21 數字圖象的多尺度邊緣提取數字圖象的多尺度邊緣提取 4) 在各尺度上連接邊界點，形成沿著邊界的極大曲線。在各尺度上連接邊界點，形成沿著邊界的極大曲線。 在離散情況下，極大曲線是通過將圖象離散采樣點中兩個相鄰的邊界點在離散情況下，極大曲線是通過將圖象離散采樣點中兩個相鄰的邊界點 , n m與與 ,n mn m連接起來形成的，其中連接起來形成的，其中 , n m垂直于垂直于 扇區(qū)扇區(qū) Code (2 , ,)jAfn

35、m對應的梯度方向。對應的梯度方向。 注意：注意： 邊界連接方法的改進算法。邊界連接方法的改進算法。傳統(tǒng)方法存在的問題傳統(tǒng)方法存在的問題 小波變換的模極大值充分刻畫了信號的奇異點小波變換的模極大值充分刻畫了信號的奇異點,并可以利用模極大值來提取并可以利用模極大值來提取出所有的奇異點出所有的奇異點,但是但是,傳統(tǒng)的方法都沒有涉及到有關奇異點的結構問題傳統(tǒng)的方法都沒有涉及到有關奇異點的結構問題.以下的圖象以下的圖象(左左)屬于屬于多結構邊界圖象多結構邊界圖象,里面嵌入了兩類奇異點里面嵌入了兩類奇異點:(1) 飛機的輪廓飛機的輪廓,屬于階梯型奇異點屬于階梯型奇異點;(2) 一些直線和文字屬于跳躍型奇異

36、點一些直線和文字屬于跳躍型奇異點.直接使用小波變換的模極大值來提取輪廓的結果如上右圖直接使用小波變換的模極大值來提取輪廓的結果如上右圖(模極大值圖模極大值圖)所示所示.傳統(tǒng)方法存在的問題傳統(tǒng)方法存在的問題 模極大值的方法檢測出了所有的奇異點模極大值的方法檢測出了所有的奇異點,但是沒有區(qū)分兩類不同奇但是沒有區(qū)分兩類不同奇異點的結構異點的結構,所以直線、文字和飛機的輪廓都混在一起。如果只需所以直線、文字和飛機的輪廓都混在一起。如果只需要保留飛機的輪廓，同時刪除直線和文字，該如何處理呢？即如要保留飛機的輪廓，同時刪除直線和文字，該如何處理呢？即如何得到如下的圖象？何得到如下的圖象？圖象中階梯型邊界點

37、的提取圖象中階梯型邊界點的提取 2R 這里只考慮這里只考慮Lipschitz指數為指數為 01的情況。的情況。 一個函數一個函數 22fLR在點在點 11,u v被稱為是被稱為是Lipschitz的，如果存在常數的，如果存在常數0K 對所有對所有 ，使得，使得2, u vR，有，有 如果存在常數如果存在常數 0K ,使得上式對使得上式對中所有的點成立中所有的點成立 , 則稱則稱 f在在 上是一致上是一致Lipschitz 的的.f在在2R的一個有界區(qū)域內是的一個有界區(qū)域內是一致一致Lipschitz 的，的，存在常數存在常數 當且僅當當且僅當0A，使得對該區(qū)域內的一切，使得對該區(qū)域內的一切 ,

38、 u v及任意的尺度及任意的尺度 0s ，有，有 1, ,Mf s u vAs/2221111,f u vf u vK uuvv圖象中階梯型邊界點的提取圖象中階梯型邊界點的提取 記記 , ,/sM f u vMf s u vs,sM f u vAs,則有則有對于圖象中一條孤立的邊緣曲線對于圖象中一條孤立的邊緣曲線,可通過估計可通過估計 作為作為 2log s的斜率進行計算。的斜率進行計算。 當 0時，對任意尺度時，對任意尺度 可以看出可以看出,0s ，都有，都有 ,sM f u vA問題問題:,sM f u v是否真的與尺度無關是否真的與尺度無關?二維階梯型邊界點及其尺度無關算法二維階梯型邊界點及其尺度無關算法:在實際應用時在實際應用時,通常采用的是二進尺度及二進小波變換通常采用的是二進尺度及二進小波變換.問題問題:二維階梯型邊界點與二維階梯型邊界點與Lipschitz等于等于0的點在多大程度的點在多大程度上是等價的上是等價的?二進小波實際應用中需要注意的問題二進小波實際應用中需要注意的問題 2nnhhnngg1. 二進小波濾波器的對稱性二進小波濾波器的對稱性2. 邊緣