電磁場(chǎng)第一次仿真作業(yè)

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.電01王言122012/10/5?題目1：正方形無限長(zhǎng)電荷1.問題描述截面為正方形的無限長(zhǎng)線電荷如下圖所示。設(shè)電荷面密度為20；邊長(zhǎng)a=2。x軸上有A、B、C三點(diǎn)，其坐標(biāo)為1.5a,5a,10a。所有單位均取國(guó)際單位制。圖1題目1(1)畫出電力線分布示意圖；(2)采用數(shù)值方法計(jì)算A、B、C三點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。以A點(diǎn)為例，說明計(jì)算步驟；(3)對(duì)于遠(yuǎn)離正方形無限長(zhǎng)電荷的觀察點(diǎn)，是否有簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，以C點(diǎn)為例，予以說明，給出簡(jiǎn)化方法的計(jì)算結(jié)果；討論能夠采用簡(jiǎn)化計(jì)算方法的條件。1 .理論分析題目所給的是截面為正方形的無限長(zhǎng)線電荷。它可以看做

2、由無數(shù)條無限長(zhǎng)線電荷的集合體。我們知道，對(duì)于無限長(zhǎng)線電荷而言，在其徑向觀察，可認(rèn)為是一個(gè)平行平面場(chǎng)。因此，我們只需考慮XOY平面的電場(chǎng)即可。將無數(shù)條無限長(zhǎng)線電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)進(jìn)行疊加就是截面為正方形的無限長(zhǎng)線電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。rur人r對(duì)于無限長(zhǎng)線電荷，其場(chǎng)強(qiáng)公式Er2,知道電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電荷20r20r2到觀察點(diǎn)矢徑的方向共線。由于所給電荷截面的對(duì)稱性，推知在XOYF面電力線的分布也應(yīng)該具有相同的對(duì)稱性。具體說來，就是關(guān)于x軸、y軸、四象限角平分線軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(在距離電荷較遠(yuǎn)處)。由于正方形不具有嚴(yán)格的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，所以電場(chǎng)在靠近電荷的區(qū)域分布并不均勻，具體表現(xiàn)為電場(chǎng)線不嚴(yán)格的放射

3、狀分布，而會(huì)具有一定的不均勻特性。而在較遠(yuǎn)處，可認(rèn)為電力線是直線。對(duì)于XO竹面內(nèi)任一點(diǎn)P(Xp,yp),欲求其場(chǎng)強(qiáng)E?？上惹蟪瞿碂oPM長(zhǎng)線電荷在P處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，再對(duì)將其疊加即可。對(duì)于某坐標(biāo)為(x,y)的線電荷而言，其所帶電荷量是dxdy,在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是：已知20,則有：對(duì)x方向和y方向的電廠矢量分別處理，可得：將兩方向上的電場(chǎng)對(duì)于電荷截面在XO竹面上白平面S(-a/2<x<a/2,-a/2<y<a/2)進(jìn)行重積分，得到P點(diǎn)在原線電荷作用下的場(chǎng)強(qiáng)的x分量和y分量ExXpx22dxdyS(xpx)(ypy)2 .問題的數(shù)值解決a)提高精度采用歐拉法畫出電力線，采用課件

4、中“解決方法2”來提高精度。b)繪制優(yōu)化方法由于本題電場(chǎng)強(qiáng)度分布有對(duì)稱性，因此只需計(jì)算出-x方向的電力線，+x方向的電力線對(duì)稱過去即可。這樣可以在不影響精度的情況下減少計(jì)算時(shí)間。C)畫電力線分布示意圖Matlab代碼如下：clear;axis(-10,10,-10,10);%theareagrid;holdon;a=1;n=9;x0=linspace(-a,a,n),a*ones(1,n),-linspace(-a,a,n),-a*ones(1,n);y0=a*ones(1,n),-linspace(-a,a,n),-a*ones(1,n),linspace(-a,a,n);%choose40

5、pointsontheedgeofthesquarefori=1:4*n%drawalinewhenaroundisoprateddx=1e-1;dy=1e-1;tol=1e-4;X0=x0(i);Y0=y0(i);k=1;X=X0;Y=Y0;while(-10<X0&&X0<10&&-10<Y0&&Y0<10)%theboundaryEx=dblquad(fx,-1,1,-1,1,tol,口,X0,Y0);Ey=dblquad(fy,-1,1,-1,1,tol,口,X0，丫0);ifExA2+EyA2<tol2文檔

6、來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.breakelseifabs(Ex)>=abs(Ey)the accuracy%whenEx>=Ey,choosedx;orchoosdy,forimprovingX0=X0+sign(Ex)*dx;%signforthedirectionY0=Y0+sign(Ex)*(Ey/Ex)*dx;elseY0=Y0+sign(Ey)*dy;X0=X0+sign(Ey)*(Ex/Ey)*dy;endX(k+1)=X0;Y(k+1)=Y0;k=k+1;endswitchre

7、m(i,6)%6kindsofcolorcase0plot(X,Y,'y',-X,Y,'y'),case1plot(X,Y,'r',-X,Y,'r'),case2plot(X,Y,'b',-X,Y,'b'),case3plot(X,Y,'k',-X,Y,'k'),case4plot(X,Y,'c',-X,Y,'c'),case5plot(X,Y,'g',-X,Y,'g'),otherwiseplot(X,

8、Y,'r',-X,Y,'r'),endendholdoff;所得結(jié)果如下圖所示：在截面邊界上取40個(gè)點(diǎn)作為出發(fā)點(diǎn)，圖示邊界為電力線邊界繪制電力線。從圖上來看，所得結(jié)果基本上符合事實(shí)。需要注意的是，圖上沒有電力線的地方并不是沒有電場(chǎng)的存在，例如X軸上沒有電力線，但是X軸電場(chǎng)強(qiáng)度顯然不為零。另外，由于取點(diǎn)及運(yùn)算的約束，圖上沒電力線的疏密程度也不能很好表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。值得說明的是，本題的特殊情況在于無異種電荷，所以設(shè)置的終止條件在一般問題中并不完整。d)數(shù)值法求電場(chǎng)強(qiáng)度所求三點(diǎn)均位于X軸上，由對(duì)稱性易知，ABC三點(diǎn)在y方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度是零。因此,求三點(diǎn)在x方向的電

9、場(chǎng)強(qiáng)度即可。則，場(chǎng)強(qiáng)Ep的表達(dá)式如下：Ep Epx(x0 x)dxdy(x0 x)dxdy22s (% x) y(*)相應(yīng)的matlab代碼如下所示：M文件：functiony=fp(x,y)%UNTITLED3Summaryofthisfunctiongoeshere%Detailedexplanationgoesherea=1.5;x0=2*a;r=(x0-x).A2+y.A2;y=(x0-x)./r;end主程序：tol=1e-8ep=dblquad（fp,-1,1,-1,1,tol）;ep所得結(jié)果是：ep=1.3290用同樣的方法計(jì)算RC點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，所得結(jié)果分別是:ep=0.4748447

10、和ep=0.6669431場(chǎng)強(qiáng)結(jié)果隨距離的增大而減小。e）簡(jiǎn)化計(jì)算方法由（*）式可知，當(dāng)X時(shí)，有如下關(guān)系:因而積分變?yōu)椋河缮鲜鐾茖?dǎo)過程可知，簡(jiǎn)化的條件是X足夠大，即待求點(diǎn)離電荷足夠遠(yuǎn)。定性分析可知，當(dāng)待求點(diǎn)離電荷足夠遠(yuǎn)時(shí)，中心方形柱電荷可近似看作沒有粗細(xì)的線電荷，即其形狀及大小對(duì)結(jié)果沒有影響。因此可以進(jìn)行化簡(jiǎn)，用化簡(jiǎn)式來求解電場(chǎng)強(qiáng)度與通過原式得到的結(jié)果幾乎沒有差別。得到求解電場(chǎng)強(qiáng)度的簡(jiǎn)單表達(dá)式:證明如下（計(jì)算原計(jì)算式與簡(jiǎn)化式在Xa時(shí)的差別）當(dāng)Xa時(shí)，有：x0時(shí)，有：X略去x3以后的項(xiàng)，并記m一有：a1可見Ep關(guān)于一三階收斂于0,簡(jiǎn)化計(jì)算公式當(dāng)X較大時(shí)具有三階精度。pX具體對(duì)照如下表所示:X1.

11、5a5a10a數(shù)值計(jì)算結(jié)果1.32900.47484470.6669431簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果1.33330.40.2絕對(duì)誤差4.3190*10-31.0665*10-53.3333*10-7相對(duì)誤差3.2498*10-32.6664*10-51.6667*10-61.6667*10-12.4691*10-32.7701*10-5如上表所示，簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果較大，且誤差隨著距離的增大而減小。另外，絕對(duì)誤差與相1 1對(duì)誤差均不會(huì)超過12。事實(shí)上，由上表可見，實(shí)際的絕對(duì)誤差比估計(jì)的絕對(duì)4 m(m0.5)O誤差小2個(gè)數(shù)量級(jí)左右。f)實(shí)驗(yàn)結(jié)論i. 對(duì)于截面為正方形的無限長(zhǎng)導(dǎo)線而言，可用截面極小的無限長(zhǎng)線電

12、荷疊加來計(jì)算其產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。ii. 截面為正方形的無限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)具有對(duì)稱性，由截面向四周放射分布。2iii. 當(dāng)研究點(diǎn)到電荷中心距離X遠(yuǎn)大于電荷的寬度a時(shí)，可以用簡(jiǎn)化公式Eps旦-計(jì)算該pX11點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，該公式三階收斂，誤差不超過112(事實(shí)上可認(rèn)為實(shí)際絕對(duì)誤差4m(m0.5)X比估計(jì)誤差小2個(gè)數(shù)量級(jí)左右)，式中m。a?題目二1 .問題描述真空中無限長(zhǎng)細(xì)線如下圖所示(工程背景：雙回直流線路)，20,a=2,在x6,6,y6,6的范圍內(nèi)畫出不少于10條起點(diǎn)和終點(diǎn)分別在+忑和一r附近的電場(chǎng)線?？梢匀我膺x擇起點(diǎn)和終點(diǎn)。用Matlab自行編寫畫電場(chǎng)線的程序，必須說明起點(diǎn)和終點(diǎn)的定義。內(nèi)容包括：(1)

13、 程序?qū)崿F(xiàn)原理；(2) 繪制出的電場(chǎng)線圖(畫出導(dǎo)線的任意位置，指出起點(diǎn)和終點(diǎn))；(3)需要說明的內(nèi)容(如程序精度控制，編程體會(huì)等)。圖2仿真作業(yè)題目二5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持2. 理論分析這四條無限長(zhǎng)導(dǎo)線構(gòu)成的依然是平行平面場(chǎng)，分析XOY平面場(chǎng)強(qiáng)分布即可。對(duì)于某條電荷，其在XOY平面產(chǎn)生的的場(chǎng)強(qiáng)Ep為：于是，XOY平面內(nèi)某一點(diǎn)P(Xp,yp)的電場(chǎng)強(qiáng)度可看作四個(gè)線電荷在P所產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量疊加。令這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次是：P1(a,a),P2(a,a),P3(a,0),P4(a,0)。則他們?cè)?/p>

14、P點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)是：又因?yàn)椋和瑫r(shí)將20代入得到：又由電場(chǎng)線的方程可得到：用差分代替微分，采用下面迭代公式得到電場(chǎng)線上的點(diǎn)：采用歐拉法進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)X(k+1)于Y(K+1)達(dá)到終止條件時(shí)迭代結(jié)束。3. 數(shù)值方法求解a) 精度控制同上一題一樣，決定采用課件中“解決方法2”來提高精度。b) 關(guān)于電力線的起點(diǎn)和終點(diǎn)情況有兩種：第一種：電力線起點(diǎn)于正電荷，終止于無限遠(yuǎn)或負(fù)電荷。第二種：電力線起點(diǎn)于無限遠(yuǎn)，終止于負(fù)電荷。因此，本題選用從正電荷出發(fā)，終止于無限遠(yuǎn)或負(fù)電荷；和從負(fù)電荷出發(fā)(步長(zhǎng)取負(fù)值即可)終止于正電荷和無限遠(yuǎn)兩種方式進(jìn)行電力線的繪制。c) 繪制優(yōu)化方法由于本題電場(chǎng)強(qiáng)度分布有對(duì)稱性，因此只需計(jì)算

15、出-X方向的電力線，+X方向的電力線對(duì)稱過去即可。這樣可以在不影響精度的情況下減少計(jì)算時(shí)間。d) 畫電力線分布示意圖Matlab代碼如下：clear;aXis(-6,6,-6,6);%theareagrid;a=2;N=9;holdon;plot(-a,a,'or',a,a,'or',-a,0,'or',a,0,'or');%thesmallcircleasthesampleoflinechargebeta=-pi:pi/N:pi;step=-1e-2;r=0.2;X0=-a+r*cos(beta);%r3Y0=r*sin(bet

16、a);XX1=-a+r*cos(beta);%r1YY1=a+r*sin(beta);fori=1:2*N+1x0=X0(i);y0=Y0(i);k=1;X=x0;Y=y0;while(-6<x0&&x0<6&&-6<y0&&y0<6)%boundaryr1=(x0+a)A2+(y0-a)A2;r2=(x0-a)A2+(y0-a)A2;r3=(x0+a)A2+(y0)A2;r4=(x0-a)A2+(y0)A2;ifr1<(1e-2)|r2<(1e-2)%stopwhenit'sclosetopositi

17、vepointbreakelseEx=(x0+a)/r1+(x0-a)/r2-(x0+a)/r3-(x0-a)/r4;Ey=(y0-a)/r1+(y0-a)/r2-y0/r3-y0/r4;ifExA2+EyA2<1e-6%stopwhentooweakbreakelseifabs(Ex)>=abs(Ey)x0=x0+sign(Ex)*step;y0=y0+sign(Ex)*(Ey/Ex)*step;elsey0=y0+sign(Ey)*step;x0=x0+sign(Ey)*(Ex/Ey)*step;endendX(k+1)=x0;Y(k+1)=y0;k=k+1;endswitch

18、rem(i,6)%6kindsofcolorcase0plot(X,Y,'y',-X,Y,'y'),case1plot(X,Y,case2'r',-X,Y,'r'),plot(X,Y,case3'b',-X,Y,'b'),plot(X,Y,case4'k',-X,Y,'k'),plot(X,Y,case5'c',-X,Y,'c'),plot(X,Y,otherwise'g',-X,Y,'g'),plot(

19、X,Y,end'r',-X,Y,'r'),x1=XX1(i);y1=YY1(i);k=1;X1=x1;Y1=y1;while(-6<x1&&x1<6&&-6<y1&&y1<6)%boundaryr1=(x1+a)A2+(y1-a)A2;r2=(x1-a)A2+(y1-a)A2;r3=(x1+a)A2+(y1)A2;r4=(x1-a)A2+(y1)A2;ifr3<(1e-2)|r4<(1e-2)%stopwhenit'sclosetonegativepointbreakel

20、seEx=(x1+a)/r1+(x1-a)/r2-(x1+a)/r3-(x1-a)/r4;Ey=(y1-a)/r1+(y1-a)/r2-y1/r3-y1/r4;ifExA2+EyA2<1e-6%stopwhentooweakbreakelseifabs(Ex)>=abs(Ey)x1=x1+sign(Ex)*-step;y1=y1+sign(Ex)*(Ey/Ex)*-step;elsey1=y1+sign(Ey)*-step;x1=x1+sign(Ey)*(Ex/Ey)*-step;endendX1(k+1)=x1;Y1(k+1)=y1;k=k+1;endswitchrem(i,6)

21、%6kindsofcolorcase08文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.plot(X1,Y1,case1y',-X1,Y1,y'),plot(X1,Y1,case2'r',-X1,Y1,'r'),plot(X1,Y1,case3'b',-X1,Y1,'b'),plot(X1,Y1,case4'k',-X1,Y1,'k'),plot(X1,Y1,case5'c',-X1,Y1,&

22、#39;c'),plot(X1,Y1,g',-X1,Y1,g'),otherwiseplot(X1,Y1,'r',-X1,Y1,'r'),endendholdoff所得結(jié)果如下圖所示：e)討論本題，在計(jì)算方法一定的情況下，精度的控制由N口step兩個(gè)量來控制。改變step,結(jié)果如下：Step=-1e-1時(shí)：Step=-1e-3時(shí)：Step=-1e-4時(shí)：可認(rèn)為當(dāng)abs(step)<=1e-2時(shí)，步長(zhǎng)對(duì)精度的影響力就比較小了。N是控制電力線條數(shù)的，改變N,結(jié)果如下：N=4時(shí)：N=29時(shí)：當(dāng)N取得很大，例如N=99時(shí)：可以發(fā)現(xiàn)，隨著N的

23、增大，一方面電力線條數(shù)增加；更重要的是，原來“沒有場(chǎng)線”的地方有了電場(chǎng)線分布。因此，在N比較小的時(shí)候，所得電場(chǎng)線圖僅能當(dāng)做一個(gè)“示意圖”來用，其中電力線的疏密程度不能很好反應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。粵]畫出電力線地方也不一定沒有電場(chǎng)分布。在N足夠大的時(shí)候，電力線的分布圖才能較好反應(yīng)真實(shí)情況下電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。若線電荷為有限長(zhǎng)，其長(zhǎng)度為10a,計(jì)算該線電荷周圍任意場(chǎng)點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)。1.理論分析由電磁場(chǎng)基礎(chǔ)P4例1-1建立圓柱坐標(biāo)系，可得：-?=不赤/?-?=(?,?4?21對(duì)于有限長(zhǎng)電荷，在空間中某處做電荷的橫截面，令所得正方形界面的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。x、y軸位于橫截面上，z軸與電荷軸向平行。從原點(diǎn)到

24、z軸負(fù)方向的電荷長(zhǎng)度為？?，正方向長(zhǎng)度為？?。對(duì)于空間任意一點(diǎn)(x,y)而言，截面正方形內(nèi)源點(diǎn)坐標(biāo)為(?,?),則有：?=V(?)2+(?-?)2截面積為？?？?的無限長(zhǎng)線電荷的線電荷密度？?=2?且有?=arctan()?=?-arctan(?)2進(jìn)而可將？?(、V、L1、L2表示出來，并可推知:(?- ?)(?1 ?=2V?2+(?)2+ (?)2V?2+(?)2 + (?-?)(?- ?)2 + (?- ?)2= )?2(?-?)(.2+.1)?1v?2+(?-?)2+(?-?)2v?2+(?)2+(?)2?=-2'22(?-?)2+(?-?)2z：_1?=2(：-)v?2+(?

25、)2+(?.?)2v?2+(?.?)2+(?-?)2對(duì)于給定的L1和L2,進(jìn)行對(duì)dx和dy的面積分即可。2 .數(shù)值計(jì)算Matlab部分代碼如下：functionEx=f1(x0,y0,x,y,l1,l2)y=0.5*(x-x0)*(l1./r1+l2./r2)./r3;r1=sqrt(l1A2+(x-x0).A2+(y-y0).A2);r2=sqrt(l2A2+(x-x0).A2+(y-y0).A2);r3=(x-x0)A2+(y-y0)A2;endEx=dblquad(f1,-1,1,-1,1，口，口，10,0,10,10)Ey=dblquad(f2,-1,1,-1,1口口,10,0,10,

26、10)Ez=dblquad(f3,-1,1,-1,1口口,10,0,10,10)所得結(jié)果如下表所示：觀察點(diǎn)無限長(zhǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度長(zhǎng)10a時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)誤差A(yù)?.?1.27330.0419B?.?0.28320.2920C?.?0.08950.55253 .誤差分析對(duì)于點(diǎn)B,討論線長(zhǎng)從10a到110a變化過程中絕對(duì)誤差的變化。Matlab代碼為：fori=1:1000Ex1(i尸dblquad(ex0,-1,1,-1,1口口,10,0,10+0.1*i,10+0.1*i)-0.39998;endx=1:1000;plot(x,Ex1)所得圖像是：可見，隨著線電荷長(zhǎng)度的逐漸增加，絕對(duì)誤差逐漸趨近于零。用

27、龍格庫塔法繪制電場(chǎng)線1 .精度討論本次仿真基本要求是歐拉法，實(shí)際上用的是前向歐拉公式。將精確解y(xn+1)在xn處做泰勒展開：?+1)=?為+?(?)+?(/)對(duì)于前向歐拉公式，在yn=y(xn)處的假定可記作：L?+1=?)+?(?)=?矽-?(?)兩式之差為：?2，CCTn+1=?+1)?+1=?(?)+?3)=?(?2)式子中，h的最低階項(xiàng)?22?(?)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，對(duì)于h是2階的。即前向歐拉公式具有2階精度。龍格庫塔法具有如下一般形式：?+1=?+?E?=1?=?(?冽?=?(?+?2?,?+?2?)?-1?=?(?+?,?+?E?幽?=1對(duì)于二階龍格庫塔公式，局部截?cái)嗾`差是：nT=?+1)-?即=(1-?-?)?(?)+(0.5-?2?%)?2?(?一+?(?3)在滿足匯?=1?=1,0?c?1,二?=11?1的條件下，使局部截?cái)嗾`差Tn+1首項(xiàng)中h的哥次盡量高，也就是說，只要滿足上面三個(gè)條件，龍格庫塔公式可以具有很高階的精度。一般的，Tn+1=?(?+1)，相應(yīng)龍格庫塔方程具有p階精度。常用的4階龍格庫塔公式如下，本實(shí)驗(yàn)采