資金的等值計(jì)算

1、第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l第一節(jié) 利息公式l一、利息的種類l1，利息：占用資金一定時(shí)間后必須支付的補(bǔ)償額或報(bào)酬，是資金時(shí)間價(jià)值的具體體現(xiàn)l2，利率：表示單位資金在單位時(shí)間內(nèi)的利息l3，計(jì)算方式：單利和復(fù)利第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l4，等效值的概念：兩個(gè)不等額的資金在不同的時(shí)間點(diǎn)上，其價(jià)值是相等的，這兩個(gè)資金就互為等效值。引入等效值的概念就是為了對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程中發(fā)生在不同時(shí)間點(diǎn)的資金能進(jìn)行比較。l現(xiàn)值P、終值F、折算利率（貼現(xiàn)率）i、等額年金A、計(jì)息周期數(shù)n第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l二、基于復(fù)利計(jì)息的等效值計(jì)算公式l1，一次支付系列的現(xiàn)值系數(shù)

2、和終值系數(shù)l一次支付系列的現(xiàn)金流量圖如下：12nn10P（現(xiàn)值）F（將來值）i第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l一次支付系列的終值公式：l其中：（F/P，i, n）=(1+i)n稱為一次支付系列稱為一次支付系列的終值系數(shù)。的終值系數(shù)。l一次支付系列的現(xiàn)值公式：), ,/()1 (niPFPiPFn),/()1 (niFPFiFPn第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l其中：（P/F，i, n）=(1+i)-n稱為一次支付系列稱為一次支付系列的現(xiàn)值系數(shù)。的現(xiàn)值系數(shù)。l計(jì)算時(shí)，一次支付系列的終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)計(jì)算時(shí)，一次支付系列的終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)可以通過查復(fù)利系數(shù)表得到（見附錄）

3、可以通過查復(fù)利系數(shù)表得到（見附錄）l例例1：現(xiàn)投資：現(xiàn)投資10萬元，年利率為萬元，年利率為10%，問，問10年年末可收回本利和為多少？末可收回本利和為多少？l解：解：10年末的本利和即為終值年末的本利和即為終值F：lF=P（F/P，i，n)=10（F/P，10%，10）l =102.5937=25.937(萬元萬元)第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l例2:如果銀行年利率為10%,若要在5年后從銀行取出10萬元,問現(xiàn)在至少需要存入銀行多少?l解:求現(xiàn)在要存入多少就是求與5年后10萬元等值的現(xiàn)值P:lP=10(P/F,i,n)=10(P/F,10%,5)l =100.6209=6.209

4、(萬元)第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l2，等額支付系列的現(xiàn)值系數(shù)和資金恢復(fù)系數(shù)l等額支付系列的現(xiàn)金流量圖：12nn10A A A A（等額年值）12nn10P（現(xiàn)值）等額年值與現(xiàn)值之間的等效換算現(xiàn)金流量圖ii第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l上圖中，設(shè)左圖的A，i,n為已知，求等效的P值：lP=P1+P2+P3+。+Pnl =A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+A(1+i)-nl =A(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+(1+i)-n=A(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l其中： l稱為等額支付系列

5、的現(xiàn)值系數(shù)l常用（P/A，i，n）表示，則：lP=A（P/A，i，n），該系數(shù)也可以通過查復(fù)利系數(shù)表求得。l若已知右圖中的P，求左圖中與之等效的A，則可由現(xiàn)值的計(jì)算公式變形得到：(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l即：l式中： l稱為等額支付系列的資金恢復(fù)系數(shù)，也稱為資金回收系數(shù)l用（A/P，i，n)表示，則：lA=P (A/P，i，n)=P i(1+i)n (1+i)n-1A i(1+i)n (1+i)n-1第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l例：已知銀行利率為10%，為了從第5年開始直到第10年，每年都能從銀行取出10000，問現(xiàn)在至少應(yīng)存

6、入銀行多少錢？l解：這個(gè)問題的現(xiàn)金流量圖如下：12345678910010000i=10%P=?注意等額支付現(xiàn)值計(jì)算公式中現(xiàn)值注意等額支付現(xiàn)值計(jì)算公式中現(xiàn)值與等額支付系列的資金發(fā)生的時(shí)間與等額支付系列的資金發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)間的關(guān)系點(diǎn)間的關(guān)系P=？第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l例：現(xiàn)存入銀行10萬元，到第四年取出5萬元，從第8年開始到第12年每年等額支取并正好將錢取完，年利率為10%，問等額支取額是多少？l解：此問題的現(xiàn)金流量圖如下：A=？123456789100i=10%P=10萬元5萬元1112P=？第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l3，等額支付系列的終值系數(shù)和儲(chǔ)存基金系

7、數(shù)l即：l及：l也可以表示為：A=F（A/F，i，n）及l(fā) F=A （F/A，i，n）11niiFAiiAFn11第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l式中：l稱為等額支付系列的儲(chǔ)存基金系數(shù)，也稱積累基金系數(shù)或償債基金系數(shù)l而：l稱為等額支付系列的終值系數(shù)。l注意：A是從第一年年末直到第n年年末每年都等額發(fā)生的，F(xiàn)是發(fā)生在n年年末的。11nii（A/F，i，n）=iin11（F/A，i，n）=第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l例：從現(xiàn)在開始。連續(xù)5年，每年內(nèi)均存入銀行一筆等額的錢，為了能在第十年年末的時(shí)候取出10萬元，年利率為6%，問每年存入的等額的錢是多少？l解：畫出這個(gè)問題

8、的現(xiàn)金流量圖如下：123456789100i=6%F=10萬元A=？F=？第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算lF=10（P/F，6%，5）l而A=F（A/F，6%，5）l =10（P/F，6%，5）（A/F，6%，5）l =100.74730.1774l =1.3257(萬元)l例:從現(xiàn)在開始,連續(xù)5年,每年內(nèi)均存入銀行1萬元,第七年取出了2萬元,年利率為10%,問到第10年末還能一次性取出多少?第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l解:畫出該問題的現(xiàn)金流量圖如下:lF=F(F/P,10%,5)-20000(F/P,10%,3)l =A(F/A,10%,5)(F/P,10%,5)

9、-20000(F/P,10%,3)l =100006.10511.6105-200001.3310l =71702(元)123456789100i=10%F=?A=1000020000F=?第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l4,均勻梯度系列的現(xiàn)值系數(shù)和年費(fèi)用系數(shù)l均勻梯度系列的現(xiàn)金流量如下圖所示:G為相鄰計(jì)算周期末的現(xiàn)金收入或支出的等差變化值12345n0A1A1+GA1+2GA1+3GA1+4GA1+(n-1)G第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l上述現(xiàn)金流量圖可分解成下面兩個(gè)現(xiàn)金流量的和:12345n0A1n123450G2G3G4G(n-1)G+第二章第二章 資金的等值

10、計(jì)算資金的等值計(jì)算l其中第一部分為等額支付系列,其現(xiàn)值為:lP1=A1(P/A,i, n)l而其中第二部分的現(xiàn)值計(jì)算如下:lP2=G(1+i)-2+ 2G(1+i)-3+(n-1) G(1+i)-nl =G(1+i)-2+ 2(1+i)-3+(n-1) (1+i)-n)l而l(1+i)P2=G(1+i)-1+ 2(1+i)-2+(n-1) (1+i)-(n-1)l兩式相減得:第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算liP=G (1+i)-1+ (1+i)-2+ (1+i)-(n-1)-(n-1)(1+i)-n)l經(jīng)整理后得到:l式中:l稱為均勻梯度系列的現(xiàn)值系數(shù),用(P/G,i,n)表示。注

11、意用這個(gè)系數(shù)求出來的是第二部分的現(xiàn)值，總現(xiàn)值還要加上第一部分的，即：P2=(1+i)n - 1i(1+i)nGi(-n(1+i)n)(1+i)n - 1i(1+i)n1i(-n(1+i)n)第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算lP=P1+P2=A1（P/A，i,n）+G（P/G，i,n）l而要把均勻梯度系列換算成等效的等額支付系列，則：lA=A1+P2（A/P，i,n）l =A1+G（P/G，i,n)(A/P,i,n)l =A1+G(A/G,i,n)l系數(shù)(A/G,i,n)稱為均勻梯度系列的年費(fèi)用系數(shù)l同樣,對(duì)于均勻梯度系列求終值時(shí),有:第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算lF=F

12、1+F2l而F1=A1(F/A,i,n)l F2=P2(F/P,i,n)l =G(P/G,i,n)(F/P,i,n)l =G(F/G,i,n)l(F/G,i,n)稱均勻梯度系列的終值系數(shù).l重點(diǎn)：一定要注意各個(gè)相關(guān)量的時(shí)間點(diǎn)之間的位置關(guān)系。第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l各個(gè)復(fù)利系數(shù)之間存在的關(guān)系：l(F/P,i,n)=1/ (P/F,i,n);l(A/P,i,n)=1/ (P/A,i,n);l(A/F,i,n)=1/ (F/A,i,n);l(F/A,i,n)= (P/A,i,n) (F/P,i,n);l(F/P,i,n)= (A/P,i,n) (F/A,i,n);l(A/P,i,

13、n)= (A/F,i,n)+il(F/G,i,n)=(F/A,i,n)-n/i第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l(P/G,i,n)=(P/A,i,n)-n (P/F,i,n)/il(A/G,i,n)=1-n (A/F,i,n)/il應(yīng)用公式應(yīng)注意的事項(xiàng)應(yīng)用公式應(yīng)注意的事項(xiàng):l1,本期末即是下期初本期末即是下期初;l2,P是在第一計(jì)息周期開始時(shí)發(fā)生的是在第一計(jì)息周期開始時(shí)發(fā)生的;l3,F是在第是在第n計(jì)息周期末發(fā)生的計(jì)息周期末發(fā)生的,也就是項(xiàng)目的也就是項(xiàng)目的終點(diǎn)時(shí)發(fā)生的終點(diǎn)時(shí)發(fā)生的;l4,A是連續(xù)發(fā)生在考察期內(nèi)各期期末的是連續(xù)發(fā)生在考察期內(nèi)各期期末的第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等

14、值計(jì)算l5,當(dāng)問題包括當(dāng)問題包括P與與A時(shí)時(shí),等額系列的第一個(gè)等額系列的第一個(gè)A與與P在時(shí)間上差一個(gè)計(jì)息周期在時(shí)間上差一個(gè)計(jì)息周期,即即P發(fā)生在期初發(fā)生在期初,第一第一個(gè)個(gè)A發(fā)生在期末發(fā)生在期末;l6,當(dāng)問題包括當(dāng)問題包括F與與A時(shí)時(shí),F與系列的最后一個(gè)與系列的最后一個(gè)A同同時(shí)發(fā)生時(shí)發(fā)生;l7,當(dāng)問題包括當(dāng)問題包括P與與G時(shí)時(shí),P發(fā)生在第一個(gè)發(fā)生在第一個(gè)G的前兩的前兩個(gè)計(jì)算周期個(gè)計(jì)算周期,第一個(gè)第一個(gè)A1發(fā)生在第一個(gè)發(fā)生在第一個(gè)G的前一期的前一期,而如果是而如果是F,則則F與最后一個(gè)與最后一個(gè)G同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生.第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l三、名義利率和有效利率（實(shí)際利率）l在

15、復(fù)利計(jì)算中,當(dāng)表示利率的時(shí)間單位與計(jì)息周期采用的時(shí)間單位不一致時(shí),就出現(xiàn)了所謂的名義利率、有效利率(實(shí)際利率)l如有這樣的問題，利率為年利率12%，但計(jì)息方式為每月計(jì)息一次（復(fù)利計(jì)算），此時(shí)對(duì)應(yīng)的計(jì)息周期內(nèi)采用的利率，即月利率為12%/12=1%，若本金為P，則到年底時(shí)本利和則為F=P（1+1%）12第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l則在一年里得到的利息I為：lI=F-P=P（1+1%）12-1l這里，年利率12%不是在計(jì)算中采用的真實(shí)利率，因此稱為名義利率；1%為計(jì)息周期利率（這里是月利率），而（1+1%）12-1相當(dāng)于本金在一年內(nèi)的實(shí)際利息與本金的比值，稱為年實(shí)際利率。l下面用通

16、用的方式表達(dá)：第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l若名義利率為r，在表示r的時(shí)間單位內(nèi)一共計(jì)息m次，則實(shí)際計(jì)息周期內(nèi)的利率為r/m；而對(duì)應(yīng)于r所表示的時(shí)間單位內(nèi)的實(shí)際利率則為：i實(shí)實(shí)=(1+rm)m-1第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l在進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，對(duì)名義利率一般有兩種處對(duì)名義利率一般有兩種處理方法理方法：l1,將其換算為實(shí)際利率后，再進(jìn)行計(jì)算,計(jì)息周期調(diào)整為與利率的時(shí)間單位相同；l2，換算為計(jì)息周期利率，直接按計(jì)息周期利率來計(jì)算。l前面介紹的都是間斷計(jì)息，都有一定的計(jì)息周期，當(dāng)計(jì)息周期無限小的時(shí)候，一年內(nèi)的計(jì)息次數(shù)就會(huì)無限大，這時(shí)候就出現(xiàn)了所謂的“連續(xù)復(fù)利”第二章第二章

17、 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l四、四、 連續(xù)利率連續(xù)利率l計(jì)息周期無限縮短（即計(jì)息次數(shù)m）時(shí)得實(shí)際利率：11111)1 (limlimrrrmrmmmmemri連第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l五、幾種特殊情況的復(fù)利計(jì)算l1，計(jì)息周期小于資金收付周期的等值計(jì)算，計(jì)息周期小于資金收付周期的等值計(jì)算l例：每半年存款1000元，年利率8%，每季計(jì)息一次，復(fù)利計(jì)息。問五年末存款金額為多少？l解法解法1：按收付周期實(shí)際利率計(jì)算l半年期實(shí)際利率i實(shí)半(18%4)214.04%lF1000(F/A，4.04%，25)100012.02912029元第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l解

18、法解法2：按計(jì)息周期利率，且把每一次收付看作一次支付來計(jì)算lF1000(18%4)181000(18%4)16100012028.4元l解法解法3：按計(jì)息周期利率，且把每一次收付變?yōu)榈戎档挠?jì)息周期末的等額年金來計(jì)算lA1000（AF，2，2）495元lF495（FA，2，20）12028.5元第二章第二章 資金的等值計(jì)算資金的等值計(jì)算l2，計(jì)息周期大于資金收付周期的等值計(jì)算，計(jì)息周期大于資金收付周期的等值計(jì)算l當(dāng)計(jì)息周期大于收付周期時(shí)，一般將發(fā)生的計(jì)當(dāng)計(jì)息周期大于收付周期時(shí)，一般將發(fā)生的計(jì)息期內(nèi)的支出計(jì)入期初息期內(nèi)的支出計(jì)入期初,而將收益計(jì)入期末而將收益計(jì)入期末l下面的例子是從銀行的角度而繪制的一個(gè)財(cái)務(wù)下面的例子是從銀行的角度而繪制的一個(gè)財(cái)務(wù)活動(dòng)的過程活動(dòng)的過程.如果是每季度計(jì)息一次如果是每季度計(jì)息一次,并假設(shè)年并假設(shè)年利率為利率為8%,求這個(gè)現(xiàn)金流量過程在年底時(shí)的等求這個(gè)現(xiàn)金流量過程