第七節(jié) 拉普拉斯方程的邊值問題

1、第七節(jié)第七節(jié) 拉普拉斯方程的邊值問題拉普拉斯方程的邊值問題一、問題的提出二、定理三、應(yīng)用舉例四、小結(jié)與思考一、問題的提出問題問題: 調(diào)和，并且在區(qū)域的邊界上滿足已知條件調(diào)和，并且在區(qū)域的邊界上滿足已知條件. .1. 對于簡單區(qū)域可從某些熟知的解析函數(shù)直接求解對于簡單區(qū)域可從某些熟知的解析函數(shù)直接求解.2.對于復(fù)雜區(qū)域可通過一適當(dāng)?shù)墓残斡成鋵⑵渥儗τ趶?fù)雜區(qū)域可通過一適當(dāng)?shù)墓残斡成鋵⑵渥優(yōu)楹唵螀^(qū)域為簡單區(qū)域, 再求解再求解.解決方法解決方法:求一個二元實變函數(shù)，使其在已知區(qū)域中求一個二元實變函數(shù)，使其在已知區(qū)域中二、定理是拉普拉斯方程是拉普拉斯方程如果如果),(yx 的解，的解，02222 yx

2、的的函函數(shù)數(shù)，由由一一共共形形映映射射變變成成一一個個那那末末當(dāng)當(dāng)vuyx,),( 拉斯方程拉斯方程這個函數(shù)仍將滿足拉普這個函數(shù)仍將滿足拉普. 02222 vu 拉普拉斯拉普拉斯證證 ,),(),()(為一共形映射為一共形映射設(shè)設(shè)yxivyxuzfw ,),(的的函函數(shù)數(shù)變變成成它它把把vuyx ,xvvxuux 則則2222xuux ,222xvxvvxuvu 22xvv xuxvvuxuu 222yuyvuvyuuyuuy 2222222,222yvyvvyuvu 22yvv 以上兩式相加以上兩式相加,化簡得化簡得,)(222222222 vuzfyx 同樣可得同樣可得: , )( 為共形

3、映射為共形映射因為因為zfw , 0)( zf所以所以,02222時時當(dāng)當(dāng) yx . 02222 vu 證畢證畢例例 一塊金屬薄板吻合于一塊金屬薄板吻合于z平面中的第一象限平面中的第一象限, 上上下均絕緣下均絕緣, 因此熱流嚴(yán)格限制在平面內(nèi)因此熱流嚴(yán)格限制在平面內(nèi). 如果邊如果邊界上的溫度分布如圖示界上的溫度分布如圖示, 求金屬板上定常的溫度求金屬板上定常的溫度分布分布.xy01 T1002 T01 T1000 T1三、應(yīng)用舉例解解 所求的定常溫度分布所求的定常溫度分布T必滿足拉普拉斯方程必滿足拉普拉斯方程, 02222 yTxT且滿足第一象限邊界上的條件且滿足第一象限邊界上的條件.中的第一象

4、中的第一象平面平面將將用用 2 222zixyyxzw 限映射成限映射成 w平面中的上半平面平面中的上半平面.uv01 T1000 TO1002 T1 1 w),(vuw4 w1 0 4w在實軸在實軸上上4的右邊的右邊:, 0)4arg(0 w, 0)1arg(1 w ,41之間時之間時與與在在 w,1的的左左邊邊時時在在 w,)()(11120010 TTTTTT 所以所以),1arg()()4arg()(112010 wTTwTTTT或或當(dāng)當(dāng)w取實數(shù)時取實數(shù)時, , 0, 10 , 10 取得邊值取得邊值. )1ln()()4ln()(112010 wTTwTTiT的虛部的虛部, 可看作是

5、函數(shù)可看作是函數(shù) 此函數(shù)在上半平面處處解析此函數(shù)在上半平面處處解析.)0100()1000(110010 T所以所以),( 10001 .1tan,4tan,01010 uvuv 即為拉普拉斯方程在即為拉普拉斯方程在w平面中的解平面中的解.變形后得變形后得.433)(10100tan22222 yxyxxyT原問題的解為原問題的解為 0,arctan0,arctan100BBBBT.433)(1022222 yxyxxyB其中其中四、小結(jié)與思考 拉普拉斯方程的邊值問題常見于許多物理拉普拉斯方程的邊值問題常見于許多物理應(yīng)用之中應(yīng)用之中. 放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .拉普拉斯資料拉普拉斯資料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 Ma