2016年空間向量與立體幾何單元練習(xí)題

1、?空間向量與立體幾何?習(xí)題一、選擇題每題5分，共50分1.如圖，在平行六面體ABCDAiBiCiDi中，M為AC與BD的交點(diǎn).假設(shè)A,B =a,AD,=b, A,A=c,那么以下向量中與B1M相等的向量是111 1A. a+ b+cB.a+ b+c222 2111 1C.a-b+cD.a b+c222 22.以下等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A、A. OM 3OA 2OB OCB、C 一定共面的是B.2OM !qa3ob1OCC. OM OA OB OC 0D.MA MB MC 03.空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，貝U EF DC等于B.C.D.4假設(shè)a

2、(1, ,2)，b (2, 1,1)，a與b的夾角為600，貝U的值為1 C5. 設(shè) OA (1,1, 2)，OB (3,2,8)，OC (0,1,0)，那么線段 AB 的中點(diǎn) P 到點(diǎn) C 的距 離為A. B.C.D. 532 2446. 以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是A B C D 7. 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是A. 9 nB. 10nC. 11 nD. 12n8.如圖，ABCD-AiBiCiDi為正方體,A. BD /平面 CBiDiB. ACi 丄 BDC. ACi 丄平面 CBiDiD. 異面直線AD與CBi所成的角為60俯視

3、圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖9.如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=BC=2,AAi=i,那么 BCi 與平面 BBiDiD所成角的正弦值為C. 555iO. /ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是 A(i, i,2) , B(5, 6,2) , C(i,3, i),那么AC邊上的高BD長(zhǎng)為A.5 B.4i C.4 D.2 5二、填空題每題5分，共20分11. 設(shè)a (x,4,3)，b (3, 2,y)，且 a/b，那么 xy _12. 向量 a (0, 1,1)，b (4,1,0)， a b v29 且 0，貝U =.13. 在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A :-2，3，B3, -2，沿x軸把直

4、角坐標(biāo)平面折成大小為 的二面角后，這時(shí)|AB14.如圖，PABCD是正四棱錐，ABCD A1B1C1D1是正方體，其中AB 2,PA 6，那么 B1 到平面 RAD的距離為.、解答題共80分2 11，貝U的大小為15本小題總分值12分如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1 的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2,且PA與AB AD的夾角都等于60°, M是PC的中點(diǎn)，設(shè) AB a, AD b,AP c .1試用a,b,c表示出向量BM ；2求BM的長(zhǎng).16. 本小題總分值14分如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所 得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出單位：cm

5、. 1在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；2按照給出的尺寸，求該多面體的體積；3在所給直觀圖中連結(jié)BC'，證明：BC'/面EFG.17本小題總分值12分如圖，在四面體E，F(xiàn)分別是AB, BD的中點(diǎn).求證：1直線 EF/ 面 ACD ;2平面 EFC 面 BCD .18. 本小題總分值14分如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD A'B'C'D'的對(duì)角線 BD'上，/ PDA=60 .1求DP與CC'所成角的大?。?求DP與平面AA'D'D所成角的大小.DCC'19. 本小題總分值14分一四棱錐P- A

6、BCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC 上的動(dòng)點(diǎn).1求四棱錐P-ABCD的體積；2是否不管點(diǎn)E在何位置，都有BD丄AE ?證明你的結(jié)論；3假設(shè)點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D AE B的大小.20. 本小題總分值14分如圖，四棱錐P ABCD，底面ABCD為菱形，PA 平面ABCD， ABC 60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).1證明：AE PD ;2假設(shè)H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 丄6，求2面角E AF C的余弦值.D練習(xí)題參考答案一、選擇題一 一 一 1 一111丄.1. B1M B1B BM A1A(BA BC)=c+ ( a+b)= a+b+c，應(yīng)選 A.2 222丄

7、.lK2.由于 M、A、B、C四點(diǎn)共面OM xOA yOB zOC(x, y,z R)且x y z 1選項(xiàng)(A)、(B)、(C)都不正確.由于 MA MB MC 0 MA MB MC所以存在 x 1,y1,使MA xMB yMC MA, MB,MC共面由于M為公共點(diǎn) M、A、B、C四點(diǎn)共面，應(yīng)選D.3. v E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF / BD且EF 1 EF DC -BD DC2應(yīng)選B.4.B5.B6.7. Dcos BD, DC8. D 9. D10.由于AD|ab I cosAB ACAB, ACAC1BD,2-1 12EF】BD,2cos12002AD4，所以|BD5,應(yīng)選A二

8、、填空題11.9丄x軸于C, BDLx軸于D,貝U AB ACCD DBvAC 3, CD 5,|db 2, ACCD 0,CD DB0,AC DB I AC I DB cos(18006cosAB2 (AC Cd Db)2ACCD22(AC CD CD DBDBAC)(2 11)23252222(0 0 6cos ),cos 1 由于 °。1800,120014.以A,B,為x軸，A,D,為y軸，A,A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面FAD的法向量是m (x, y,z)，z 1 得 m ( 2,0,1),'AD (0,2,0), AP (1,1,2) , y 0,x y 2z

9、 0，取TRA ( 2,0,2)，二B1到平面PAD的距離dB1A m三、解答題15.解：1v M是PC的中點(diǎn)，二BM|AI-(BC BP) -AD (AP AB)12b (c a)1a 1b2 2AD 1,PA2,|a |b1,c 2由于ABAD, PAB由于BM1-(a b c),22BM1( a b c)24BM，BM216.解：1如圖2由于ABPAD600,ac22( a bb 0, a ca c b c)!12 12 224cos60°12(0 1 1)2所求多面體體積V V長(zhǎng)方體V正三棱錐4 4 6284(cm2).33證明：在長(zhǎng)方體ABCD ABCD中， 連結(jié) AD，那

10、么 AD / BC .因?yàn)镋, G分別為AA , AD中點(diǎn)，所以 AD / EG，從而EG / BC .又BC 平面EFG， 所以BC /面EFG .17. 證明：1v E,F分別是AB, BD的中點(diǎn)， EF是厶ABD的中位線，二EF/ AD， AD 面 ACD EF 面 ACD 二直線 EF/面 ACD2v AD 丄 BD EF / AD，二 EF丄 BDv CB=CD，F(xiàn) 是ED的中點(diǎn)，二 CF 丄 BD又 EFG CF=F, 二 BD 丄面 EFCv BD 面 BCD 二面 EFC 面 BCD.18. 解：如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz .那么 DA (1,

11、0,0)，CC(0,0,1).連結(jié) BD，BD在平面BBD D中，延長(zhǎng)DP交BD于H .設(shè) DH (m, m,1)(m 0)，由 DH,DA60 ,由 DADH .DA|dH,cos DA,dH ，可得 2m(2m21 .解得m 上2，所以DH2,-2 ,1 .y2 2 2 0 0111因?yàn)?cos DH ,CC-?芻,1近2所以dH,CC 45，即dp與CC所成的角為45“ .2平面AAD D的一個(gè)法向量是DC (0,1,0).因?yàn)?cos dH,dc所以 DH ,DC 60，可得DP與平面AAD D所成的角為30 .19. 解：1由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐 PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1

12、一 1 2的正方形，側(cè)棱PC丄底面ABCD，且PC=2.Vp abcd Sabcd PC -3 3不管點(diǎn)E在何位置，都有BD丄AE證明如下：連結(jié) AC ,v ABCD是正方形，二BD丄AC PC丄底面 abcd 且 BD 平面 ABCD BD 丄 PC又AC門PC C BD丄平面PAC不管點(diǎn)E在何位置，都有AE 平面PAC 不管點(diǎn)E在何位置，都有BD丄AE解法1:在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DG丄AE于G,連結(jié)BGCD=CB,EC=EC,. Rt ECD 也 Rt ECB，二 ED=EB AD=AB，二 EDA EBA，二 BG 丄EA DGB為二面角D EA B的平面角 BC丄 DE, AD /

13、BC,A AD 丄DE在 R ADE 中 DGad deAE=BG在厶DGB中，由余弦定理得cos DGB2 2 2DG BG BD2DG BGDGB=2面角D AE B的大小為23解法2:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:貝U D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(0,0,1)，從而DE ( 1,0,1), DA (0,1,0), BA (1,0,0), BE (0,設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為m (a,b,c), n (a',b',c')由法向量的性質(zhì)可得：a c 0,b 0 , a' 0,pE

14、DxCB令 c 1,c'1,那么 a 1,b'1 ,二 m (1,0,1),n (0, 1, 1)設(shè)面角D AE B的平面角為，那么cos面角D AE B的大小為20. : 1證明：由四邊形ABCD為菱形,ABC 60，可得 ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE BC .又 BC / AD，因此 AE AD .因?yàn)镻A 平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA AE .而PA 平面PAD，AD 平面PAD且PA AD A，所以AE 平面PAD .又PD 平面PAD， 所以AE PD .2解：設(shè)AB 2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接 AH，EH .P由1知AE 平面PAD

15、，那么 EHA為EH與平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中，AE 3，所以當(dāng)AH最短時(shí)，EHA最大，即當(dāng)AH PD時(shí)，EHA最大.此時(shí)tan EHA 生 3-，AH AH 2因此AH 2 .又AD 2，所以 ADH 45， 所以PA 2 .解法一：因?yàn)镻A 平面ABCD，PA 平面PAC， 所以平面PAC 平面ABCD .過E作EO AC于O，那么EO 平面PAC ,過O作OS AF于S，連接ES，貝U ESO為二面角E AF C的平面角,在 Rt AOE 中，EO AEsin 303 , AO AE*cos30 -,2 2又F是PC的中點(diǎn)，在Rt ASO中,SO AO sin45 空2 ,4又 SEEO2 SO29 晉，在也 ESO 中，cos ESOSOSE3&30415 ?5即所求二面角的余弦值為于解法二：由1知AE , AD , AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 間直角坐標(biāo)系，又E , F分別為BC , PC的中點(diǎn)，BC、3, 1 ,0), C(、3,1 ,0), D(0