方程的近似解

1、* *7 方程的近似解在本節(jié)中，我們主要討論方程在本節(jié)中，我們主要討論方程 f (x) = 0 的數(shù)值解的數(shù)值解11000 (0)nnnna xaxaa 世紀就證明了形如世紀就證明了形如 能用解析法的能用解析法的. 法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois）在）在 19 是所得的解是精確的是所得的解是精確的. 問題在于不是所有的方程都問題在于不是所有的方程都 數(shù)值法數(shù)值法. 一般來說，解析法是優(yōu)先考慮的，其原因一般來說，解析法是優(yōu)先考慮的，其原因 (近似解近似解). 求方程解的方法主要有兩種：解析法與求方程解的方法主要有兩種：解析法與 的代數(shù)方程，當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程，當(dāng)5 n時一般不存在求解

2、公式時一般不存在求解公式 .因此對于一般的方程因此對于一般的方程, 我們必須尋求其它的求解我們必須尋求其它的求解(i) ,ab在上二階可導(dǎo)；在上二階可導(dǎo)；(ii)( )( )0 ,( ) ( )0.fxfxf a f b這里所要考慮的函數(shù)滿足這里所要考慮的函數(shù)滿足:“計算方法計算方法”去完成去完成 .值解法的詳細研究，將由專門課程值解法的詳細研究，將由專門課程 “數(shù)值分析數(shù)值分析”或或方法方法, 下面介紹一種數(shù)值解法下面介紹一種數(shù)值解法牛頓切線法牛頓切線法. 數(shù)數(shù) . 替代替代( )0( ) , fxfxa b 因為，在上連續(xù),所以因為，在上連續(xù),所以 , min( )0 xa bmfx 下面

3、分四種情形進行討論下面分四種情形進行討論 .1( )0,( )0,( )0,( )0.fxfxf af b設(shè)故有設(shè)故有( ),nf xnx恰為的零點 故當(dāng)充分大時,可以近似地恰為的零點 故當(dāng)充分大時,可以近似地:,limnnnxx 基本思想是 構(gòu)造一收斂點列使得基本思想是 構(gòu)造一收斂點列使得( )(, ),f xab 此時在內(nèi)有零點并且此時在內(nèi)有零點并且.是唯一的是唯一的( )( )( )(),( , .(1)f xf afaxaxa b 0,( )( ,( )xa yf xa f ax設(shè)在點的切線與軸的設(shè)在點的切線與軸的0100()( ),( )()f xf axaxfafx( )0,( )

4、 ,fxf xab 因所以為上的嚴格凸函數(shù),因所以為上的嚴格凸函數(shù),交點的橫坐標(biāo)則為交點的橫坐標(biāo)則為10(, ),xx 因切線在曲線的下方,故因切線在曲線的下方,故且由且由(1)式可式可故故a1xbxyO 2x111(),1, 2,.()nnnnf xxxnfx 一般地一般地( ),( )ff 121211(),(, ).()f xxxxxbfx 易知易知 xn遞增有上界遞增有上界 b，故存在，故存在. 由上由上limnnx 知知 f (x1) 0. 于是只要用于是只要用 x1, b 代替代替 a, b, 重復(fù)上重復(fù)上述步驟述步驟, 即設(shè)曲線的切線與即設(shè)曲線的切線與 x 軸交點的橫坐標(biāo)為軸交點

5、的橫坐標(biāo)為式得式得.nx 最后來估計由中值定理最后來估計由中值定理()()( )( )(),nnnnf xf xffxx ()().( )nnnf xf xxfm 其它三種情形可以類似進行討論，在此僅以圖來其它三種情形可以類似進行討論，在此僅以圖來( )0.f 推得推得因而因而示意示意. 3( )0,( )0,( )0,( )0.fxfxf af b且且1x2xab x a1xb2x x4( )0,( )0,( )0,( )0.fxfxf af b且且a1xb2x x 2( )0,( )0,fxfx( )0,( )0.f af b且且注意注意: 這四種情形本質(zhì)上是相同的這四種情形本質(zhì)上是相同的

6、. 在解題時在解題時, 應(yīng)應(yīng)()nnf xxm 對各種情形都是有效的對各種情形都是有效的.的近似解，使誤差不超過的近似解，使誤差不超過0.01.322470 xxx用牛頓切線法求方程用牛頓切線法求方程例例32( )247,f xxxx設(shè)則設(shè)則解解式式0 x區(qū)分不同情形，選取點區(qū)分不同情形，選取點 是是 a 還是還是 b. 而誤差公而誤差公2( )344(32)(2),fxxxxx ( )64.fxx 223xx 易見為極大值點,為極小值點,并且易見為極大值點,為極小值點,并且20.3f因為因為( )0.f x 所以不難驗證有且只有一個根所以不難驗證有且只有一個根lim( ),xf x lim( ),xf x (3)100,(4)90,ff 注意到因而存在注意到因而存在(3, 4),( )0.3, 4f由于在上有由于在上有( )0,( )0,fxfx(4, 9)B從點作切線從點作切線1, 0),xx交軸于(則交軸于(則因此屬于因此屬于情形情形 . .21(4)4(4)fxf 11()943.68,.28f xxm 4x1-2O2x-20-1010y B ( )3, 411,(3.68) 1.03,fxmf 因為在上的最小值因為在上的最小值111(,()B xf x再從作再從作2(, 0),xx切線交軸于則切線交軸于則1211()(3.68)3.