雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(公開課)

1、沈陽市第七十六中學(xué)沈陽市第七十六中學(xué)問題問題1 1：橢圓的定義是什么？橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)|F1F2|的距離的的距離的和和等于常數(shù)（等于常數(shù)（大于大于|F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。問題問題2 2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? ?) 0( 1) 0( 122222222babxaybabyax或 ， ， 關(guān)系如何？關(guān)系如何？abc222cba問題問題3 3：如果把橢圓定義中如果把橢圓定義中“距離的距離的和和”改為改為“距離的距離的差差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩

2、個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的的距離的差的絕對(duì)值差的絕對(duì)值等于常數(shù)等于常數(shù)（小于小于|F1F2|，且，且不等于不等于0）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的做雙曲線的焦距焦距。通常情況下，我們把|F1F2|記為2c2c（c0)c0)； 常數(shù)記為2a2a(a0)(a0).問題問題4:4:定義中為什么強(qiáng)調(diào)定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)常數(shù)要要小于小于|F|F1 1F F2 2| |且且不等于不等于0 0（即（即02a2c02a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？若若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？此時(shí)軌跡

3、為以此時(shí)軌跡為以F F1 1或或F F2 2為端點(diǎn)的為端點(diǎn)的兩條射線兩條射線此時(shí)此時(shí)軌跡不存在軌跡不存在此時(shí)軌跡為線段此時(shí)軌跡為線段F F1 1F F2 2的垂直平分線的垂直平分線F1F2F1F2分分3種情況來看：種情況來看：二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 建系建系1F2F使使 軸經(jīng)過兩焦點(diǎn)軸經(jīng)過兩焦點(diǎn) ， 軸為線段軸為線段 的垂直平分線。的垂直平分線。x21,FF21,FFyxyO 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè) 是雙曲線上任一點(diǎn)，是雙曲線上任一點(diǎn)，),(yxMM 焦距為焦距為 ，那么，那么 焦點(diǎn)焦點(diǎn) 又設(shè)又設(shè)|MF1|與與|MF2| 的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的差的絕對(duì)值等于常數(shù) 。)0(2cc)0,(),0,(21c

4、FcFa2 列式列式aMFMF221即即aycxycx2)()(2222aycxycx22222將上述方程化為： aycxycx22222移項(xiàng)兩邊平方后整理得： 222ycxaacx兩邊再平方后整理得： 22222222acayaxac由雙曲線定義知： ac22 即：ac 022ac設(shè) 0222bbac代入上式整理得： 122222acyax兩邊同時(shí)除以 得：222aca)0,0(12222babyax化簡化簡這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 ，它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸軸上，焦點(diǎn)是 F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0). 其中c2=a2+b2.類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸軸上的上的雙雙曲線曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 ，它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸軸上，焦點(diǎn)是 F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c).)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較 方程用方程用“”號(hào)連接。號(hào)連接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。0, 0,22bababa, 。 222bac如果如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上；如果軸上；如果 的系數(shù)

6、是正的，則的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸上。軸上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy定定 義義 方方 程程 焦焦 點(diǎn)點(diǎn)a.b.c的關(guān)的關(guān)系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系四、雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出判斷下列方程是否

7、表示雙曲線？若是，求出 及焦點(diǎn)坐標(biāo)。及焦點(diǎn)坐標(biāo)。cba, )0, 0( 1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma題后反思：題后反思：先把非標(biāo)準(zhǔn)方程先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點(diǎn)所在再判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。的坐標(biāo)軸。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0,0(1222

8、2babyax因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.191622yx題后反思：求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定量。先定型，后定量。兩條射線兩條射線軌跡不存在軌跡不存在例例1、已知雙曲線的焦點(diǎn)、已知雙曲線的焦點(diǎn) F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)P到焦到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。1.若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？2.若若|PF1|-|PF2|=10呢？呢？3.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？)0.(191622xyx所以所以2c=10，2a=8。即。即a=4，c=

9、5那么那么b2=c2-a2=25-16=9根據(jù)已知條件，根據(jù)已知條件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8，求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 焦點(diǎn)在在軸焦點(diǎn)在在軸 上，上， ； 焦點(diǎn)在在軸焦點(diǎn)在在軸 上，經(jīng)過點(diǎn)上，經(jīng)過點(diǎn) .xx3,4ba)2,315(),3,2(答案答案: 191622yx)0, 0(12222babyax設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點(diǎn)代入點(diǎn) 得得)2,315(),3,2(12351322222baba令令221,1bnam則則1235132nmnm解得解得311nm故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

10、為.1322yx 使使A、B兩點(diǎn)在兩點(diǎn)在x軸上，并軸上，并且點(diǎn)且點(diǎn)O與線段與線段AB的中點(diǎn)重合的中點(diǎn)重合解解: : 由聲速及在由聲速及在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地與爆炸點(diǎn)地與爆炸點(diǎn)的距離比的距離比B B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680680m. .因?yàn)橐驗(yàn)閨AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸點(diǎn)爆炸點(diǎn)的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例2 2已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈

11、爆炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, ,設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB 即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為44400bca 2 22 22 2雙曲線的定義雙曲線的定義雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用應(yīng)用51頁練習(xí)

12、頁練習(xí)A組組1、2；56頁習(xí)題頁習(xí)題2.3 A組組1、2題。題。當(dāng)當(dāng) 2a=| | MF1|MF2| |=0時(shí)，時(shí)，軌跡是線段軌跡是線段F1F2的垂直平分線的垂直平分線. .(1) 定義中強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi)定義中強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi),否則軌跡不是雙曲線。否則軌跡不是雙曲線。幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： OF1F2M通常通常|F1F2|記為記為2c2c;距離的差的絕對(duì)值距離的差的絕對(duì)值記為記為2a2a.| | MF1|MF2| | =|F1F2 | 時(shí)時(shí),M點(diǎn)一定在上圖中的點(diǎn)一定在上圖中的F2F1PQ當(dāng)當(dāng)2a=|F|F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí)（2）定義中為什么）定義中為什么 02a|F|F1 1F F2 2| |？射線射線F1P,F2Q 上上,此時(shí)點(diǎn)的軌跡為兩條射線此時(shí)點(diǎn)的軌跡為兩條射線F1P,F2Q。（1）先