連續(xù)信號的正交分解

1、第三章第三章 連續(xù)信號的正交分解連續(xù)信號的正交分解3-1 引引 言言 線性系統(tǒng)分析方法，是將復(fù)雜信號分解為簡單信線性系統(tǒng)分析方法，是將復(fù)雜信號分解為簡單信號之和（或積分），通過系統(tǒng)對簡單信號的響應(yīng)號之和（或積分），通過系統(tǒng)對簡單信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對復(fù)雜信號的響應(yīng)。求解系統(tǒng)對復(fù)雜信號的響應(yīng)。 時域中，近代時域法將信號分解為沖激信號的積時域中，近代時域法將信號分解為沖激信號的積分，根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通過卷積計算出系統(tǒng)對分，根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通過卷積計算出系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。而頻域中，將信號分解為一系列正信號的響應(yīng)。而頻域中，將信號分解為一系列正弦函數(shù)的和（或積分），通過系統(tǒng)對正弦信號的弦函數(shù)的和（或

2、積分），通過系統(tǒng)對正弦信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。響應(yīng)求解系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。 頻域在工程中也有很重要的意義。很多信號的特頻域在工程中也有很重要的意義。很多信號的特性與頻域都有很重要的關(guān)系。研究頻域可以得到性與頻域都有很重要的關(guān)系。研究頻域可以得到很多具有實用價值的結(jié)論。很多具有實用價值的結(jié)論。 如上章所述，通過信號分解的方法求解響應(yīng)要研如上章所述，通過信號分解的方法求解響應(yīng)要研究下面三個問題：究下面三個問題： 如何將任意信號分解為一系列正弦信號之和（或如何將任意信號分解為一系列正弦信號之和（或積分）。積分）。 求系統(tǒng)對各個正弦子信號的響應(yīng)，這個內(nèi)容在電求系統(tǒng)對各個正弦子信號的響應(yīng)，這個內(nèi)容

3、在電路分析課程中已經(jīng)有詳細(xì)介紹；路分析課程中已經(jīng)有詳細(xì)介紹； 將各子信號的響應(yīng)相疊加，從而合成系統(tǒng)對激勵將各子信號的響應(yīng)相疊加，從而合成系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)。信號的響應(yīng)。 本章將要研究的就是如何對信號進(jìn)行分解和合本章將要研究的就是如何對信號進(jìn)行分解和合成。成。3-2 信號在正交函數(shù)集中的分解信號在正交函數(shù)集中的分解矢量的分解矢量的分解信號的分解信號的分解矢量分解矢量的定義矢量的定義矢量運(yùn)算：加，標(biāo)量乘法，矢量乘法矢量運(yùn)算：加，標(biāo)量乘法，矢量乘法矢量的分解：矢量的分解：矢量的單矢量基的分解：近似矢量矢量的單矢量基的分解：近似矢量誤差盡誤差盡可能小?？赡苄?。 從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最

4、從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最小的系數(shù)為：小的系數(shù)為： 其中的稱為矢量和的相似系數(shù)。如果（或），其中的稱為矢量和的相似系數(shù)。如果（或），則表明和相垂直（又稱為正交）。則表明和相垂直（又稱為正交）。11AcA11AAc1111AAAAc1cA1A01c01AAA1A矢量分解矢量的多矢量基分解：矢量的多矢量基分解：將矢量表示成為一系列標(biāo)準(zhǔn)矢量（基）的線性將矢量表示成為一系列標(biāo)準(zhǔn)矢量（基）的線性組合：組合：顯然，如果知道了標(biāo)準(zhǔn)矢量和相應(yīng)的系數(shù)，就顯然，如果知道了標(biāo)準(zhǔn)矢量和相應(yīng)的系數(shù)，就可以確定任意矢量?？梢源_定任意矢量。如何確定最佳的系數(shù)？對于特定的如何確定最佳的系數(shù)？對于特定的i而言，不僅

5、而言，不僅與特定的有關(guān)，與其它的標(biāo)準(zhǔn)矢量也有關(guān)系。與特定的有關(guān)，與其它的標(biāo)準(zhǔn)矢量也有關(guān)系。但是如果矢量兩兩正交，可以證明：但是如果矢量兩兩正交，可以證明： niiinncccc12211.AAAAAiAiciciciAiAiiiicAAAA矢量分解標(biāo)準(zhǔn)矢量基的幾個限制條件：標(biāo)準(zhǔn)矢量基的幾個限制條件：歸一化：標(biāo)準(zhǔn)矢量的模等于歸一化：標(biāo)準(zhǔn)矢量的模等于1方便計方便計算算正交化：標(biāo)準(zhǔn)矢量兩兩正交正交化：標(biāo)準(zhǔn)矢量兩兩正交完備性：可以不失真地組合出任意矢量完備性：可以不失真地組合出任意矢量信號的分解單個標(biāo)準(zhǔn)信號的分解：時間內(nèi)，用近似任單個標(biāo)準(zhǔn)信號的分解：時間內(nèi)，用近似任意函數(shù)，并使誤差盡可能小。意函數(shù)，并

6、使誤差盡可能小。如何衡量函數(shù)誤差的大小？可以采用方均如何衡量函數(shù)誤差的大??？可以采用方均誤差：誤差： 最佳系數(shù)：（也稱為函數(shù)和的相似系數(shù)。最佳系數(shù)：（也稱為函數(shù)和的相似系數(shù)。),(21tt)(11tfc)(tf21)(1)(2122ttdttttt2121)()()()(1111ttttdttftfdttftfc)(tf)(1tf信號的分解如果（或），則稱和正交。如果（或），則稱和正交。如果和是復(fù)函數(shù)，則其方均誤差為：如果和是復(fù)函數(shù)，則其方均誤差為：最佳系數(shù)為：最佳系數(shù)為：01c0)()(211ttdttftf)(tf)(1tf)(tf)(1tf2121)()(1)(1)(*122122ttt

7、tdtttttdttttt2121)()()()(*11*11ttttdttftfdttftfc信號的分解多個標(biāo)準(zhǔn)信號下的分解：將信號表示為多多個標(biāo)準(zhǔn)信號下的分解：將信號表示為多個標(biāo)準(zhǔn)信號的線性組合：個標(biāo)準(zhǔn)信號的線性組合：這里的同樣難以確定。但是如果標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)這里的同樣難以確定。但是如果標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)之間兩兩正交，則可以證明：之間兩兩正交，則可以證明：niiinntfctfctfctfctf12211)()(.)()()(ic)(tfi2121)()()()(*ttiittiidttftfdttftfc標(biāo)準(zhǔn)信號集兩例標(biāo)準(zhǔn)信號集兩例 三角函數(shù)：三角函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)： ，,.sin,cos,.,

8、2sin,2cos,sin,cos, 1ktkttttttne, 1, 0 n對標(biāo)準(zhǔn)信號集的要求：對標(biāo)準(zhǔn)信號集的要求：歸一化：歸一化：正交化：，正交化：，完備性：可以用其線性組合表示任意信號。完備性：可以用其線性組合表示任意信號。1)()(21*ttiidttftf0)()(21*ttjidttftfji 完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。附：矢量與函數(shù)的運(yùn)算與分解比較：附：矢量與函數(shù)