向量組的線性相關(guān)性

1、向量組的線性相關(guān)性（楊威 郭喬） 教學(xué)目的與要求通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念，掌握判定向量組線性相關(guān)性的方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) ：線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)的概念教學(xué)難點(diǎn) ：線性相關(guān)性的判定教學(xué)方法與建議先從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，使學(xué)生看到在解線性方程組的時(shí)候，有的方程是多余的，從向量的角度來(lái)看， 就是其中的一些向量是其余向量的線性組合。 從而引出線性相關(guān)、 線性無(wú)關(guān)的概念，并給出判別方法。 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1. 問(wèn)題的提出x2 yz01210方程組 2x3yz0 用向量的形式表示出來(lái)x 2y 3z 10，4xyz04110不難看出，其中第3 個(gè)方程是多余的，我們從向量的角度來(lái)討論這

2、個(gè)問(wèn)題。此方程組對(duì)應(yīng)著三個(gè)向量1(1,2,4)T， 2 (2, 3,1)T , 3(1,1,1)T，所謂的第三個(gè)方程是多余方程反映到他們對(duì)應(yīng)的向量上就是133711 或71 32 73 0，即3 可由1 和 2線性運(yùn)算得到， 此時(shí)稱(chēng)3 是1,2 的線性組合。2. 線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)定義 4.1 對(duì)于向量1 ,2 ,., m , , 如果有數(shù) k1, k 2 ,., km 使k1 1k2 2k mm ，則稱(chēng)向量是向量 1 , 2 ,., m 的線性組合，或可由向量1 ,2 ,., m 線性表示。定義 4.2設(shè)有 n 維向量1 ,2 ,., m ，如果存在不全為零的數(shù)k1, k2 ,.,km ,

3、使k11k2 2km m 0則稱(chēng)此向量1 , 2 ,.,m 線性相關(guān)的，否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)。注意： 1. 若向量組中含有零向量，則向量組一定是線性相關(guān)的。2. 若向量組中一個(gè)向量可由其他向量線性表示，則這組向量一定是線性相關(guān)的。定理 4.1n 維向量組1 , 2 ,.,m 線性相關(guān)的充分必要條件是R( A) m ，其中 A 是由1 , 2 ,.,m 組成的 (mn) （或 n m ）維矩陣。證明 ：設(shè)i , i1,2,.,m ，為 n 維列向量， 下面證明有 m 個(gè)不全為零的數(shù)x1 , x2 ,., x m使 x11x22xmm0 的充分必要條件是R(A)m 。x11x22xmm0即 Ax 0

4、有非零解的充分必要條件是R( A)m 。推論 對(duì) m 個(gè) n維向量，若 mn ，則該向量組線性相關(guān)。證明：由這些向量組成的矩陣記為A ，則 A 是 m n ( 或 nm ) 維的，由于 m n ，所以R( A)min( m, n)nm ，則該向量組線性相關(guān)。定理 4.4若1 , 2 ,.,r 線性相關(guān)，則1 , 2 ,., r ,r 1,., m 也線性相關(guān)。證：因 1 , 2 ,.,r線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)k1 , k2 ,., kr 使k11k 22krr0，從而存在不全為零的m 個(gè)數(shù) k1 ,k 2 ,.,kr ,0,.,0 使k11k 22k rr0r10 m0 ，因此 1,2

5、 ,., r ,r 1 ,.,m 線性相關(guān)。由于一個(gè)零向量是線性相關(guān)的，所以任何含有零向量的向量組都線性相關(guān)。推論若1 ,2 ,.,r線性無(wú)關(guān)，則由其中的部分向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)。定理 4.3設(shè)i (ai1 , a i 2 ,., air) ， i(ai 1 , ai 2 ,., air , a ir1 ) (i1,2,., m ) 若 r 維向量組1,2 ,., m 線性無(wú)關(guān)，則 r 1 維向量組1,., m 線性無(wú)關(guān)。證： 顯然i(i, ai1 ), i1,2,., m ，設(shè)有m個(gè)數(shù) k , k,.,km，使12k11k22k mm0 ，即 ( k1 1kmm , k1a1,r 1km

6、 am,r 1 ) 0 。因此有 k11kmm0 。由于1 ,2 ,., m 線性無(wú)關(guān)，所以當(dāng)且僅當(dāng)k1k 2km0 時(shí)才成立。這就表明1 ,.,m 線性無(wú)關(guān)。推論： r 維向量組的每個(gè)向量加上n r 個(gè)分量成為 n 維向量。若 r 維向量組線性無(wú)關(guān)，則 n 維向量組線性無(wú)關(guān)。3. 舉例例 4.1討論向量組1(1,1,1)T ，2(0, 2, 5)T ，3(1, 3, 6)T 的線性相關(guān)性。解： 以所給向量為列組成矩陣A101A 1 2 31 5 6r2r10110115 r2 002 2 r322r3r15520000因 R(A)2 3(向量個(gè)數(shù) ) ，所以所給向量組線性相關(guān)。例 4.2討論

7、 n 維單位坐標(biāo)向量 e1,., en 的線性相關(guān)性。解： 因?yàn)?R( A)R(e1 ,e2 ,.,en )n ，所以向量組線性無(wú)關(guān)。例 4.3設(shè)1, 2,3 線性無(wú)關(guān)，試證112,223，331線性無(wú)關(guān)。證： 不妨設(shè)1 ,2 ,3 均為列向量，則101(1,2,3)( 1, 2, 3)110( 1, 2, 3)C011因?yàn)榫仃?C 可逆，所以 C 可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，即矩陣 ( 1,2 , 3) 可認(rèn)為由矩陣( 1, 2,3 ) 經(jīng)有限次初等列變換得到，從而矩陣 (1 ,2 ,3 ) 的秩等于矩陣 ( 1,2 ,3 )的秩，而 (1 ,2 ,3 )的秩為 3，所以 ( 1,2 ,3

8、 )的秩為3，因此 ( 1,2, 3 ) 線性無(wú)關(guān)。例 4.4設(shè)1 ,2 ,.,r 線性無(wú)關(guān)，若1 ,2 ,.,r ,線性相關(guān)， 則可由 1,2 ,.,r線性表示。證： 因1, 2 ,.,r ,線性相關(guān)，故有不全為零的數(shù)k1 , k2 ,., k r , 使得k1 1k22krr k0 。要證可由1 ,2 ,.,r 線性表示，只需證k0 。用反證法，設(shè)k0，則 k1 , k2 ,., kr 不全為零且能使k1 1k22kr r0 ，這與 1, 2 ,.,r 線性無(wú)關(guān)矛盾，矛盾表明k0，即可由1 ,2 ,.,r 表示為1 (k1 1k2 2k r r )k例 4.5討論向量組1(1,0,0,2,3),2(0,1,0,4,6