圖像變換(二)

1、第十二講 圖像變換(二)【目錄】一、正交變換11、一維函數(shù)的正交性12、二維函數(shù)的正交性3二、空間周期5三、傅立葉變換應(yīng)用61、圖像頻譜顯示62、特殊函數(shù)的傅立葉變換102、圖像濾波153、圖像特征識別18【正文】一、正交變換1、一維函數(shù)的正交性【定義】如果有N個函數(shù)：構(gòu)成一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足下列特性：則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集。當(dāng)時，則稱函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。任一函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都可以用正交函數(shù)集各分量的線性組合近似：。為獲得最佳的近似，即求得系數(shù)，可用均方誤差最小的條件求出?！就茖?dǎo)】要使最小，對于每一個系數(shù)，應(yīng)滿足，即：整理一下，有：若函數(shù)集是歸一化的，則有：【意義】對于的正交函

2、數(shù)集，當(dāng)下述兩點成立時，稱為完備的正交函數(shù)集：(1) 不存在這樣的函數(shù)，且：顯然，如果能使上式成立，說明與函數(shù)集中的每一個成員都是正交的，因為就應(yīng)該屬于此函數(shù)集。如果函數(shù)集不含，則函數(shù)集就不完備；(2) 如果函數(shù)在區(qū)間上可用正交函數(shù)集近似表示成：均方誤差：則當(dāng)時，必需：，函數(shù)集才完備。此時意味著：【說明】(1) 任一函數(shù)，若能量有限,即，總可以用有限項級數(shù)來逼近。(2) 因為奇函數(shù)的累加仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的累加仍為偶函數(shù)，所以一個函數(shù)集要表示任何函數(shù)，則函數(shù)集中必需有奇函數(shù)和偶函數(shù)?！九e例】下面考察三角函數(shù)的正交性。三角函數(shù)的表達式為：，其函數(shù)集為：由于有：所以三角級數(shù)的函數(shù)集為正交函數(shù)集。2

3、、二維函數(shù)的正交性【定義】若M階實數(shù)矩陣滿足，則稱為正交矩陣；若M階復(fù)數(shù)矩陣滿足，則稱為酉矩陣?！拘再|(zhì)】正交歸一若為酉矩陣或正交陣，則在矩陣中各行或各列向量的模為1，任意不同行或列向量之間正交。矩陣可表示成：其中：，當(dāng)為酉矩陣時，根據(jù)定義有：故得：同樣：可得：這個性質(zhì)說明酉陣是一個正交歸一矩陣?！拘再|(zhì)】若為酉陣，則和也是酉陣。因為，酉陣有：，所以：【性質(zhì)】若是酉陣，則其行列式的模為1由于為一個復(fù)數(shù)方陣，所以也是復(fù)數(shù)，可令：則：【性質(zhì)】若是酉陣，是向量，作變換，則有。即：【結(jié)論】前面已經(jīng)推導(dǎo)二維函數(shù)的變換可表示為：要使變換可逆，則必需：若為酉陣，則（如傅立葉變換）；若為正交陣，則（如余弦變換）。

4、這樣的變換稱為正交變換。二、空間周期【推導(dǎo)】考察傅立葉逆變換：可以轉(zhuǎn)化為：上式表明，圖像可以看成由一組正弦函數(shù)和余弦函數(shù)加權(quán)求和得到的。加權(quán)因子為。而其中每一個正弦或余弦代表了一個頻率分量。取其中一項來分析，對于不同的、值，這個余弦函數(shù)表現(xiàn)不同的起伏，考察函數(shù)的最大值位置，即：，得 xyN/v0N/u0d這些組成了一組直線：顯然，有：稱為空間周期。稱為空間頻率?！窘Y(jié)論】顯然，原函數(shù)變換為后，中的每一個數(shù)值代表了圖像的一個頻率分量的大小。頻率越大，、的值越大，在原點移到中心的頻譜圖像中，中心附近代表低頻，外圍代表高頻。圖像比較平緩，表示頻率比較低，圖像變換快，表示頻率比較高。三、傅立葉變換應(yīng)用1

5、、圖像頻譜顯示許多圖像的傅立葉頻譜隨著頻率u、v的增大而迅速減小。使得顯示和觀察圖像的頻譜遇到困難。當(dāng)以圖像的形式來進行顯示時，高頻分量變得越來越不清楚。所以通常利用以下顯示函數(shù)來顯示頻譜圖像： 或者 ?！纠款l譜對數(shù)運算CLFx=linspace(-10,10,1024);y1=abs(sinc(x);y2=log(1+y1);y3=20*y1;y4=log(1+y3);subplot(221),plot(x,y1);axis tight,title('abs(Fu)')subplot(222),plot(x,y2);axis tight,title('log1+ab

6、s(Fu)')subplot(223),plot(x,y3);axis tight,title('20abs(Fu)')subplot(224),plot(x,y4);axis tight,title('log1+20abs(Fu)') 【例】頻譜圖像顯示CLFI=imread('demo.jpg');imshow(I,); CLFI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);imshow(abs(I1),),colormap(jet(256),colorbar CLFI=imread(

7、'demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);imshow(log(1+10*abs(I1),)colormap(jet(256),colorbar 【例】頻譜三維顯示CLFf=zeros(256,256);f(123:133,123:133)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar CLFf=zeros(256,256);f(123:133,123:133)=1;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;sh

8、ading interp;colormap(jet); 2、特殊函數(shù)的傅立葉變換【例】點函數(shù)CLFf=zeros(256,256);f(128,128)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar 【例】全1函數(shù)CLFf=ones(256,256);F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar 【例】三角函數(shù)t=linspace(-10*pi,10*pi,512);x=(sin(t)'y=ones(1,51

9、2);f=x*y;surf(f);axis tight;shading interp;colormap(jet); t=linspace(-50*pi,50*pi,512);x=(sin(t)'y=ones(1,512);f=x*y;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;shading interp;colormap(jet); CLFf=zeros(512,512);f(128,123 133)=1;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;shading interp;c

10、olormap(jet); 【例】網(wǎng)格函數(shù)CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,:)=1;f(:,1:16:512)=1;imshow(f,)colormap(gray(256),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,:)=1;f(:,1:16:512)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(gray(256),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,1:32:512)=1;imshow(f,)colormap(gray(25

11、6),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,1:16:512)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(gray(256),colorbar 2、圖像濾波【例】圖像濾波CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)imshow(f,) CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)F=fft2(f);F(2

12、:512,:)=0;f=ifft2(F);imshow(abs(f),) CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)F=fft2(f);F(:,2:512)=0;f=ifft2(F);imshow(abs(f),) 【例】圖像濾波CLFI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);subplot(121),imshow(I,);mask=zeros(512);x=50;mask(256-x:256+x,256-x:256+x)=1;I1=I1.*

13、mask;I1=fftshift(I1);I2=ifft2(I1);subplot(122),imshow(abs(I2),); 3、圖像特征識別I=imread('text.tif'); % 讀圖像a=I(59:71,81:91); % 取字符asubplot(221),imshow(I,); % 顯示圖像subplot(222),imshow(a,); % 顯示aFi=fft2(I); % 求圖像的傅立葉變換a=rot90(a,2); % a旋轉(zhuǎn)180度Fa=fft2(a,256,256); % 求a的傅立葉變換C=abs(ifft2(Fi.*Fa); % 卷積運算C=C/max(C(:); % 對C歸一化subplot(223),imshow(C,); % 顯示卷積圖像subplot(224),imshow(C>0.8,);% 顯示識別的字符 ClfI=imre