勾股定理的證明方法

1、勾股定理的證明之吉白夕凡創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日【證法11 （課本的證明）做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形從圖上可以看到 積相等.即,這兩個正方形的邊長都是a + b, 所以面2, 21,a b 4 -ab2【證法2】c2412ab,整理得 a2 b2 c2（鄒元治證明）abHcaF的bA a E b BG a C,21.2a b 4 ab c2.【證法3（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a） 邊作四個全等的直角三角形，2,22.a b c .,以c為斜 則每個直角/G_a

2、.以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形 Lb 則每個直角三角形的面積即是2 .把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條 直線上，C、 G D三點在一條直線上. Rt A HAE 二 RtAEBF, ./AHE = /BEF. /AEH + / AHE = 90o, . / AEH + / BEF = 90 o./ HEF = 180 o90o= 90 o.四邊形EFGhfe一個邊長為 正方形.它的面積即是c2. Rt AGDH 二 RtAHAE,HGD = / EHAHGD + ZGHD = 90o, EHA + / GHD = 90

3、o.GHE = 90o, DHA = 90o+ 90 o= 180 o.ABC虛一個邊長為a + b的正方形，它的面積即是a./上匚一匕 口 1ab , 、e人三角形的面積即是2 .把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀. Rt A DAH 二 Rt A ABE,. / HDA = / EAB./ HAD + / HAD = 90o,./ EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積即是c.ABC虛一個直角梯形，它的面積即是1 u 2 o 11 2a b2 ab c/. 222 .2,22/. a b c .【證法5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設(shè)它們

4、的兩條直角邊長分別為b ,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D.v EF = FG =GH =HE = b a , /HEF = 90 o.2EFGH一個邊長為ba的正方形，它的面積即是b a1224 - ab b a c2.a2 b2 c2.【證法4】（ 1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形一一 一 1ab , 、一一一則每個直角三角形的面積即是2 .把這兩個直角三角形拼博如babE a B圖所示形狀，使A、E、B三點在一條苜琴上_ Rt A EAD 二 Rt ACBE,. / ADE = / BEC / AED + Z

5、ADE = 90o, / AED + / BEC = 90 o. ./ DEC = 180o90o= 90 o. . DECM一個等腰直角三角形，1 2它的面積即是2C .又 / DAE = 90o, / EBC = 90o,a、. AD/ BCE、F在一條直線上.過C作AC的延長線交 DF于點P.v D E、F 在一條直線上，且 RtAGEF Rt AEBD,./ EGF = Z BED,/ EGF + /GEF = 90 ,./ BED + / GEF = 90./ BEG =1803900= 90 o.又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG一個邊長為c的正方形. /

6、ABC + /CBE = 90 o. Rt A ABC 二 RtAEBD,. / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90 o.即/ CBD= 900.又 / BDE = 900, / BCP = 900, BC = BD = a . . BDPO一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE勺面積為S,則aEc/H a bbcDaBc2 S 2 1ab 2 2,22【證法6】(項明達證明) 做兩個全等的直角三角形設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b c .a、b (b>a),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊

7、形，使E、A、過點Q作QP/ BC,交AC于點P. 過點B作BML PQ,垂足為 M 再過點 F作FN± PQ,垂足為N / BCA = 900, QP / BC, . / MPC = 900,. BML PQ, ./ BMP = 900,C三點在一條直線上.fNaX、P bc ?CJa BCPM一個矩形，即/ MBC = 900Q / QBM + / MBA = / QBA = 900,/ ABC + / MBA = / MBC = 900,./ QBM = / ABC,又 / BMP = 900, / BCA = 900, BQ = BA = c, RtABMQRtABCA同理可

8、證 Rt A QNF 二 RtAAEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 4】（梅文鼎證明）.【證法7（歐幾里得證明）做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示D L c E形狀，使H、C、B三點在一條 BF、CD 過 C作 CL.X DE, 交AB于點M,交DE于點 L.; AF = AC, AB = AD, /FAB = / GAD, FAB GAD,1a2 FAB的面積即是2 GAD勺面積即是矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM勺面積=a2.同理可證，矩形MLEB勺面積=b2.正方形ADEB勺面積mleB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形222222 c a b , 即 a b c

9、.【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為 a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CD! AB,垂足是D.在 ADCffi ACB中，. /ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC, ADCACBAD： AC = AC : AB, 即 AC2 AD ? AB .同理可證, CDB s ACB,從而有BC2 BD?AB . .AC2 BC2 AD DB ?AB AB2 即 a2 b2 c2.【證法9（楊作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （b>a）,斜邊長為c.再做一個邊長為 c的正方形

10、.把它們 拼成如圖所示的多邊形.過A作AF± AC, AF交GT于F, AF交DT 于R 過B作BP)± AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直 垂足為E, DE交AF于H / BAD = 90o, / PAC = 90o, . / DAH = / BAC又 / DHA = 90o, / BCA = 90o,AD = AB = c, Rt A DHA RtABCA . DH = BC = a, AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個矩形，所以 Rt A APB RtABCA 即 PB =CA = b, AP= a, 從而 PH = b a.v Rt A

11、DGT Rt A BCA , Rt A DHA WR" BCA Rt A DGT Rt A DHA . . DH = DG = a, / GDT = / HDA.又 / DGT = 90o, / DHF = 90o,/GDH = / GDT + /TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFK一個邊長為a的正方形. .GF = FH = a . TF±AF, TF = GT GF = b a. . TFPB是一個直角梯形，上底TF=b- a,下底BP= b,高FP=a + (ba).用數(shù)字暗示面積的編號(如圖) 面積為SiS2S3S8S3S4S41 b 2S5

12、a b2 1 ab=2S5S8S9S3S4b21abS8= b2S1S8 .把代入，得=b S2 S9 = b2 a2.a2 b2 c2.【證法10(李銳證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b (b>a),斜邊的長 為c.做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所 示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數(shù)字暗示面積的編號則以c為邊長的正方形的（如圖）./ TBE = / ABH = 90o, ./ TBH = / ABE又/ BTH = /BEA = 90 o, BT = BE = b, Rt A HBT Rt AABE.HT = AE = a .GH = GT HT

13、 = ba./TBH + / BHT = 90 OQ又GHF + /BHT = 90 o, / DBC + / BHT =./ GHF = / DBC; DB = EB ED = ba, / HGF = / BDC = 90o,/. Rt AHGF Rt A BDC 即 & & .過Q作QML AG,垂足是 M 由/ BAQ = /BEA = 90 o,可知/ ABE=/QAM,而 AB = AQ = c, 所以 Rt A ABE Rt A QAM.又 Rt AHBT 二Rt ABE 所以 Rt HBT 二 Rt QAM,即 & S5.由 Rt A ABE RtAQAM

14、,又得 QM = AE = a, / AQM = /BAE /AQM + /FQM = 90o, /BAE + / CAR = 90 o, /AQM = / BAE, . / FQM = / CAR又/ QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a, Rt AQMF Rt A ARC又 S_2 aSiS2 b2S2S8S3S4S5S5S4,S6S3S7即 S4S6.a2Si S6b2S3S7S8,S6 ,S8=SiS4S3S2S5即a2b2【證法11】2=C ,2c .（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊BC = a, AC = b, 斜邊AB = c .如 圖，以

15、B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D E, 則BD = BE = BC = a .因為/ BCA = 90o,點C在。B上，所以AC是。B的切線.由切割線定理，得CbEBD A=AB BE AB BD=c a c a22即b2 /. a2=c a ,22c a ,22b c .【證法12（利用多列米定理證明）在RtAABC中，設(shè)直角邊BC = a, AC = b, 斜邊AB = c （如 圖）.過點A作AD/ CB,過點B作BDII CA,貝U ACB曲矩形，矩形 ACBD內(nèi)接于一個圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘 積即是兩對邊乘積之和，有AB?DC AD?BC AC

16、?BD,; AB = DC = c, AD = BC = a,AC = BD = b,AB2 BC2 AC2,即 c2 a2 b2, 2,22 .a b c .【證法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明A在Rt ABC中，設(shè)直角邊BC = a, AC = b, 斜邊AB = c .作RtAABC的內(nèi)切圓。O,切點分別為 D、E、F （如圖），設(shè)。O的 半徑為r.; AE = AF, BF = BD, CD = CE,BCABAECEBD CD AF BF2rb2CECD=r + r = 2r,即a2b2S ABC 2ab又,/ S ABC2r,2r一 .22ab 4 r2ab4s ABCS AOB

17、S BOCrcS AOC1一 cr21 ar211br 2rc ,rc 4S abc2積為a b/. a2b/. a2ba、b （b>a）,斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a）,把它們拼成如/2 4r rc 2ab ,.ac .【證法16（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 b2 2ab 2ab c2,.a2 b2 c2.【證法14（利用反證法證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為 a、b, 斜邊AB的長為c,過點C作CEU AB,垂足是D.假設(shè)a2 b2 c2,即假設(shè) AC2 BC2 AB2,則由AB2 AB ? AB = ABAD

18、 BD =AB ?AD AB ? BD可知 AC2 AB? AD ,或者 BC2 AB ? BD .即 AD ： AC? AC： AB, 或者 BD: BC? BC AB在 ADCffi ACB中，/A = /A,C 若 AD: AO AC AB,則/ AD（C / ACBa/在 CD所口 A ACB中，/ ./B = ZB,/Dcb 若 BD BC? BC: AB,則/ CD序 / ACB又/ ACB = 90o, / AD（C 90o, /CD* 90o.這與作法 CD! AB矛盾.所以，AC2 BC2 AB2的假設(shè)不能成 立.a2 b2 c2.【證法15（辛卜松證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCDJ分成上方左圖所示22. 2的幾個部份，則正方形 ABCD的面積為 a b a b 2ab ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部份，則正方形ABCD的面124 -ab c22= 2ab c2_22ab 2ab c ,AC3G 2與暗示面積的圖所示形狀，使E、H M三點在一條直線上.