固體物理學(xué)-期中考試試題及答案

1、固體物理學(xué)-期中考試試題及答 案2005級(jí)2007-2008學(xué)年第二學(xué)期固體物理學(xué)期中考試答案一、簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題：(30分)(1)簡(jiǎn)要說(shuō)明熱傳導(dǎo)系數(shù)的溫度依賴關(guān)系。答品格熱導(dǎo)率的溫度依賴關(guān)系如下：高溫情況下， T>>德拜溫度G)d ,對(duì)于 所有品格振動(dòng)模，平均聲子數(shù)"T,溫度升高時(shí)，聲子間相互 碰撞”的幾率增大， 自由程減小，自由程與溫度成反比；且在高溫下，熱容與溫度無(wú)關(guān)。因此 高溫情 況下熱導(dǎo)率與溫度成反比。低溫時(shí)，盡管品格熱容遵從德拜T3定律，但熱導(dǎo)率k隨溫度的變化主要決 定于平均自由程 入的指數(shù)因子，即K隨溫度降低而指數(shù)增大。極低溫度的情況下，聲子的平均自由程可以

2、增大到與聲子被晶格缺陷散射所 決定的平均自由程相比擬，甚至可以與晶體樣品的有限尺寸相比擬。這時(shí)的平均 自由程不再是非諧效應(yīng)引起的本征自由程， 而應(yīng)是以缺陷的空間分布或樣品的尺 寸所決定的與溫度無(wú)關(guān)的平均自由程。 因此，熱導(dǎo)率的溫度依賴關(guān)系將與品格熱 容的溫度依賴關(guān)系(T3)相同。(2)聲子數(shù)的物理意義是什么？晶體中聲子數(shù)目是否守恒？在極低溫下，晶體中的聲子數(shù)與溫度T之間有什么樣的關(guān)系？答聲子是指格波的量子，它的能量等于方?。一個(gè)格波，也就是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子。所以，聲子數(shù)代表品格振動(dòng)的格波數(shù)。1頻率為coi的格波的平均嚴(yán)子數(shù)為 ：ni)=F一e T即每一個(gè)格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān)，因此晶

3、體中的 聲子數(shù)目不守恒，它隨溫度的改變而改變。g( )d 以德拜模型為例。晶體中的聲子數(shù)目為其中'DN' = j n( .)g( -)d .0令則3VkB3T3 *T x2dxN'=2-3 32二2 3C3x0 e 一1在極低溫度下，的/T 一 0°,于是3V"3 二x2dx 叫 3 二23一 2 二2/?C30ex-1-2 -： gRn "3（3）共價(jià)結(jié)合為什么有 飽和性”和 方向性”？答對(duì)電子束縛能力相同或相近的兩個(gè)原子，彼此靠近時(shí)，各自貢獻(xiàn)一個(gè)電子，為兩 個(gè)原子共有，從而使其結(jié)合在一起，這種結(jié)合，稱為共價(jià)結(jié)合，或原子結(jié)合。能把兩個(gè)原子

4、結(jié)合在一起的一對(duì)為兩個(gè)原子所共有的自旋相反配對(duì)的電子 結(jié)構(gòu)，稱為共價(jià)鍵。它有兩個(gè)特點(diǎn)：飽和性和方向性。 飽和性指一個(gè)原子只能形 成一定數(shù)目的共價(jià)鍵。按照泡利不相容原理，當(dāng)原子中的電子一旦配對(duì)后，便不 能再與第三個(gè)電子配對(duì)。因此當(dāng)一個(gè)原子與其它原子結(jié)合時(shí)，能夠結(jié)合成共價(jià)鍵 的數(shù)目有一個(gè)最大值，這個(gè)最大值取決于它所含的未配對(duì)的電子數(shù)。設(shè) N為一 個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目，對(duì)于IVA, VA, VIA, VUA族元素，價(jià)電子殼層共包含8 個(gè)量子態(tài)，最多能容納（8-N）個(gè)電子，形成（8-N）個(gè)共價(jià)鍵。這就是共價(jià) 結(jié)合的飽和性”。當(dāng)兩原子未配對(duì)的自旋相反的電子結(jié)合成共價(jià)鍵后， 電子云就會(huì)發(fā)生交疊， 而且共價(jià)鍵

5、結(jié)合得越緊密，相應(yīng)的電子云交疊的也越厲害。因此，兩原子在以共 價(jià)鍵結(jié)合時(shí)，必定選取盡可能使其電子云密度為最大的方位， 也就是電子的波函 數(shù)為最大的方向。這就是共價(jià)鍵具有 方向性”的物理本質(zhì)。（4） 一維雙原子鏈中，原子的質(zhì)量分別為 M和m,若用一個(gè)雜質(zhì)原子分別替代 這兩種原子，說(shuō)明在何種情況下可以在品格中產(chǎn)生隙模、高頻模、共振模？答晶體中雜質(zhì)或缺陷可能引入一些新的振動(dòng)模式頻率。在原有的頻率之上出現(xiàn)的新的頻率的模，稱為高頻模；特征頻率落在了頻帶之中的，稱為共振模；落在頻隙之間，稱為隙模。對(duì)于一維雙原子鏈，假設(shè)兩種原子白質(zhì)量分別為 mi和 m2 ,而且m2>mi ；雜質(zhì)原子的質(zhì)量為 m

6、9;。當(dāng)雜質(zhì)原子替代mi原子（輕的） 位置時(shí)，若m' >而就會(huì)出現(xiàn)隙模；若m' <m時(shí)則出現(xiàn)高頻模。當(dāng)雜質(zhì)原子替代 m2原子（重的）位置時(shí)，如 m' <m也會(huì)出現(xiàn)隙模；m' >m則出現(xiàn)共振模。（5）對(duì)晶體作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，是否可以用可見(jiàn)光，為什么？答不能用可見(jiàn)光作晶體的結(jié)構(gòu)分析。因?yàn)榫w的晶格常數(shù)的數(shù)量級(jí)為 10-10m,只有波長(zhǎng)與品格常數(shù)為一個(gè)數(shù)量級(jí)的電磁波或粒子才能以晶格作為衍射光柵， 進(jìn)行晶格常數(shù)的測(cè)定，而可見(jiàn)光 的波長(zhǎng)范圍是400nm760nm，遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，所以不能用它作晶體結(jié)構(gòu)的分 析。、填空題（10分） 1、同一晶體的正、倒格

7、子一般屬于同一品系，其中面心立方晶體的倒格子是體心立方，若已知其晶胞的邊長(zhǎng)為 a,則其原胞體積為 a/4 ,原胞基矢. a"" a a 44 aa4 4為ai=2（j+k）a2=3（k+i）a3=a（i+j）T2 -1 * TT 2 - TV*T 2- T T T其 相 應(yīng) 的b=面討）牛="原j k）胞b3 二冠（i j焚）倒格子晶胞基矢：3*=至，；=至，)*=立。ab7c若假設(shè)已知該晶體中的密勒指數(shù)為(hkl)的晶面族，則與該晶面垂直 的倒格矢在倒格子晶胞坐標(biāo)系下的表達(dá)式為Gh k尸ha + kb + lc則該晶面在原胞坐標(biāo)系中的相應(yīng)面指數(shù)為( k +l)(

8、l +h)(h + k)P(p是公約數(shù) )2、由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，q可以取 N 個(gè)不同的值,每個(gè)q對(duì)應(yīng) _2個(gè)解，因此總共有2N個(gè)不同的格波。若在由N個(gè)原胞(每個(gè)原胞內(nèi)有n個(gè)原子)組成三維品格中，對(duì)一定的波矢q ,有_3一支聲學(xué)波，3n-3支光學(xué)波，在長(zhǎng)波極限下，光學(xué)波原子振動(dòng)的特點(diǎn)是質(zhì)心不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)方向相反,聲學(xué)波原子振動(dòng)的特點(diǎn)是相鄰原子振動(dòng)方向相同，反映質(zhì)心運(yùn)動(dòng) 。三(15分)寫(xiě)出長(zhǎng)光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程，說(shuō)明方程的物理意義，并由靜電場(chǎng)和高頻 電場(chǎng)兩種情況導(dǎo)出方程系數(shù)。解：長(zhǎng)光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程W=3W+h2E(DP= biW b2 E(2)I14這里，W稱為折合位移，反映正

9、負(fù)離子相對(duì)位移的矢量。P是宏觀極化強(qiáng)度，E是宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度。物理意義：方程(D是決定離子相對(duì)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，稱為振動(dòng)方程；方程（2）表示除去正負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生極化，還要考慮宏觀電場(chǎng)存在時(shí)的附加極化，稱為極化方程。這兩個(gè)方程中系數(shù)并不都是無(wú)關(guān)的，由對(duì)稱性要求有1）靜電場(chǎng)情況下W =0 君=儀0）bi2所以W =-pE代入方程（2）中得biP =b12W b22E =（b22 -星）Ebii又因?yàn)?D = ；0E P = ；（0） ；0EP = ；（0）-1；°E對(duì)比（3）式和（4）式知:(0)-1 0 =甌-bi22bn2）高頻電場(chǎng)情況下 W=0,6 =可必）所以 P=b22E又因?yàn)?/p>

10、P =(二)-1；°E對(duì)比（6）式和（7）式知:（二）1 ；0 =b22聯(lián)立（5）式和（8）式得:；（0）- ；（二）；0b12卜1bi2= b2io(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)卜面確定bii :對(duì)橫光學(xué)波（下標(biāo)T）Q縱光學(xué)波（下姆L）分別滿足以下關(guān)可 W -0 V*Wr =O KWl=0Wx WT 手 0靜電場(chǎng)情況下： D =、（金. P）=0、 E=o所以對(duì)方程（1）兩邊取旋度有：Vx W = b11Vx W + b2Vx E即' （dWL 支除“5 （Wl Wt）即：出2dt2112d2WT bW即：才一跖"（10）（10）是橫光學(xué)波的振動(dòng)方程，

11、解此方程可得到bii與橫光學(xué)波的振動(dòng)頻率之間的關(guān)系也1 =，。2最后各系數(shù)求解總結(jié)如下，其中8（0）,鞏陽(yáng),6?？赏ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)確定。Z .2b11 = 50b22 =；（二）一1 ；0.-,、-1/21/2、匕2 =b21 =8（0） £（*） % 0。四（15分）低溫下，固體比熱和溫度T3成正比，稱為德拜定律12 二4NkB T 3CV 一（一 ）5。d現(xiàn)已知溫度T=100K時(shí)金剛石的熱容Cv =7.2Ml0/cal/mol|_K ,求金剛石的零點(diǎn) 振動(dòng)能。的單令N = N。（阿伏伽德羅常數(shù)），由德拜定律一 4-1一 一 . 一 4 一 1巾=（口）3T =（12 3.1416 8.3

12、14）3皿0。= 1861K5Cv4.186 5 7.2 10因?yàn)?T -100K ;與 -1861K ,所以可以利用100K下金剛石熱容數(shù)據(jù)求其零點(diǎn)振動(dòng)能，金剛石零點(diǎn)振動(dòng)能-mE0 =.01 工 ，、, 萬(wàn)力,g（ ）d -8m是德拜模型中最高角頻，g是模式密度，對(duì)三維晶體g( )d ：" 3(2：)dq式中V是晶體的體積，對(duì)于德拜模型,是彈性波波速，所以g( )d =33 4_ (2 二) C C3V 22二 2C3d g g(« ) = 3nj,因此-mC3令德拜溫度為則金剛石零點(diǎn)振動(dòng)能為E。=.223V2 2C39 ,NkB%899 1 摩爾金剛石零點(diǎn)振動(dòng)能 E0

13、= 一 NkB% =R%=17419.74J/mol=4.2kcal/mol88五（15分）0具有簡(jiǎn)立方布喇菲格子的晶體原子間距為 2A ,由于品格具有非線性作用， 一個(gè)沿100方向傳播、波矢 Mo。 =1.3Ml010m聲子同另一個(gè)波矢大小相等 但沿110方向傳播的聲子相互作用，合并生成第三個(gè)聲子，試求合成后聲子 的波矢。解兩聲子相互作用形成第三個(gè)聲子時(shí)，不僅要服從能量守恒，還要求滿足波 矢守恒(或準(zhǔn)動(dòng)量守恒)qi %2 = %3b2/2=(兀 /a)j101回尸2.4 10 m或者：=q1 ；2=1.3 1010? 1.3 1010(? ?) -2.22 1010? 0.92 101072

14、4因?yàn)?1bL1Tb2 1= =1.57 1010m 一12 2a所以，中沿100方向分量已超出了第一布區(qū).但q3沿010方向分量沒(méi)有超出第2二，一布區(qū)，故可以在沿100萬(wàn)向給 中加一倒格矢(Gh=-i?=-3.14M1010i? m ) a使之回到第一布區(qū).=q3Gh= 2.22 1010? 0.92 1010?-3.14 1010i?-0.92 1010? 0.92 1010 ?二一二 1.3 1010? 1.3 1010?（m）22所以三聲子過(guò)程產(chǎn)生的第三個(gè)聲子波矢方向是在-1,1,0,其大小仍為1.3x101°m,，處于第一布里淵區(qū)內(nèi)。六、（15分）已知N個(gè)質(zhì)量為m間距為a的相同的原子組成的一維原子鏈，其原子在偏離平衡位置6時(shí)受到近鄰原子的恢復(fù)力F=- B吊B為恢復(fù)力系數(shù)）.1、試證明其色散