適合所有學校必考的自控重點

1、例1. 已知系統(tǒng)特征方程如下。試用勞斯判據確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1. 2. 3. 4. 解:1. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表由勞斯表可知，第一列元符號全部為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)特征根均位于左半平面。2. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表由勞斯表可知，第一列元符號變化兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根在右半平面；而勞斯表中無全為零的行，故無虛軸上的根；因特征方程為4階，所以有2個根在左半平面。3. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表因是一個很小的正數，所以，勞斯表第一列元符號變化兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根在右半平面；而勞斯表中無全為零的行，故無虛軸上的根；因特征方程為4階，所以有2個根在左半平面。4. 由系統(tǒng)特征

2、方程列寫勞斯表勞斯表的行的元素全為0，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有對稱于原點的根。以該行的上一行構造輔助方程，并對輔助方程求一階導數，用所得導數方程的系數繼續(xù)勞斯表的計算。求解輔助方程 解得 ，因為勞斯表第一列元素符號變化兩次，所以系統(tǒng)有兩個根在右半平面；由輔助方程有兩個根在虛軸上；因特征多項式為6階，故有兩個根在左半平面。考點2 利用奈氏判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。例2. 單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的系統(tǒng)響應如圖所示。要求：1. 確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。2. 求出系統(tǒng)在單位斜坡輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1. 由圖所示系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，知系統(tǒng)的超調量及峰值時間分別為，。由超調量及峰值時間的計

3、算公式，有解得，rad/s。故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為2. 單位斜坡輸入信號，即。因二階系統(tǒng)穩(wěn)定，故有系統(tǒng)的速度靜態(tài)誤差系數為作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。2. 為使系統(tǒng)的階躍響應呈現衰減振蕩形式，試確定的取值范圍。解:1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為其中。 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：，沒有開環(huán)零點。將開環(huán)零、極點標在平面上。 根軌跡的分支數。特征方程為三階，故有三條根軌跡分支。3條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)無限零點。 實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為,和 漸近線的位置與方向。漸近線與實軸的交點漸近線與正實軸的夾角 分離點和分

4、離角。根據分離點公式解得，（舍去）。不在時的根軌跡上，故應舍去。分離角 。 與虛軸的交點。將代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程實部、虛部為零解得，即。根據以上所計算根軌跡參數，繪制根軌跡如圖所示。2. 確定的取值范圍。與分離點相應的可由模值條件求得由如圖可知，使系統(tǒng)的階躍響應呈現衰減振蕩形式的的取值范圍為。例4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；  （2）確定系統(tǒng)呈阻尼振蕩瞬態(tài)響應的 值范圍； （3）求產生持續(xù)等幅振蕩時的值和振蕩頻率； （4）求閉環(huán)主導復數極點具有阻尼比為時的值和閉環(huán)極點。解：（1）畫根軌跡該系統(tǒng)有三條根軌跡，開環(huán)極點為 。 于是，漸近線與實軸交點

5、為 。求漸近線 當  時， 。當  時， 。求分離點：由開環(huán)傳遞函數知，代入方程 有，不在根軌跡上，舍去。 是分離點，分離角為。根據幅值條件可求出分離點處的增益根軌跡與虛軸的交點 特征方程為勞斯表為當 時，輔助方程為 解得        根軌跡如圖所示。（2）當 時，系統(tǒng)閉環(huán)主導極點為一對共軛復數極點，系統(tǒng)瞬態(tài)響 應為欠阻尼狀態(tài)，階躍響應呈阻尼振蕩形式。（3）當 時，系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)產生持續(xù)等幅振蕩，。   （4）阻尼角，解方程或由圖可知

6、阻尼角為的主導極點由于 ，因此閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，另一個閉環(huán)極點為根據幅值條件知w/(rad/s)03020540L(w)/dB0020-20-40-60100w1w3w40.1w2例5、某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)bode圖如下，寫開環(huán)傳遞函數。解：例6.某單位反饋的最小相角系統(tǒng)，其開環(huán)對數幅頻特性如圖所示，要求求該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。例7. 單位負反饋最小相位系統(tǒng)校正前、后的開環(huán)對數幅頻特性如圖所示。1. 求串聯校正裝置的傳遞函數。2. 求串聯校正后，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的值。解:1. 求串聯校正裝置的傳遞函數。由圖知，校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為式中可由低頻段求出校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞

7、函數為由圖知，在時，開環(huán)對數幅值dB，即,故根據，則有2. 求串聯校正后，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的值。根據校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，其相頻特性為運用三角公式并整理，得當相角為時，有解得。此時幅值為即將開環(huán)增益增大倍，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據頻率穩(wěn)定判據，當即時，對數頻率特性曲線不穿越線，系統(tǒng)穩(wěn)定。例8. 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為要求校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數s1，相角裕度40º，截止頻率2.3rad/s，試設計串聯校正裝置。解：1. 確定開環(huán)增益。s12. 繪制s1時待校正系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻曲線如圖所示。由圖列寫直線方程rad/s可見待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且截止頻率遠大于期望值，故

8、選擇串聯滯后校正。3. 在待校正系統(tǒng)的頻率特性曲線上選擇頻率點，使其滿足并將其作為校正后系統(tǒng)的穿越頻率。rad/s4. 根據下述關系式確定遲后網絡參數和選 由圖6-5知即為 s5. 驗算。rad/s>2.3rad/s全部性能指標均已滿足。例9. 設開環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數。（a）（b）圖7-4解：圖（a）：兩個環(huán)節(jié)間有采樣開關，因此有圖（b）：兩個環(huán)節(jié)間沒有采樣開關，因此有例10. 設有單位反饋誤差采樣系統(tǒng)，連續(xù)部分傳遞函數為輸入，采樣周期s。試求：（1）輸出變換；（2）輸出響應的終值()。解：（1）開環(huán)脈沖傳遞函數為閉環(huán)脈沖傳遞函數為（2）輸出響應的終值由閉環(huán)脈沖傳遞函數，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為解得，故閉環(huán)極點均位于單位圓內，系統(tǒng)穩(wěn)定。滿足終值定理應用條件，故有() 例11、閉環(huán)脈沖傳遞函數采樣開關在離散閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置方式，求時，一般沒有像梅遜公式一樣的通用方法，需要根據閉環(huán)結構特點，用代數方法或結構圖變換方法逐步導