人教版高中數(shù)學(xué)【必修二】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]_《解析幾何初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固-基礎(chǔ)

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型(常考知識(shí)點(diǎn))鞏固練習(xí)解析幾何初步全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，能根據(jù)兩條直線的斜率判定 這兩條直線平行或垂直；2 .掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；3 .能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；4 .掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；5 .掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；6 .掌握圓的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；7 .能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線方程的幾種形式(1)直線方程的幾種表示形式中，除一般式外都有其適用范圍，任何一種表示形式都有其優(yōu)越性， 需要根據(jù)條件靈活選用.(2)在求解與直線方程有關(guān)的問題中，忽視對(duì)斜率不存在時(shí)的直線方程的討論是常見的錯(cuò)誤，應(yīng)特別警惕.(3)確定直線方程需要且只需兩個(gè)獨(dú)立條件，利用待定系數(shù)法求直線方程是常用方法.常用的直線方程有： y 一y0 =k(x -Xo)； y = kx +b ; Ax +By+C =0(A2 +B2 #0)；(Ax + B1y +C1) + M A2

3、x + B2 y +C2) = 0 (入為參數(shù))要點(diǎn)二：兩條直線的位置關(guān)系1 .特殊情況下的兩直線平行與垂直.(1)當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為900 ,互相平行；(2)當(dāng)一條直線的斜率不存在(傾斜角為90°),另一條直線的傾斜角為 0°時(shí)，兩直線互相垂直。2 .斜率都存在時(shí)兩直線的平行：(1)已知直線 11 : y = k1x和 12: y =k2x +b2 ,則 11 /12仁 k1 = k2 且 b1 # b2(2)已知直線 li： Aix+ Biy+Ci =0和 I2 ： A2x+B2y+C2 =0 (AiBiCi #0,A2B2c2 #0),則l

4、i H I2 uAiBiA2B2C2資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用要點(diǎn)詮釋：對(duì)于一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉(zhuǎn)化為斜截式形式，再作判定。3 .斜率都存在時(shí)兩直線的垂直：(1)已知直線 11 ： y = kix +bi 和 l2: y =k2x +b2 ,則 l1 _L l2 u k1k 2= 1 ；(2)已知直線 li： A1x+By+Ci =0和 I2 ： Ax + Bzy+Cz =0 ,則l1 _L l2 = A1A2 +B1B2 =0 .要點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式1 點(diǎn)到直線距離公式：Ax0 By0 C點(diǎn) P(x。，y。)到直線 l : Ax +By+C =0的距離為：

5、dA2 B22 .兩平行線間的距離公式已知兩條平行直線li和12的一般式方程為li： Ax + By+Ci=0, I2： Ax+By+C2 =0,則li與l2的距離為d =Ci -C2A2 B2 0要點(diǎn)詮釋：一般在其中一條直線l1上隨意地取一點(diǎn) M,再求出點(diǎn)M到另一條直線l2的距離即可要點(diǎn)四：對(duì)稱問題1 .點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題。設(shè)P(xo,y°),對(duì)稱中心為 A(a,b),則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2a x0,2b y0)。2 .點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱。利用“垂直” “平分”這兩

6、個(gè)條件建由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線” 立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P(%, yo)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x',y),則有X*-Xoy yo 二卜 xo x2 2,求出x、特殊地，點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于直線x = a的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2axo,yo)；點(diǎn)P(x0,y。)關(guān)于直線y = b的對(duì) 稱點(diǎn)為 P'(x0,2b y0)。3 .兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論：(1)點(diǎn)(x, y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x, y)；(2)點(diǎn)(x, y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x, y);(3)點(diǎn)(x, y)關(guān)于原點(diǎn)

7、的對(duì)稱點(diǎn)為(-x, -y);(4)點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線x y=0的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；(5)點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線x + y=0的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)。要點(diǎn)五：圓的方程求圓的方程通常果用待定系數(shù)法，若條件涉及圓心、 半徑等，可設(shè)成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件涉及圓過一些定點(diǎn)，則可設(shè)成圓的一般方程.運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)可以使運(yùn)算簡便.1 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x -a)2 +(y -b)2 = r2,其中(a, b )為圓心，r 為半徑.要點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí) a = 0, b = 0,圓的方程就是x2 + y2 = r2.有關(guān)圖形特 征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在 x軸上：b=o；圓與y軸相切時(shí)：

8、|a|=r；圓與x軸相切時(shí)：|b|=r；與 坐標(biāo)軸相切時(shí)：|a|=|b|=r ；過原點(diǎn)：a2 +b2 =r2.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+(y b)2 =r2 u圓心為(a, b),半徑為r ,它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法2 .圓的一般方程,.2222，D E )當(dāng)D2+E24F >0時(shí)，方程x2+y2 + Dx+Ey+F =0叫做圓的一般方程.一一，一 為圓心,I 22；1 . D2 E2 -4F 為半徑.2要點(diǎn)詮釋:由方程x2 y2

9、 Dx Ey F D 2=0得 x+- I +(y22_ D2 E2 _4F一 422 D E. DE、(1)當(dāng)D2 +E2 -4F =0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解 x = ,y = .它表示一個(gè)點(diǎn)(，一).2222(2)當(dāng)D2 +E2 -4F <0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形.(3)當(dāng)D2 +E2 -4F >0時(shí)，可以看出方程表示以 D,- |為圓心，-7d2 + E2-4F為半 .222徑的圓.要點(diǎn)六：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2 +(yb)2 =r2,圓心為C(a, b),半徑為r,則有222(1)右點(diǎn) M (x0, v。冰圓上 u | CM |=ru (

10、/a) +(yOb) = r(2)若點(diǎn) M(x0, y0 冷圓外 u |CM |>ru (x0 -af +(y0-b)2>r22.22(3)育點(diǎn)M以0, y而圓內(nèi)u | CM |< r u x -aV0 -br要點(diǎn)七：直線與圓的位置關(guān)系1 .直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn).2 .直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：(1)代數(shù)法：判斷直線l與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線l與圓C有公共點(diǎn)；有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓C

11、相離.(2)幾何法：設(shè)直線 l : Ax +By +C =0(A2 +B2 *0),圓 C:(x -a) 21y 切 片 (2 H ,圓心 C(a,b)到直| Aa Bb C | mtt線l的距離記為d = !_1,則：,A2 B2當(dāng)d <r時(shí)，直線l與圓C相交；當(dāng)d = r時(shí)，直線l與圓C相切；當(dāng)d >r時(shí)，直線l與圓C相離.要點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑；求切線長，一般 要用到切線長、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線成的直角三角形，由勾股定理解得(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是 通

12、過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理.(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決.要點(diǎn)八：圓與圓的位置關(guān)系1 .圓與圓的位置關(guān)系：(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn).2 .圓與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無解時(shí)，兩圓相離.(2)幾何法：圓 C1 :(x a1)2+(y b1)2 =r12 與圓 C2: (x a )+ (y/b )= ,2 的 圓圓心 距 d =、-

13、a1)2 也 f)2 ,則：當(dāng)r1 一21 <d <r +2時(shí)，兩圓相交；當(dāng)r1 +r2 =d時(shí)，兩圓外切；當(dāng)r1 +也<d時(shí)，兩圓外離；當(dāng)r1 -r2| =d時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)r1 -r2| >d時(shí)，兩圓內(nèi)含.要點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無 解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法 .要點(diǎn)九：求圓的切線方程的常用方法：(1)直接法：應(yīng)用常見

14、結(jié)論，直接寫出切線方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，由題意列出方程(組)解得切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，寫出點(diǎn)斜式，最后將點(diǎn)斜式化為一般式；(3)定義法：根據(jù)直線方程的定義求出切線方程.常見圓的切線方程：過圓x2 +y2 =r2上一點(diǎn)P(x0,y0 )的切線方程是Xox+yoy = r2；22過圓(x a) +(yb ) =r上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是:2Xo -a X -ay° -b y -b = r .要點(diǎn)十：空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的求法：過該點(diǎn)作兩條軸所確定平面的平行平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).確定簡單幾何體的頂點(diǎn)

15、坐標(biāo)是今后正確運(yùn)用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵，必須要熟練且正確地掌握空間直角坐標(biāo)系的建立與中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法.【典型例題】類型一：直線方程的綜合問題例 1.已知 A (-m-3, 2) , B (-2m-4, 4), C (-m, m), D (3, 3m+2),若直線 AB LCD,求 m 的 值.【思路點(diǎn)撥】兩直線垂直 。kik2 = -1的前提條件是kk2均存在且不為零，這類問題應(yīng)分斜率存在和不存在兩種情況討論.【答案】1或-1【解析】: A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等, AB與x軸不平行.AB XCD,CD 與 x 軸不垂直，-mw 3, mw-3.當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，-m-3=-2m-4,解得 m =

16、 -1.而m=-1時(shí)，C、D縱坐標(biāo)均為-1,CD / x軸，此時(shí) AB ± CD ,滿足題意。 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式kAB4-2 22m 4 -( -m - 3)-(m 1)_3m 2 -m _ 2(m 1) kCD =3-(-m)m 3AB LCD, kA B L k C D= -1,口 2 I 2(m 1)即L -1 1 -1 ,解得 m= 1.-(m 1) m 3綜上，m的值為1或-1.舉一反三：【變式 1】已知 11: 3x +2ay -5 =0,l2 ：(3a 1)xay 2 = 0 ,求使 11 /12的 a 的值。,1【答案】0或_1 6【解析】解法一：當(dāng)直

17、線斜率不存在，即 a = 0時(shí)，有11 :3x 5 = 0,12 ：x 2 = 0,符合11/12;33a _ 11直線斜率存在時(shí)，1112u _J=3a J_ a = - o 2a a61 故使I1/I2的a的值為0或一一。61 1解法一：由 11/12u 3(a) -(3a -1) 2a =0,解得 a = 0或，故使 11 /12的2 的值為 0或。66例2.過點(diǎn)M (0,1)作直線1 ,使其夾在兩直線11:x3y+10 = 0,和11:2x+y 8 = 0之間的線段被M平分，求直線1的方程?！舅悸伏c(diǎn)撥】求直線方程需兩個(gè)條件，現(xiàn)已知 1過M (0,1),需再求出1上的一個(gè)點(diǎn)或1的斜率。【

18、解析】方法一：設(shè)11nl =Pi,12nl=p2, 1門12= p.過M作MQ/1 1交1 2于Q點(diǎn)，則Q為PP2中點(diǎn)，由卜Yyy0 =0解得/ =2，/點(diǎn)p坐標(biāo)為(2, 4),口 1口 J 12x +y -8 =0) =47 與廠又 MQ的方程為：y-1= 1 (x-0),即 x-3y+3=0,* ,廣。£ .由;x-3y+3=0 得;x=3 , .q點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 2)。(2x+y8=0y =2由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 P2坐標(biāo)為(4, 0),x由兩點(diǎn)式可得直線1的方程為：一+y =1即x+4y-4=0。4方法二：由圖示可得1的斜率存在，故設(shè)1的方程為y=kx+1 ,由J3y立0=0得

19、P1點(diǎn)坐標(biāo)為(工，唾二1), y =kx +13k -13k -1由/ x+y-8=0可解得p2點(diǎn)坐標(biāo)為(，曳12), y=kx+1k+2k+2M (0, 1)是 PR 的中點(diǎn)，一+二_=0,解之得 k=- 1 ,3k -1 k 241直線 1 的方程為：y = -x +1 ,即 x+4y-4=0.4方法三：設(shè) Pi坐標(biāo)為(m, n),由M (0, 1)為P1P2中點(diǎn)，P 2點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,2-n ),. Pi 1 1, P 2c 1 2. .有 m-3n+10=0, 2m+n+6=0.m-3n 力0=0 A7JZB m =-4由 <,解得,2m +n +6 =0n =2由兩點(diǎn)式可得1方

20、程：乂二2即x+4y-4=0 。1 -20 4【總結(jié)升華】兩個(gè)條件確定直線，求直線方程可用直接法也可用待定系數(shù)法。熟練運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公 式，靈活運(yùn)用直線方程形式，對(duì)簡化解題過程是十分必要的。舉一反三：1【變式1】直線l與直線x=1相交于P點(diǎn)，與直線9x+3y-1=0相交于Q點(diǎn)，并且線段PQ的中點(diǎn)為(_ ,33),那么直線l的斜率是()(A) 2(B) -(C) - (口 - 55252【答案】B1【解析】設(shè)P (1, y。，由P, Q中點(diǎn)為(，3),故Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1 ,代入9x+3y-1=0中得Q ( - 1 ,-),333所以得 P(1, 14), /.tan 0=5.32例3.求直線xy-

21、2=0關(guān)于直線3x-y+3 = 0對(duì)稱的直線方程.【思路點(diǎn)撥】求出交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的問題.【答案】7x+y+22 = 0【解析】由得交點(diǎn) P '-5,- i,取直線上點(diǎn)A (0,-2).設(shè)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為22A)(Xo, y°),則有八xXo解得 yo7x+y+22 = 0.故所求直線過點(diǎn)1 -5,- i, (-3,-1),所求直線方程為22【總結(jié)升華】 本題利用轉(zhuǎn)化思想， 將對(duì)稱直線問題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱點(diǎn)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化與化歸是最基本、最重要的思想方法之一，它無處不在.舉一反三：【變式1】(2015年 寧夏固原模擬)光線從點(diǎn)A(-2，收)射到x軸上

22、的B點(diǎn)后，被x軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)C(2，而，則光線BC所在直線的傾斜角為jijiA. - B .【答案】B2 二C.3D.【解析】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A'(-2，-J3),A '在直線BC上，直線 BC 的斜率是 kBC =2® _(3)=遍=J3；1 -(-2)3直線BC的傾斜角是-.3故選：B.類型二：圓的方程的綜合問題例4.已知直線mx+2ny 4=0 (m, n C R),將圓x2十y2 4x 2y 4 = 0分成兩段相等的弧，求m+n的值.【答案】2【解析】由直線將圓分成等弧可得直線過圓心， 將圓心坐標(biāo)(2, 1)代入直線 mx+2ny 4=0

23、, 可得 2m+2 n=4 ,解得：m+n=2.舉一反三：1 3-【變式1】直線l被圓C: x2 +y2 2y = 0所截得的弦的中點(diǎn)是 M (-,-),求直線l的方程。2 2【答案】：x -y 2=0【變式 2】已知直線 l： 2mx y 8m3 = 0和圓 C ： x2 + y2 6x+12y+20 = 0.(1) mw R時(shí)，證明l與C總相交。(2) m取何值時(shí)，l被C截得弦長最短，求此弦長。【答案】(1)將直線l整理成點(diǎn)斜式方程 y+3 = 2m(x-4),則直線l過定點(diǎn)A(4, -3),斜率為 k =2m.將圓整理為標(biāo)準(zhǔn)方程(x 3)2+(y+6)2 =25 ,則圓心C(3,6),半

24、徑r=5. |AC|= (4-3)2 (-3 6)2 =10 <5.，點(diǎn)A(4,與)在圓C內(nèi)，故mW R時(shí)，l與C總相交。(2)由kAC =3,當(dāng)l與C垂直時(shí)，l被C截得弦長最短，11 ，當(dāng)k =2m = 即m =時(shí)，弦長最短，36設(shè)弦端點(diǎn)為P、Q ,則| PQ|= 2 Jr2 | AC |2 = 2 JT5 ,即最短弦長為2而。類型三：直線與圓的方程的綜合問題例5.已知O C: (x-1)2 +(y 2)2 =2 ,點(diǎn)P (2,-1),過點(diǎn)P作。C的切線，切點(diǎn)為 A、B.(1)求切線PA、PB的方程；(2)求線段PA的長；(3)求過A、B兩點(diǎn)的直線方程；(4)求弦AB的長.【思路點(diǎn)撥】

25、用切線的幾何特征、平面幾何知識(shí)解題.【解析】(1) (2-1) 2+ (-1-2) 2=10>2,點(diǎn) P (2, -1)在。C 外.由題意知過點(diǎn)P的切線的斜率存在.設(shè)所求圓的切線方程為 y+1 = k (x-2),即 kx-y -2k -1 =0.由圓心C (1, 2)到切線的距離為半徑J2,得阜二3J=J2,解得卜=7或卜=-1.、1 k2故所求切線方程為 7x y15 =0或x + y-1 = 0 .(2)在 RtAAPC 中，| PA| 2=| PC|2一| AC| 2=8,| PA 戶 2-2(3)以P為圓心，|AP|的長為半徑的圓的方程為 (x2)2+(y+1)2 = 8,線段AB為OC與OP的公共弦，由圓系方程知，公共弦 AB所在的直線方程為 x-3y + 3 = 0.(4)圓心 C至ij弦AB的距離為d -!1-6+3| =?圓半徑r=J2,由平面幾何知識(shí)得.12 32-1010 5| AB | 二 21-d2 =22->4 =4710.【總結(jié)升華】用圓系方程求解過A、B兩點(diǎn)的直線方程的方法值得重視.舉一反三：