人教版高中數(shù)學【必修二】[知識點整理及重點題型梳理]_《解析幾何初步》全章復習與鞏固-基礎

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學必修二知識點梳理重點題型(?？贾R點)鞏固練習解析幾何初步全章復習與鞏固【學習目標】1 .理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，能根據(jù)兩條直線的斜率判定 這兩條直線平行或垂直；2 .掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系；3 .能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；4 .掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；5 .掌握圓的標準方程的特點，能根據(jù)所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程；6 .掌握圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓

2、的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；7 .能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一：直線方程的幾種形式(1)直線方程的幾種表示形式中，除一般式外都有其適用范圍，任何一種表示形式都有其優(yōu)越性， 需要根據(jù)條件靈活選用.(2)在求解與直線方程有關的問題中，忽視對斜率不存在時的直線方程的討論是常見的錯誤，應特別警惕.(3)確定直線方程需要且只需兩個獨立條件，利用待定系數(shù)法求直線方程是常用方法.常用的直線方程有： y 一y0 =k(x -Xo)； y = kx +b ; Ax +By+C =0(A2 +B2 #0)；(Ax + B1y +C1) + M A2

3、x + B2 y +C2) = 0 (入為參數(shù))要點二：兩條直線的位置關系1 .特殊情況下的兩直線平行與垂直.(1)當兩條直線的斜率都不存在時，兩直線的傾斜角都為900 ,互相平行；(2)當一條直線的斜率不存在(傾斜角為90°),另一條直線的傾斜角為 0°時，兩直線互相垂直。2 .斜率都存在時兩直線的平行：(1)已知直線 11 : y = k1x和 12: y =k2x +b2 ,則 11 /12仁 k1 = k2 且 b1 # b2(2)已知直線 li： Aix+ Biy+Ci =0和 I2 ： A2x+B2y+C2 =0 (AiBiCi #0,A2B2c2 #0),則l

4、i H I2 uAiBiA2B2C2資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用要點詮釋：對于一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉化為斜截式形式，再作判定。3 .斜率都存在時兩直線的垂直：(1)已知直線 11 ： y = kix +bi 和 l2: y =k2x +b2 ,則 l1 _L l2 u k1k 2= 1 ；(2)已知直線 li： A1x+By+Ci =0和 I2 ： Ax + Bzy+Cz =0 ,則l1 _L l2 = A1A2 +B1B2 =0 .要點三：點到直線的距離公式1 點到直線距離公式：Ax0 By0 C點 P(x。，y。)到直線 l : Ax +By+C =0的距離為：

5、dA2 B22 .兩平行線間的距離公式已知兩條平行直線li和12的一般式方程為li： Ax + By+Ci=0, I2： Ax+By+C2 =0,則li與l2的距離為d =Ci -C2A2 B2 0要點詮釋：一般在其中一條直線l1上隨意地取一點 M,再求出點M到另一條直線l2的距離即可要點四：對稱問題1 .點關于點成中心對稱點關于點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標公式的應用問題。設P(xo,y°),對稱中心為 A(a,b),則P關于A的對稱點為P'(2a x0,2b y0)。2 .點關于直線成軸對稱。利用“垂直” “平分”這兩

6、個條件建由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線” 立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般情形如下：設點P(%, yo)關于直線y=kx+b的對稱點為P'(x',y),則有X*-Xoy yo 二卜 xo x2 2,求出x、特殊地，點P(xo,yo)關于直線x = a的對稱點為P'(2axo,yo)；點P(x0,y。)關于直線y = b的對 稱點為 P'(x0,2b y0)。3 .兩點關于點對稱、兩點關于直線對稱的常見結論：(1)點(x, y)關于x軸的對稱點為(x, y)；(2)點(x, y)關于y軸的對稱點為(x, y);(3)點(x, y)關于原點

7、的對稱點為(-x, -y);(4)點(x, y)關于直線x y=0的對稱點為(y,x)；(5)點(x, y)關于直線x + y=0的對稱點為(y,x)。要點五：圓的方程求圓的方程通常果用待定系數(shù)法，若條件涉及圓心、 半徑等，可設成圓的標準方程；若條件涉及圓過一些定點，則可設成圓的一般方程.運用圓的幾何性質(zhì)可以使運算簡便.1 .圓的標準方程(x -a)2 +(y -b)2 = r2,其中(a, b )為圓心，r 為半徑.要點詮釋：(1)如果圓心在坐標原點，這時 a = 0, b = 0,圓的方程就是x2 + y2 = r2.有關圖形特 征與方程的轉化：如：圓心在 x軸上：b=o；圓與y軸相切時：

8、|a|=r；圓與x軸相切時：|b|=r；與 坐標軸相切時：|a|=|b|=r ；過原點：a2 +b2 =r2.(2)圓的標準方程(xa)2+(y b)2 =r2 u圓心為(a, b),半徑為r ,它顯現(xiàn)了圓的幾何特點.(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法2 .圓的一般方程,.2222，D E )當D2+E24F >0時，方程x2+y2 + Dx+Ey+F =0叫做圓的一般方程.一一，一 為圓心,I 22；1 . D2 E2 -4F 為半徑.2要點詮釋:由方程x2 y2

9、 Dx Ey F D 2=0得 x+- I +(y22_ D2 E2 _4F一 422 D E. DE、(1)當D2 +E2 -4F =0時，方程只有實數(shù)解 x = ,y = .它表示一個點(，一).2222(2)當D2 +E2 -4F <0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.(3)當D2 +E2 -4F >0時，可以看出方程表示以 D,- |為圓心，-7d2 + E2-4F為半 .222徑的圓.要點六：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為(xa)2 +(yb)2 =r2,圓心為C(a, b),半徑為r,則有222(1)右點 M (x0, v。冰圓上 u | CM |=ru (

10、/a) +(yOb) = r(2)若點 M(x0, y0 冷圓外 u |CM |>ru (x0 -af +(y0-b)2>r22.22(3)育點M以0, y而圓內(nèi)u | CM |< r u x -aV0 -br要點七：直線與圓的位置關系1 .直線與圓的位置關系：(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點.2 .直線與圓的位置關系的判定方法：(1)代數(shù)法：判斷直線l與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線l與圓C有公共點；有兩組實數(shù)解時，直線l與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線l與圓C相切；無實數(shù)解時，直線l與圓C

11、相離.(2)幾何法：設直線 l : Ax +By +C =0(A2 +B2 *0),圓 C:(x -a) 21y 切 片 (2 H ,圓心 C(a,b)到直| Aa Bb C | mtt線l的距離記為d = !_1,則：,A2 B2當d <r時，直線l與圓C相交；當d = r時，直線l與圓C相切；當d >r時，直線l與圓C相離.要點詮釋：(1)當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑；求切線長，一般 要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線成的直角三角形，由勾股定理解得(2)當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是 通

12、過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理.(3)當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解決.要點八：圓與圓的位置關系1 .圓與圓的位置關系：(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.2 .圓與圓的位置關系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離.(2)幾何法：圓 C1 :(x a1)2+(y b1)2 =r12 與圓 C2: (x a )+ (y/b )= ,2 的 圓圓心 距 d =、-

13、a1)2 也 f)2 ,則：當r1 一21 <d <r +2時，兩圓相交；當r1 +r2 =d時，兩圓外切；當r1 +也<d時，兩圓外離；當r1 -r2| =d時，兩圓內(nèi)切；當r1 -r2| >d時，兩圓內(nèi)含.要點詮釋：判定圓與圓的位置關系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關系來確定，這種方法運算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無 解時，兩圓的位置關系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關系時，一般不用代數(shù)法 .要點九：求圓的切線方程的常用方法：(1)直接法：應用常見

14、結論，直接寫出切線方程；(2)待定系數(shù)法：設出切點坐標或切線斜率，由題意列出方程(組)解得切點坐標或切線斜率，寫出點斜式，最后將點斜式化為一般式；(3)定義法：根據(jù)直線方程的定義求出切線方程.常見圓的切線方程：過圓x2 +y2 =r2上一點P(x0,y0 )的切線方程是Xox+yoy = r2；22過圓(x a) +(yb ) =r上一點P(x0,y0)的切線方程是:2Xo -a X -ay° -b y -b = r .要點十：空間直角坐標系空間直角坐標系中坐標的求法：過該點作兩條軸所確定平面的平行平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的一個坐標.確定簡單幾何體的頂點

15、坐標是今后正確運用坐標法解題的關鍵，必須要熟練且正確地掌握空間直角坐標系的建立與中點坐標的確定方法.【典型例題】類型一：直線方程的綜合問題例 1.已知 A (-m-3, 2) , B (-2m-4, 4), C (-m, m), D (3, 3m+2),若直線 AB LCD,求 m 的 值.【思路點撥】兩直線垂直 。kik2 = -1的前提條件是kk2均存在且不為零，這類問題應分斜率存在和不存在兩種情況討論.【答案】1或-1【解析】: A、B兩點縱坐標不相等, AB與x軸不平行.AB XCD,CD 與 x 軸不垂直，-mw 3, mw-3.當AB與x軸垂直時，-m-3=-2m-4,解得 m =

16、 -1.而m=-1時，C、D縱坐標均為-1,CD / x軸，此時 AB ± CD ,滿足題意。 當AB與x軸不垂直時，由斜率公式kAB4-2 22m 4 -( -m - 3)-(m 1)_3m 2 -m _ 2(m 1) kCD =3-(-m)m 3AB LCD, kA B L k C D= -1,口 2 I 2(m 1)即L -1 1 -1 ,解得 m= 1.-(m 1) m 3綜上，m的值為1或-1.舉一反三：【變式 1】已知 11: 3x +2ay -5 =0,l2 ：(3a 1)xay 2 = 0 ,求使 11 /12的 a 的值。,1【答案】0或_1 6【解析】解法一：當直

17、線斜率不存在，即 a = 0時，有11 :3x 5 = 0,12 ：x 2 = 0,符合11/12;33a _ 11直線斜率存在時，1112u _J=3a J_ a = - o 2a a61 故使I1/I2的a的值為0或一一。61 1解法一：由 11/12u 3(a) -(3a -1) 2a =0,解得 a = 0或，故使 11 /12的2 的值為 0或。66例2.過點M (0,1)作直線1 ,使其夾在兩直線11:x3y+10 = 0,和11:2x+y 8 = 0之間的線段被M平分，求直線1的方程?！舅悸伏c撥】求直線方程需兩個條件，現(xiàn)已知 1過M (0,1),需再求出1上的一個點或1的斜率?！?/p>

18、解析】方法一：設11nl =Pi,12nl=p2, 1門12= p.過M作MQ/1 1交1 2于Q點，則Q為PP2中點，由卜Yyy0 =0解得/ =2，/點p坐標為(2, 4),口 1口 J 12x +y -8 =0) =47 與廠又 MQ的方程為：y-1= 1 (x-0),即 x-3y+3=0,* ,廣。£ .由;x-3y+3=0 得;x=3 , .q點坐標為(3, 2)。(2x+y8=0y =2由中點坐標公式可得 P2坐標為(4, 0),x由兩點式可得直線1的方程為：一+y =1即x+4y-4=0。4方法二：由圖示可得1的斜率存在，故設1的方程為y=kx+1 ,由J3y立0=0得

19、P1點坐標為(工，唾二1), y =kx +13k -13k -1由/ x+y-8=0可解得p2點坐標為(，曳12), y=kx+1k+2k+2M (0, 1)是 PR 的中點，一+二_=0,解之得 k=- 1 ,3k -1 k 241直線 1 的方程為：y = -x +1 ,即 x+4y-4=0.4方法三：設 Pi坐標為(m, n),由M (0, 1)為P1P2中點，P 2點坐標為(-m,2-n ),. Pi 1 1, P 2c 1 2. .有 m-3n+10=0, 2m+n+6=0.m-3n 力0=0 A7JZB m =-4由 <,解得,2m +n +6 =0n =2由兩點式可得1方

20、程：乂二2即x+4y-4=0 。1 -20 4【總結升華】兩個條件確定直線，求直線方程可用直接法也可用待定系數(shù)法。熟練運用中點坐標公 式，靈活運用直線方程形式，對簡化解題過程是十分必要的。舉一反三：1【變式1】直線l與直線x=1相交于P點，與直線9x+3y-1=0相交于Q點，并且線段PQ的中點為(_ ,33),那么直線l的斜率是()(A) 2(B) -(C) - (口 - 55252【答案】B1【解析】設P (1, y。，由P, Q中點為(，3),故Q點橫坐標為-1 ,代入9x+3y-1=0中得Q ( - 1 ,-),333所以得 P(1, 14), /.tan 0=5.32例3.求直線xy-

21、2=0關于直線3x-y+3 = 0對稱的直線方程.【思路點撥】求出交點坐標，轉化為求點關于直線的對稱點的問題.【答案】7x+y+22 = 0【解析】由得交點 P '-5,- i,取直線上點A (0,-2).設A關于直線的對稱點為22A)(Xo, y°),則有八xXo解得 yo7x+y+22 = 0.故所求直線過點1 -5,- i, (-3,-1),所求直線方程為22【總結升華】 本題利用轉化思想， 將對稱直線問題轉化成對稱點問題，在中學數(shù)學中，轉化與化歸是最基本、最重要的思想方法之一，它無處不在.舉一反三：【變式1】(2015年 寧夏固原模擬)光線從點A(-2，收)射到x軸上

22、的B點后，被x軸反射，這時反射光線恰好過點C(2，而，則光線BC所在直線的傾斜角為jijiA. - B .【答案】B2 二C.3D.【解析】點A關于x軸的對稱點為 A'(-2，-J3),A '在直線BC上，直線 BC 的斜率是 kBC =2® _(3)=遍=J3；1 -(-2)3直線BC的傾斜角是-.3故選：B.類型二：圓的方程的綜合問題例4.已知直線mx+2ny 4=0 (m, n C R),將圓x2十y2 4x 2y 4 = 0分成兩段相等的弧，求m+n的值.【答案】2【解析】由直線將圓分成等弧可得直線過圓心， 將圓心坐標(2, 1)代入直線 mx+2ny 4=0

23、, 可得 2m+2 n=4 ,解得：m+n=2.舉一反三：1 3-【變式1】直線l被圓C: x2 +y2 2y = 0所截得的弦的中點是 M (-,-),求直線l的方程。2 2【答案】：x -y 2=0【變式 2】已知直線 l： 2mx y 8m3 = 0和圓 C ： x2 + y2 6x+12y+20 = 0.(1) mw R時，證明l與C總相交。(2) m取何值時，l被C截得弦長最短，求此弦長?！敬鸢浮?1)將直線l整理成點斜式方程 y+3 = 2m(x-4),則直線l過定點A(4, -3),斜率為 k =2m.將圓整理為標準方程(x 3)2+(y+6)2 =25 ,則圓心C(3,6),半

24、徑r=5. |AC|= (4-3)2 (-3 6)2 =10 <5.，點A(4,與)在圓C內(nèi)，故mW R時，l與C總相交。(2)由kAC =3,當l與C垂直時，l被C截得弦長最短，11 ，當k =2m = 即m =時，弦長最短，36設弦端點為P、Q ,則| PQ|= 2 Jr2 | AC |2 = 2 JT5 ,即最短弦長為2而。類型三：直線與圓的方程的綜合問題例5.已知O C: (x-1)2 +(y 2)2 =2 ,點P (2,-1),過點P作。C的切線，切點為 A、B.(1)求切線PA、PB的方程；(2)求線段PA的長；(3)求過A、B兩點的直線方程；(4)求弦AB的長.【思路點撥】

25、用切線的幾何特征、平面幾何知識解題.【解析】(1) (2-1) 2+ (-1-2) 2=10>2,點 P (2, -1)在。C 外.由題意知過點P的切線的斜率存在.設所求圓的切線方程為 y+1 = k (x-2),即 kx-y -2k -1 =0.由圓心C (1, 2)到切線的距離為半徑J2,得阜二3J=J2,解得卜=7或卜=-1.、1 k2故所求切線方程為 7x y15 =0或x + y-1 = 0 .(2)在 RtAAPC 中，| PA| 2=| PC|2一| AC| 2=8,| PA 戶 2-2(3)以P為圓心，|AP|的長為半徑的圓的方程為 (x2)2+(y+1)2 = 8,線段AB為OC與OP的公共弦，由圓系方程知，公共弦 AB所在的直線方程為 x-3y + 3 = 0.(4)圓心 C至ij弦AB的距離為d -!1-6+3| =?圓半徑r=J2,由平面幾何知識得.12 32-1010 5| AB | 二 21-d2 =22->4 =4710.【總結升華】用圓系方程求解過A、B兩點的直線方程的方法值得重視.舉一反三：