高等數(shù)學(xué)(下)復(fù)習(xí)大綱

1、（0003）高等數(shù)學(xué)(下)復(fù)習(xí)大綱說(shuō)明: 大綱中“掌握”是重點(diǎn)內(nèi)容.一、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、了解區(qū)域、開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域的概念；了解多元函數(shù)的概念；掌握多元函數(shù)的定義域的計(jì)算；掌握多元函數(shù)的極限的定義及計(jì)算方法，特別是多元函數(shù)在某點(diǎn)極限不存在時(shí)的證明方法；掌握多元連續(xù)函數(shù)的概念，理解多元函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，了解閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì).2、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)的定義, 掌握偏導(dǎo)的計(jì)算方法；了解偏導(dǎo)存在與多元函數(shù)的連續(xù)性的關(guān)系；了解高階偏導(dǎo)以及兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)相等的充分條件.3、理解多元函數(shù)微分的定義、多元函數(shù)微分與連續(xù)的關(guān)系；理解多元函數(shù)微分與偏導(dǎo)的關(guān)系.4、掌握多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)的

2、計(jì)算.5、掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.6、理解空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念；掌握曲面的法向量的計(jì)算；理解曲面的法向量的方向角及方向余弦.7、了解函數(shù)的梯度的概念.8、理解多元函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的概念；掌握多元函數(shù)的極值的計(jì)算方法，特別是條件極值的計(jì)算.二、重積分1、結(jié)合例子理解二重積分的概念，理解二重積分的性質(zhì).2、掌握二重積分利用直角坐標(biāo)以及利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算的方法.3、了解三重積分的概念以及三重積分(利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))的計(jì)算.4、了解二重積分在計(jì)算曲面面積時(shí)的應(yīng)用.三、曲線積分與曲面積分1、結(jié)合例子理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念；了解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)；掌握對(duì)

3、弧長(zhǎng)的曲線的計(jì)算方法.2、理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念；了解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)；掌握對(duì)坐標(biāo)的曲線的計(jì)算方法.3、理解格林(Green)公式, 并能了解平面曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的充要條件以及是某函數(shù)的全微分的充要條件以及的計(jì)算方法.4、結(jié)合例子理解對(duì)面積的曲面積分的概念；了解對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)；掌握對(duì)面積的曲面的計(jì)算方法.5、理解對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念；了解對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)；掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面的計(jì)算方法.6、理解高斯(Gauss)公式.7、理解斯托克斯(Stokes)公式.四、無(wú)窮級(jí)數(shù)1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義；掌握等比級(jí)數(shù)的收斂性；理解收斂級(jí)數(shù)的五條性

4、質(zhì)；會(huì)證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù)2 / 7.2、理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念并掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的四種審斂法；掌握p-級(jí)數(shù)的收斂性；理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念及判定其收斂的萊布尼茨定理；掌握絕對(duì)收斂與條件收斂.3、了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域的概念；理解冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間的概念,掌握利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的直接方法,并能求出冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(關(guān)鍵是能判定端點(diǎn)處的收斂情況)；了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì).4、了解將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟.5、了解三角級(jí)數(shù)及其正交性；理解函數(shù)的傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的收斂性定理.五、微分方程1、理解微分方程、微分方程的階、微分方程的解(通解及特解)、微分

5、方程的初始條件等概念.2、掌握可分離變量的微分方程的計(jì)算方法.3、掌握齊次微分方程的計(jì)算方法,并能利用簡(jiǎn)單的變量替換技巧求解微分方程.4、掌握一階線性微分方程的求解過(guò)程；了解伯努利(Bernoulli)方程的一般形式.5、了解全微分方程的概念及積分因子的概念.6、掌握常見(jiàn)的三種可降階的高階微分方程()的計(jì)算方法.7、掌握高階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu).8、掌握常系數(shù)齊次微分方程的計(jì)算方法.9、掌握特殊的常系數(shù)非齊次二階微分方程的計(jì)算方法.（0003）高等數(shù)學(xué)(下)樣題及答案一、填空題(每小題3分, 共30分)1、函數(shù)的定義域?yàn)?.2、已知函數(shù)，則 , .3、設(shè), 則= .4、設(shè)是從點(diǎn)(1,1,1)

6、到點(diǎn)(2, 3, 4)的有向線段, 則= .5、設(shè)區(qū)域G是 連通區(qū)域,函數(shù)在G內(nèi)具有一階的 偏導(dǎo)數(shù), 則存在使得成立的充要條件是 .6、用將級(jí)數(shù)表示出來(lái)是 .7、若收斂, 則 收斂.8、微分方程的階數(shù)為 .9、 微分方程的解.10、伯努利(Bernoulli)方程的一般形式為 .答案: 1. 2.3.4.13.5.單, 連續(xù), .6.7.一定.8.1.9.是.10.二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分, 共10分)1、極限是(1)不存在; (2); (3)0; (4)2.2、設(shè)L為圓周，則= .(1); (2); (3); (4).3、設(shè)是球面外側(cè)在第一卦線中的部分, 則= .(1)5; (2); (3

7、)15; (4).4、設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù) .(1)條件收斂; (2)絕對(duì)收斂; (3)發(fā)散; (4)不能確定.5、二階齊次微分方程的通解為 .(1); (2); (3); (4).答案: 1、(2).;2、(3); 3、(4); 4、(2); 5、(4).三、計(jì)算題(每小題8分, 共32分)1、求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長(zhǎng)方體.解 設(shè)球面方程為，是它的各面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn), 則此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，其體積為令.由得出由題意知, 這種長(zhǎng)方體必有最大體積，所以當(dāng)長(zhǎng)、寬、高都為時(shí)其體積最大.2、畫出積分區(qū)域, 并計(jì)算, 其中.解 y=x+1 y=-x+1 y=-x-1 y=x-13、計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域.解 .所以, 所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R = 3.當(dāng)x = 3時(shí), 原冪級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù),進(jìn)而是發(fā)散的;當(dāng)x = -3時(shí), 原冪級(jí)數(shù)為下述交錯(cuò)級(jí)數(shù),進(jìn)而是收斂的.因此,所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?3, 3.4、求微分方程的通解.解 令,則進(jìn)而有,故原方程變?yōu)?分離變量得,.兩邊積分有,進(jìn)而是原微分方程的通解.四、證明題或綜合題(8分)證明: 在(-1,