高中數(shù)學(xué)必修解三角形全章整理

1、課題: 111正弦定理如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。 思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。從而在直角三角形ABC中，思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B從上面的研探過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理說(shuō)明同一三

2、角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價(jià)于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。例1在中，已知，cm，解三角形。例2在中，已知cm，cm，解三角形。 練習(xí)：已知ABC中，求練習(xí)：1.在中，已知，cm，解三角形。 2.在中，已知，cm，解三角形。 3.在中，已知cm，cm，解三角形。 4.在中，已知cm，cm，解三角形。補(bǔ)充：請(qǐng)?jiān)囍评沓鋈切蚊娣e公式（利用正弦）課題: 1.1.2余弦定理如

3、圖11-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。 A如圖11-5，設(shè)，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形

4、的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？若ABC中，C=，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例1在ABC中，已知，求b及A練習(xí)：在ABC中，若，求角A。例1在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進(jìn)一步求出B；則從而1當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須才能有且只有一解；否則無(wú)解。2當(dāng)A為銳角時(shí)，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，

5、則無(wú)解。（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。練習(xí)：（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個(gè)。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。例2在ABC中，已知，判斷ABC的類型。練習(xí)：（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 例3在ABC中，面積為，求的值練習(xí)：（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，

6、求角C作業(yè)（1） 在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2） 設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。（3） 在ABC中，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個(gè)三角形的面積。2.2解三角形應(yīng)用舉例(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的

7、距離為多少？例3、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)例3、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1） acosA = bcosB（2） sinC =附加例題：例1在中，已知，。試求最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。例2在中，已知，試判斷此角形的形狀并求

8、出最大角與最小角的和。解三角形歸納提高一、 知識(shí)點(diǎn)梳理：1、正弦定理：在ABC中，注：R表示ABC外接圓的半徑 正弦定理可以變形成各種形式來(lái)使用2、余弦定理：在ABC中，也可以寫成第二種形式：，3、ABC的面積公式，二、題組訓(xùn)練：1、在ABC中， a=12，A=，要使三角形有兩解，則對(duì)應(yīng)b的取值范圍為 2、判定下列三角形的形狀在ABC中，已知，請(qǐng)判斷ABC的形狀。在ABC中，已知，請(qǐng)判斷ABC的形狀。在ABC中，已知，請(qǐng)判斷ABC的形狀。在ABC中，已知，請(qǐng)判斷ABC的形狀。在ABC中，請(qǐng)判斷ABC的形狀。3、在ABC中，已知，求ABC的面積。4、在ABC中，若ABC的面積為S，且，求tanC的值。5、在ABC中，已知，求ABC的面積。6、