高考真題——文科數(shù)學(xué)大綱解析

1、2014年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試（大綱）文科第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A2 B3 C5 D72. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）A B C D3. 不等式組的解集為（ ）A B C D4.已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）A B C D5. 函數(shù)的反函數(shù)是（ ）A B C D6. 已知為單位向量，其夾角為，則（ ）A1 B0 C1 D27. 有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同

2、的選法共有（ ）A60種 B70種 C75種 D150種 8. 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若則（ ）A31 B32 C63 D649. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為、，離心率為，過的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若的周長為，則C的方程為（ ）A B C D10. 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高位4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）A B C D11. 雙曲線C：的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于（ ）A2 B C4 D12. 奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則A2 B1 C0 D1 （ ）第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 的展

3、開式中的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）14. 函數(shù)的最大值為 .15. 設(shè)x、y滿足約束條件，則的最大值為 .16. 直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為（1,3），則與的夾角的正切值等于 .三、解答題 （本大題共6小題. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分10分）數(shù)列滿足.（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.18. （本小題滿分12分）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，求B.19. （本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，.（1）證明：；（2）設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小.20. （本小題滿分12分） 設(shè)每個(gè)工

4、作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立(1) 求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2) 實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購買k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值21. （本小題滿分12分）函數(shù)f(x)ax33x23x (a0)(1) 討論f(x)的單調(diào)性；(2) 若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求a的取值范圍22. （本小題滿分12分）已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，直線y4與 y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|PQ|.(1) 求C的方程；(2) 過F的直線

5、l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程2014高考大綱版理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1B解析 根據(jù)題意知MN1，2，4，6，81，2，3，5，6，71，2，6，所以MN中元素的個(gè)數(shù)是3.2D解析 根據(jù)題意，cos .3C解析 由得即0<x<1.4B解析 如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，CF，則EFBD，故EF與CE所成的角即為異面直線CE與BD所成的角設(shè)正四面體的棱長為2，則CECF，EF1.在CEF中，cos CEF，所以異面直線CE與BD所成角的余弦值為.5D解析 因?yàn)閥ln(1)，所以x(ey1)3.因?yàn)?/p>

6、x>1，所以yR，所以函數(shù)yln(1)(x>1)的反函數(shù)是y(ex1)3(xR)6B解析 因?yàn)閍，b為單位向量，且其夾角為60°，所以(2ab)·b2a·bb22|a|b|cos 60°|b|20.7C解析 由題意，從6名男醫(yī)生中選出2名，5名女醫(yī)生中選出1名組成一個(gè)醫(yī)療小組，不同的選法共有CC75(種)8C解析 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a，公比為q，易知q1，根據(jù)題意可得解得q24，1，所以S6(1)(143)63.9A解析 根據(jù)題意，因?yàn)锳F1B的周長為4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因?yàn)闄E

7、圓的離心率e，所以c1，b2a2c2312，所以橢圓C的方程為1.10A解析 如圖所示，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為2，所以AEAC.設(shè)球心為O，球的半徑為R，則OE4R，OAR.又因?yàn)锳OE為直角三角形，所以O(shè)A2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以該球的表面積S4R242.11C解析 易知雙曲線1的漸近線方程是y±x，不妨設(shè)焦點(diǎn)(c，0)到其中一條漸近線xy0的距離為，則，整理得b.又雙曲線C的離心率e2，c2a2b2，所以c2，即2c4，即雙曲線C的焦距等于4.12D解析 因?yàn)閒(x2)為偶函數(shù)，所以其對(duì)稱軸為直線x0，所以函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x2.又因?yàn)楹瘮?shù)

8、f(x)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽，所以f(0)0，所以f(8)f(4)f(4)f(0)0，故f(8)f(9)0f(5)f(5)f(1)f(1)1.二、填空題13160解析 (x2)6的展開式的通項(xiàng)為Tr1Cx6r(2)r，令6r3，解得r3.因?yàn)镃(2)3160，所以x3的系數(shù)為160.14. 解析 因?yàn)閥cos 2x2sin x12sinx22sin x2，所以當(dāng)sin x時(shí)函數(shù)ycos 2x2sin x取得最大值，最大值為.155解析 如圖所示，滿足約束條件的可行域?yàn)锳BC的內(nèi)部(包括邊界)，zx4y的最大值即為直線yxz的截距最大時(shí)z的值結(jié)合題意知，當(dāng)yxz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，聯(lián)立x

9、y0和x2y3，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1)，所以zmax145.16. 解析 如圖所示，根據(jù)題意知，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tan OPA，故tan APB，即l1與l2的夾角的正切值等于.三、解答題17解：(1)由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2. 又b1a2a11，所以bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是 ，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項(xiàng)公式ann22n2.18解：由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2s

10、in C.因?yàn)閠an A，所以cos C2sin C，所以tan C，所以tan Btan180°(AC)tan(AC)1，所以B135°.19解：方法一：(1) 證明：因?yàn)锳1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，平面AA1C1C平面ABCAC，所以BC平面AA1C1C.連接A1C，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形，故AC1A1C.由三垂線定理得AC1A1B.(2) BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E為垂足，則A1E平面BCC1B1.又直線AA1平面BCC1B1，因而A1E

11、為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E.因?yàn)锳1C為ACC1的平分線，故A1DA1E.作DFAB，F(xiàn)為垂足，連接A1F.由三垂線定理得A1FAB，故A1FD為二面角A1­ AB ­ C的平面角由AD1，得D為AC中點(diǎn)，所以DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1­ AB­ C的大小為arccos.方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系C ­ xyz.由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AA1C1C內(nèi)(1) 證明：設(shè)A1(a，0，c)，由題設(shè)有a2，A(2，0，0)

12、，B(0，1，0)，則(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即 a24ac20.又·a24ac20，所以AC1A1B.(2) 設(shè)平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，則m，m，即m·CB0，m·0.因?yàn)?0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0，且(a2)xcz0.令xc，則z2a，所以m(c，0，2a)，故點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為|·|cosm，|c.又依題設(shè)，A到平面BCC1B1的距離為，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)設(shè)平面ABA1 的法向量n(p，q，r)，

13、則n，n，即n·0，n·0，所以pr0，且2pq0.令p，則q2 ，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)為平面ABC的法向量，故cosn，p，所以二面角A1 ­ AB ­ C的大小為arccos.20解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i0，1，2.B表示事件：甲需使用設(shè)備C表示事件：丁需使用設(shè)備D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.(1) 因?yàn)镻(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1·

14、;B·CA2·BA2·B·C)P(A1·B·C)P(A2·B)P(A2·B·C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)0.31.(2) 由(1)知，若k2，則P(F)0.310.1，P(E)P(B·C·A2)P(B)P(C)P(A2)0.06.若k3，則P(F)0.060.1，所以k的最小值為3.21解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式36(1a)(i) 若a1，則f(x)0，且f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)a1，x1時(shí)成立故此時(shí)f(x)在R上是增函

15、數(shù)(ii) 由于a0，故當(dāng)a1時(shí)，f(x)0有兩個(gè)根；x1，x2.若0a1，則當(dāng)x(，x2)或x(x1，)時(shí)，f(x)0，故f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；當(dāng)x(x2，x1)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)若a0，則當(dāng)x(，x1)或(x2，)時(shí)，f(x)0，故f(x)分別在(，x1)，(x2，)是減函數(shù)；當(dāng)x(x1，x2)時(shí)f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)(2) 當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)3ax26x30，故當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(1)0且f(2)0，解得a0.綜上，a的取值范圍是(0，)22解：(1)設(shè)Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由題設(shè)得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程為y24x.(2) 依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y24.故線段A