浙江省杭州市2018屆中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形試題浙教版

1、2三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形國(guó)IM呼 教學(xué)準(zhǔn)備一.教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。(3)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想的能力二.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些 知識(shí)解決問(wèn)題的能力。三.知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180° ;三角形三個(gè)外角的和等于 360° ;三角形

2、一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2 三角形的主要線(xiàn)段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高；三角形三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊)；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是6

3、0。的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角；等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊的中垂線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于 60°。知識(shí)點(diǎn)4直角三角形直角三角形的識(shí)別：有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6

4、相似三角形定義相似三角形兩對(duì)應(yīng)邊的比相等，夾角相等 判定方法兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等三條對(duì)應(yīng)邊的比相等對(duì)應(yīng)邊的比相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)高的比等于相似比 周長(zhǎng)比面積比相似比平方知識(shí)點(diǎn)7銳角三角函數(shù)與解直角三角形弦片 .”sin a =門(mén)”m(9。一T余弦N銳角二角函數(shù)后困J ian Q =co<(gO- 口T特殊角三鬲百藪1r(三邊關(guān)系好直福三角形常用關(guān)系I-【兩袤瓦吳 索IT-一角關(guān)系1轉(zhuǎn)化直角三角形日古視角問(wèn)題,常用術(shù)語(yǔ)坡度方位角刖哪手 例題精講例1. (1)已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為 12,另一邊長(zhǎng)為5,求第三邊長(zhǎng)。(2)已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80。，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：

5、利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：(1)分兩種情況:若腰長(zhǎng)為12,底邊長(zhǎng)為5,則第三邊長(zhǎng)為12。若腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為12,則第三邊長(zhǎng)為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。 因此第三邊長(zhǎng)為12。(2)分兩種情況：若頂角為80。，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50。、50。若底角為80。，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是 80。、20。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50。、50?；?0。、20。說(shuō)明：此題運(yùn)用“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，/ ABCF口/ECDTB是等腰三角形，/ ACB= / DC號(hào)90° , D為AB邊

6、上的一點(diǎn)，求證：(1)AC降力BCD (2) AD2 +AE2 =DE2。/ /JXd分析：要證/AC凄/BCD已具備 AC= BG CE= CD兩個(gè)條件，還需 AE= BD或/ ACE= / BCD而/ ACE= /BCD!然能證；要證 AD2 +AE2 =D ,需條件/ DAE= 90° ,因?yàn)? BAC= 45° ,所以只需證/ CAE= / B= 45° , 由/AC降/BC。歸得證。證明：(1) / DCE= /ACB= 90 ,DC曰 / ACD= Z ACIB- / ACD即 / ACE= / BCD AC= BC CE= CD. L ACE2 /

7、BCD(2) ./ACE /BCD，/CAE= / B= 45° , / BAC= / B= 45° ,/ DAE= 90° , . AD2 + AE2 = DE2。例3.已知：點(diǎn) P是等邊/ABCft的一點(diǎn)，/ BPC= 150° , PB= 2, PC= 3,求PA的長(zhǎng)。分析：將NBA磷點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°至BCD即可證得BPM 等邊三角形， /PCM直角三角形。解：.BC= BA 將BA暇點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60。，使BA與BC重合，得力BCD連 結(jié)PD. BD= BP= 2, PA= DC，BP比等邊三角形。，/ BPD= 60&

8、#176; 。 ./DPC= Z BPO Z BPD= 150° 60 = 90 。DC= JPD2 PC2 42 32 而.PA= DC= tT?！咀兪健咳粢阎c(diǎn) P是等邊/ABCft的一點(diǎn)，PA=。石,PB= 2, PC= 3。能求出/ BPC勺度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?。?.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PAPRPC?以BP為邊作/ PBQ= 60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ(1)觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若PA PB: PC= 3: 4: 5,連結(jié)PQ試判斷 PQC勺形狀，并說(shuō)明理由.解：(1)把4ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

9、76;即可得到 CBQ利用等邊三角形的性 質(zhì)證 AB國(guó) CBQ得到 AP= CQ(2)連接PQ,則 PBQ等邊三角形.PQ= PB,AP= CQCQ PQPC= PA:PB:PC= 3: 4:5,PQB直角三角形.點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明.并運(yùn)用與它相關(guān)的性例5.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯(即BC= EF),左邊滑梯的高度 AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度 DF相等，則/ ABO Z DFE=.分析：/ABC與/ DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，？若說(shuō)明這兩個(gè).直角三角形全等則問(wèn)題便會(huì)迎刃而解.解答：在 RtABC和RtDEF中，BC= EF

10、, AC= DF, ABC DEF 1 / ABC= / DEF, ./ABO Z DFE= 90° ,因此填 90° .點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來(lái)識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等,32質(zhì)進(jìn)行解題.例6.中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：“小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)” .？一輛小汽車(chē)在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車(chē)速檢測(cè)儀 O', ?測(cè)得該車(chē)從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5秒.（1）試求該車(chē)從 A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說(shuō)明該車(chē)是否超過(guò)限速.工

11、'解析：（1）要求該車(chē)從 A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度.只需求出 AB的距離，丁， 在4OAC外,OG= 25 米. / OAC= 90° 60° =30°，.= OA= 2CO= 50 米"丁 9由勾股定理得 CA= Joa2 OC2 J502 252 =2573 （米）在 OBC中，/ BOC= 30°.BC= 1- OB（2B。2=BC2+ 252. . BC=竺 V3 （米）AB= AC BC= 25 J333 = 33 （米）從 A 到 B 的速度為33 +1.5 = 33 （米 / 秒）3339（2） J3米/秒69.3千米/時(shí)9. 6

12、9.3千米/時(shí)70千米/時(shí)該車(chē)沒(méi)有超過(guò)限速.點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用.例7.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí) 線(xiàn)上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線(xiàn)上；連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的 正方形網(wǎng)格中作出了 RtABC請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫(huà)出一個(gè)直角三角形，并 使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等.3例8.如圖所示，在 ABC中，AB= AC= 1,點(diǎn)D、E在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè) BD= x, CE= y.（1）如果/ BA

13、C= 30° , / DAE= 105° ,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果/ BAC的度數(shù)為“，/ DAE的度數(shù)為3,當(dāng)“、3滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí), （1）中y與x?之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說(shuō)明理由.解：(1)在 ABC中，AB= AC= 1 , / BAC= 30° , Z ABG= ?ZACB= 75° , Z ABD= / AC打 105 又 / DA巳 105° ,DAB+ / CA± 75° . ?又 / DA？/ADB= /ABC= 75° , / CA9 / ADB ADE EACAB BD

14、1 x1 )即一 一,. y =.EC ACy 1x(2)當(dāng)a、3滿(mǎn)足3 1、一 =90 , y=一仍成立. . EDMh FBMDE一，?BF此時(shí)/ DABF / CAE= 3 - a ,r/ DA拼 / ADB= 3 a , ./ CAE= / ADB1又./ ABD= /ACEAD/ EAC； ：.、= 一 .X點(diǎn)評(píng)：確定兩線(xiàn)段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線(xiàn)段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.例9.如圖，梯形 ABCD43, AB/ CD且AB= 2CD E, F分別是 AB, BC?勺中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn) M(1)求證： EDMT FBh/J(2)若 DB= 9,求 BM(1)證明：E是

15、AB中點(diǎn)，AB= 2BE, AB= 2CD CD= ER 又AB/ CD，四邊形CBED平行四邊形，DEM BFM.CB/ DEEDM FBM(2)解：EDMh FBM BM.F 是 BC中點(diǎn)，DE= 2FB, . . DM= 2BM，BM= 1 DB= 33例 10.已知ABC / ACB= 90a, CDL AB于 D, AD： BD= 2 ： 3 且 CD= 6。求(1) AB; (2) AC分析：設(shè)AD= 2k, BD= 3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABSAACID CBD通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比仞求出其中 k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。解：

16、設(shè) AD= 2k, BD= 3k (k >0)。Z ACB= 90a, CDLAB。，CD=AC?BD .62=2k?3k,k=屈。AB= 5V6。又; aC=AD?ARAC= 2<15 。例 11.已知ABC43, / ACB= 90a, CHL AB HEEL BC HF, AC求證：(1) AHEFAEH(C (2) HE田 HBC分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF1矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條彳有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知 EF= CH HF= EC要證明三角形相似，從條件中得/FH&/ CH990o,由全等三角形可知，/ HE展/ HCB這樣就可

17、以證明兩個(gè)三角形相似。證明：. HEL BC HF!ACCEH=/CFH= 90o。又ACB= 90o, 四邊形 CEHF是矩形。.EF= CH HF= EC, Z FHE= 90o。又 HE= EH .HFEQEHC，/HEF= / HCB. / FHE= / CHB= 90o,.HE田 HBC說(shuō)明：在這一題的分析過(guò)程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋 找解決,問(wèn)題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12.兩個(gè)全等的含 30o, 60o角的三角板 ADE ABCffl圖所示放置，E, A C，TB三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連

18、接 BD取BD的中點(diǎn)M連結(jié)ME MC試判斷 EMC!什么M9、樣的三角形，并說(shuō)明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀， 可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題：嘗試去證明EM= MC要證線(xiàn)段相等可以尋找全等三角形來(lái)解決，然而MD= MB圖中沒(méi)有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問(wèn)題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角 形？根據(jù)已知點(diǎn) M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得: =MA連結(jié) M A后，可以證明 MDEA MAC答： EMC1等腰直角三角形。證明：連接AM由題意得，DE= AC AD= AB, / DA

19、Eb / BAC= 90o。. . / DAB= 90o。 . DA斯等腰直角三角形。又. MD= MB MA= MD= MB AML DB / MAD= Z M AB= 45o。 ./ MDE= / MAG 105o, / DMA 90o。MDB MAC ./ DME= / AMC ME= MC又/ DME- / EMA= 90o, ./ AMC- / EMA= 90o。 .MCL EM . EMC1等腰直角三角形。說(shuō)明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知 識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線(xiàn)的途徑。構(gòu)造過(guò)程中要不斷地轉(zhuǎn)化問(wèn)題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)

20、化，善于轉(zhuǎn)化,更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問(wèn)題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。目課后練習(xí)1 .如圖， ABC中，D E分別是 AC AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O, ?給出下列三個(gè)條件：/ EBO= / DCO / BEO= / CDO BE= CD3.一塊直角三角形木板的一條直角邊方形，請(qǐng)兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖(1),乙設(shè)計(jì)的方案如圖(2)。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案(1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫(xiě)出所有情形)；(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明 ABC是等腰三角形.2 . (1)已知如圖，在 AOBF口 ACOD, OA= OB OG

21、= OD Z AOB= / COD= 60o。求證： AO BD / APB= 60o。(2)如圖，在 AOB。珅，OA= OB OG= OD Z AOB= / CO& a ,則 AC與BD間的等量關(guān)系式為; / APB勺大小為。(3)如圖，在 AO麗4CO珅，OA= kOB OC= kOD(k>1), Z AOB= / CO& a ,則 AC! BD間的等量 關(guān)系式為 ; / APB的大小為。AB長(zhǎng)為1.5m,面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正較好？試說(shuō)明理由。(加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù))4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為:3

22、.5cm x 3.5cm ,放映的熒屏的規(guī)格為2mx 2m,若放映機(jī)的光源距膠片 20cm時(shí)，問(wèn)熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿(mǎn)整個(gè)熒屏?5 .如圖，已知/ MON90。，等邊三角形 ABC勺一個(gè)頂點(diǎn)A是射線(xiàn)OM：的一定點(diǎn)，頂點(diǎn) B與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在/ MON部。(1)當(dāng)頂點(diǎn)B在射線(xiàn)ON上移動(dòng)到B時(shí)，連結(jié)AB為一邊的等邊三角形ABG (保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)；(2)設(shè)AB與O©于點(diǎn)Q AC的延長(zhǎng)線(xiàn)與B1C交于點(diǎn)D)求證：AC AD AB1 AQ ;(3)連結(jié)CC,試猜想/ ACC為多少度？并證明你的猜想。6 .如圖所示，設(shè) A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在 A?M正西

23、方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心 500km?的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么?(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么 A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間?7 .(1)如圖，在RtABC中，/C= 90° ,AD是/ BAC的角平分線(xiàn)，/CAB= 60° ,?CA J3,BD-2 J3 ,求AC, AB的長(zhǎng).(2) “實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC ?有人已經(jīng)測(cè)出/ A= 30° , AC= 40米，BC= 25米，你能求出這塊花園的面積嗎?(3)某片綠地形狀如圖

24、所示,其中 AB± BC, CDL AD Z A= 60° , AB= 200m, CD= 100m, ?求 AD BC的長(zhǎng).8.高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù) AR如圖所示.(1)某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù) AB,教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC= 2.5米，DF= 7.5米，求大樹(shù) AB的高度；(2)現(xiàn)有皮尺和高為 h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求：在圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的圖形(長(zhǎng)度用字母m, n表示，角度用希臘字母a , 3表示)根據(jù)你所畫(huà)出的，示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹(shù)的高度并用字母表示.9.如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?，？該?/p>

25、民樓的一樓是高 6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面 15?米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線(xiàn)的夾角為32。時(shí).(1)問(wèn)超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？53(2)若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？(？結(jié)果保留整數(shù)，？參考數(shù)據(jù)：sin320=£3100cos32 ° tan 32°陽(yáng) f )1258目!孫&練習(xí)答案1 .解：(1)或(2)已知求證 ABC是等腰三角形.證：先證4 EB® DCO 彳導(dǎo) OB= OC 得 / DBC= / ECB丁./ ABC= / ACB即 ABC是等腰三角形2 .證明：. AOBF口ACO四正三角形，OA= OB O氏 OC /AOB= 60o, / COD 60o。. / AOB- / BOC= / COD- / BOC . . / AOC= / BOD. .AO仁 BOD, . AC= BD . Z OAC= / OBD ./ APB= / AOB= 60oo(2) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC= BD / APB勺大小為“。(3) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC= kBD; / AP