浙江省杭州市2018屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形試題浙教版

1、2三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形國IM呼 教學(xué)準(zhǔn)備一.教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關(guān)綜合題。(3)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二.教學(xué)重點、難點：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應(yīng)用這些 知識解決問題的能力。三.知識要點：知識點1三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個內(nèi)角的和等于 180° ;三角形三個外角的和等于 360° ;三角形

2、一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3等腰三角形等腰三角形的識別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是6

3、0。的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于 60°。知識點4直角三角形直角三角形的識別：有一個角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點6

4、相似三角形定義相似三角形兩對應(yīng)邊的比相等，夾角相等 判定方法兩個對應(yīng)角相等三條對應(yīng)邊的比相等對應(yīng)邊的比相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于相似比 周長比面積比相似比平方知識點7銳角三角函數(shù)與解直角三角形弦片 .”sin a =門”m(9。一T余弦N銳角二角函數(shù)后困J ian Q =co<(gO- 口T特殊角三鬲百藪1r(三邊關(guān)系好直福三角形常用關(guān)系I-【兩袤瓦吳 索IT-一角關(guān)系1轉(zhuǎn)化直角三角形日古視角問題,常用術(shù)語坡度方位角刖哪手 例題精講例1. (1)已知：等腰三角形的一邊長為 12,另一邊長為5,求第三邊長。(2)已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80。，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：

5、利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：(1)分兩種情況:若腰長為12,底邊長為5,則第三邊長為12。若腰長為5,底邊長為12,則第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。 因此第三邊長為12。(2)分兩種情況：若頂角為80。，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50。、50。若底角為80。，則另兩個內(nèi)角分別是 80。、20。因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50。、50?；?0。、20。說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，/ ABCF口/ECDTB是等腰三角形，/ ACB= / DC號90° , D為AB邊

6、上的一點，求證：(1)AC降力BCD (2) AD2 +AE2 =DE2。/ /JXd分析：要證/AC凄/BCD已具備 AC= BG CE= CD兩個條件，還需 AE= BD或/ ACE= / BCD而/ ACE= /BCD!然能證；要證 AD2 +AE2 =D ,需條件/ DAE= 90° ,因為/ BAC= 45° ,所以只需證/ CAE= / B= 45° , 由/AC降/BC。歸得證。證明：(1) / DCE= /ACB= 90 ,DC曰 / ACD= Z ACIB- / ACD即 / ACE= / BCD AC= BC CE= CD. L ACE2 /

7、BCD(2) ./ACE /BCD，/CAE= / B= 45° , / BAC= / B= 45° ,/ DAE= 90° , . AD2 + AE2 = DE2。例3.已知：點 P是等邊/ABCft的一點，/ BPC= 150° , PB= 2, PC= 3,求PA的長。分析：將NBA磷點B順時針方向旋轉(zhuǎn) 60°至BCD即可證得BPM 等邊三角形， /PCM直角三角形。解：.BC= BA 將BA暇點B順時針方向旋轉(zhuǎn) 60。，使BA與BC重合，得力BCD連 結(jié)PD. BD= BP= 2, PA= DC，BP比等邊三角形。，/ BPD= 60&

8、#176; 。 ./DPC= Z BPO Z BPD= 150° 60 = 90 。DC= JPD2 PC2 42 32 而.PA= DC= tT?！咀兪健咳粢阎c P是等邊/ABCft的一點，PA=。石,PB= 2, PC= 3。能求出/ BPC勺度數(shù)嗎？請試一試。例4.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PAPRPC?以BP為邊作/ PBQ= 60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ(1)觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若PA PB: PC= 3: 4: 5,連結(jié)PQ試判斷 PQC勺形狀，并說明理由.解：(1)把4ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60

9、76;即可得到 CBQ利用等邊三角形的性 質(zhì)證 AB國 CBQ得到 AP= CQ(2)連接PQ,則 PBQ等邊三角形.PQ= PB,AP= CQCQ PQPC= PA:PB:PC= 3: 4:5,PQB直角三角形.點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明.并運用與它相關(guān)的性例5.如圖，有兩個長度相同的滑梯(即BC= EF),左邊滑梯的高度 AC與右邊滑梯水平方向的長度 DF相等，則/ ABO Z DFE=.分析：/ABC與/ DFE分布在兩個直角三角形中，？若說明這兩個.直角三角形全等則問題便會迎刃而解.解答：在 RtABC和RtDEF中，BC= EF

10、, AC= DF, ABC DEF 1 / ABC= / DEF, ./ABO Z DFE= 90° ,因此填 90° .點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等,32質(zhì)進行解題.例6.中華人民共和國道路交通管理條例規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時” .？一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀 O', ?測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1.5秒.（1）試求該車從 A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速.工

11、'解析：（1）要求該車從 A點到B點的速度.只需求出 AB的距離，丁， 在4OAC外,OG= 25 米. / OAC= 90° 60° =30°，.= OA= 2CO= 50 米"丁 9由勾股定理得 CA= Joa2 OC2 J502 252 =2573 （米）在 OBC中，/ BOC= 30°.BC= 1- OB（2B。2=BC2+ 252. . BC=竺 V3 （米）AB= AC BC= 25 J333 = 33 （米）從 A 到 B 的速度為33 +1.5 = 33 （米 / 秒）3339（2） J3米/秒69.3千米/時9. 6

12、9.3千米/時70千米/時該車沒有超過限速.點評：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用.例7.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實 線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的 正方形網(wǎng)格中作出了 RtABC請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并 使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等.3例8.如圖所示，在 ABC中，AB= AC= 1,點D、E在直線BC上運動，設(shè) BD= x, CE= y.（1）如果/ BA

13、C= 30° , / DAE= 105° ,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果/ BAC的度數(shù)為“，/ DAE的度數(shù)為3,當(dāng)“、3滿足怎樣的關(guān)系式時, （1）中y與x?之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由.解：(1)在 ABC中，AB= AC= 1 , / BAC= 30° , Z ABG= ?ZACB= 75° , Z ABD= / AC打 105 又 / DA巳 105° ,DAB+ / CA± 75° . ?又 / DA？/ADB= /ABC= 75° , / CA9 / ADB ADE EACAB BD

14、1 x1 )即一 一,. y =.EC ACy 1x(2)當(dāng)a、3滿足3 1、一 =90 , y=一仍成立. . EDMh FBMDE一，?BF此時/ DABF / CAE= 3 - a ,r/ DA拼 / ADB= 3 a , ./ CAE= / ADB1又./ ABD= /ACEAD/ EAC； ：.、= 一 .X點評：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.例9.如圖，梯形 ABCD43, AB/ CD且AB= 2CD E, F分別是 AB, BC?勺中點，EF與BD相交于點 M(1)求證： EDMT FBh/J(2)若 DB= 9,求 BM(1)證明：E是

15、AB中點，AB= 2BE, AB= 2CD CD= ER 又AB/ CD，四邊形CBED平行四邊形，DEM BFM.CB/ DEEDM FBM(2)解：EDMh FBM BM.F 是 BC中點，DE= 2FB, . . DM= 2BM，BM= 1 DB= 33例 10.已知ABC / ACB= 90a, CDL AB于 D, AD： BD= 2 ： 3 且 CD= 6。求(1) AB; (2) AC分析：設(shè)AD= 2k, BD= 3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABSAACID CBD通過相似三角形對應(yīng)邊成比仞求出其中 k的大小；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小。解：

16、設(shè) AD= 2k, BD= 3k (k >0)。Z ACB= 90a, CDLAB。，CD=AC?BD .62=2k?3k,k=屈。AB= 5V6。又; aC=AD?ARAC= 2<15 。例 11.已知ABC43, / ACB= 90a, CHL AB HEEL BC HF, AC求證：(1) AHEFAEH(C (2) HE田 HBC分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF1矩形，要證明三角形全等要收集到三個條彳有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知 EF= CH HF= EC要證明三角形相似，從條件中得/FH&/ CH990o,由全等三角形可知，/ HE展/ HCB這樣就可

17、以證明兩個三角形相似。證明：. HEL BC HF!ACCEH=/CFH= 90o。又ACB= 90o, 四邊形 CEHF是矩形。.EF= CH HF= EC, Z FHE= 90o。又 HE= EH .HFEQEHC，/HEF= / HCB. / FHE= / CHB= 90o,.HE田 HBC說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋 找解決,問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12.兩個全等的含 30o, 60o角的三角板 ADE ABCffl圖所示放置，E, A C，TB三點在一條直線上，連

18、接 BD取BD的中點M連結(jié)ME MC試判斷 EMC!什么M9、樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個三角形的形狀， 可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明EM= MC要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而MD= MB圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角 形？根據(jù)已知點 M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得: =MA連結(jié) M A后，可以證明 MDEA MAC答： EMC1等腰直角三角形。證明：連接AM由題意得，DE= AC AD= AB, / DA

19、Eb / BAC= 90o。. . / DAB= 90o。 . DA斯等腰直角三角形。又. MD= MB MA= MD= MB AML DB / MAD= Z M AB= 45o。 ./ MDE= / MAG 105o, / DMA 90o。MDB MAC ./ DME= / AMC ME= MC又/ DME- / EMA= 90o, ./ AMC- / EMA= 90o。 .MCL EM . EMC1等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知 識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)

20、化，善于轉(zhuǎn)化,更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點。目課后練習(xí)1 .如圖， ABC中，D E分別是 AC AB上的點，BD與CE交于點O, ?給出下列三個條件：/ EBO= / DCO / BEO= / CDO BE= CD3.一塊直角三角形木板的一條直角邊方形，請兩位同學(xué)設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖(1),乙設(shè)計的方案如圖(2)。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計的方案(1)上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)；(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明 ABC是等腰三角形.2 . (1)已知如圖，在 AOBF口 ACOD, OA= OB OG

21、= OD Z AOB= / COD= 60o。求證： AO BD / APB= 60o。(2)如圖，在 AOB。珅，OA= OB OG= OD Z AOB= / CO& a ,則 AC與BD間的等量關(guān)系式為; / APB勺大小為。(3)如圖，在 AO麗4CO珅，OA= kOB OC= kOD(k>1), Z AOB= / CO& a ,則 AC! BD間的等量 關(guān)系式為 ; / APB的大小為。AB長為1.5m,面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個面積最大的正較好？試說明理由。(加工損耗忽略，計算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù))4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為:3

22、.5cm x 3.5cm ,放映的熒屏的規(guī)格為2mx 2m,若放映機的光源距膠片 20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏?5 .如圖，已知/ MON90。，等邊三角形 ABC勺一個頂點A是射線OM：的一定點，頂點 B與點O重合，頂點C在/ MON部。(1)當(dāng)頂點B在射線ON上移動到B時，連結(jié)AB為一邊的等邊三角形ABG (保留作圖痕跡，不寫作法和證明)；(2)設(shè)AB與O©于點Q AC的延長線與B1C交于點D)求證：AC AD AB1 AQ ;(3)連結(jié)CC,試猜想/ ACC為多少度？并證明你的猜想。6 .如圖所示，設(shè) A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在 A?M正西

23、方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心 500km?的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.(1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么?(2)若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么 A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時間?7 .(1)如圖，在RtABC中，/C= 90° ,AD是/ BAC的角平分線，/CAB= 60° ,?CA J3,BD-2 J3 ,求AC, AB的長.(2) “實驗中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC ?有人已經(jīng)測出/ A= 30° , AC= 40米，BC= 25米，你能求出這塊花園的面積嗎?(3)某片綠地形狀如圖

24、所示,其中 AB± BC, CDL AD Z A= 60° , AB= 200m, CD= 100m, ?求 AD BC的長.8.高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹 AR如圖所示.(1)某一時刻測得大樹 AB,教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC= 2.5米，DF= 7.5米，求大樹 AB的高度；(2)現(xiàn)有皮尺和高為 h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求：在圖中，畫出你設(shè)計的圖形(長度用字母m, n表示，角度用希臘字母a , 3表示)根據(jù)你所畫出的，示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示.9.如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，？該居

25、民樓的一樓是高 6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面 15?米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32。時.(1)問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？53(2)若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？(？結(jié)果保留整數(shù)，？參考數(shù)據(jù)：sin320=£3100cos32 ° tan 32°陽 f )1258目!孫&練習(xí)答案1 .解：(1)或(2)已知求證 ABC是等腰三角形.證：先證4 EB® DCO 彳導(dǎo) OB= OC 得 / DBC= / ECB丁./ ABC= / ACB即 ABC是等腰三角形2 .證明：. AOBF口ACO四正三角形，OA= OB O氏 OC /AOB= 60o, / COD 60o。. / AOB- / BOC= / COD- / BOC . . / AOC= / BOD. .AO仁 BOD, . AC= BD . Z OAC= / OBD ./ APB= / AOB= 60oo(2) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC= BD / APB勺大小為“。(3) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC= kBD; / AP