點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系—知識(shí)講解基礎(chǔ)

1、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練 掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題； 3.了解兩個(gè)圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個(gè)圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位置關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類(lèi)點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d

2、，則有2三角形的外接圓 經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.要點(diǎn)二、直線和圓的位置關(guān)系1直線和圓的三種位置關(guān)系：(1) 相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交這時(shí)直線叫做圓的割線(2) 相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(3) 相離：直線和圓沒(méi)有公共

3、點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離2直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過(guò)一些條件來(lái)進(jìn)行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么要點(diǎn)詮釋?zhuān)?這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定要點(diǎn)三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理1切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直

4、線是圓的切線.要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.2切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.3切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱(chēng).切線是直線，而非線段.4切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.5三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.6三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分

5、線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平

6、分BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點(diǎn)四、圓和圓的位置關(guān)系1圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交.兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.2兩圓的位置與兩圓的半徑

7、、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：設(shè)O1的半徑為r1，O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：兩圓外離 dr1+r2兩圓外切 d=r1+r2兩圓相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)兩圓內(nèi)切 d=r1-r2 (r1r2)兩圓內(nèi)含 dr1-r2 (r1r2)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以?xún)蓤A的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 分類(lèi)，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱(chēng)為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.【典型例題】類(lèi)型一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.已知圓的半徑等于

8、5 cm，根據(jù)下列點(diǎn)P到圓心的距離：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案與解析】（1）當(dāng)d=4 cm時(shí)，dr，點(diǎn)P在圓內(nèi)；（2）當(dāng)d=5 cm時(shí)，d=r，點(diǎn)P在圓上；（3）當(dāng)d=6 cm時(shí)，dr，點(diǎn)P在圓外.【總結(jié)升華】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，由點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小比較.舉一反三：【變式】點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，3 為半徑的O內(nèi)，則點(diǎn)A到圓心O的距離d的范圍是_.【答案】0d3.類(lèi)型二、直線與圓的位置關(guān)系2在RtABC中，C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？ (1)r=2厘

9、米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案與解析】過(guò)C點(diǎn)作CDAB于D， 在RtABC中，C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，    ，AB·CD=AC·BC，(cm)，（1）當(dāng)r =2cm時(shí)  CDr，圓C與AB相離；（2）當(dāng)r= 2.4cm時(shí)，CD=r，圓C與AB相切；(3）當(dāng)r=3cm時(shí)，CDr，圓C與AB相交【總結(jié)升華】欲判定C與直線AB的關(guān)系，只需先求出圓心C到直線AB的距離CD的長(zhǎng)，然后再與r比較即可舉一反三：【變式】如圖，P點(diǎn)是AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PEOA于E，以P為圓心，PE為半徑作

10、P .求證：P與OB相切?！敬鸢浮孔鱌FOB于F，則可證明OEPOFP，所以PF=PE，即F在圓P上，故P與OB相切。3如圖所示，在RtABC中，B90°，A的平分線交BC于D，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作D求證：AC是D的切線 【答案與解析】過(guò)D作DFAC于F B90°， DBAB又AD平分BAC， DFBD半徑 AC與D相切【總結(jié)升華】如果已知條件中不知道直線與圓有公共點(diǎn)，其證法是過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑的長(zhǎng)即可可簡(jiǎn)記為：作垂直，證半徑類(lèi)型三、圓與圓的位置關(guān)系4(1)已知兩圓的半徑分別為3cm，5cm，且其圓心距為7cm，則這兩圓的位置關(guān)系是( )

11、A外切 B內(nèi)切 C相交 D相離 (2)已知O1與O2相切，O1的半徑為3cm，O2的半徑為2cm，則O1O2的長(zhǎng)是( )A1cm B5cm C1cm或5cm D0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ； （2）C.【解析】(1)由于圓心距d7cm，R+r5+38(cm)，R-r5-32(cm) R-rdR+r，故這兩圓的位置關(guān)系是相交(2)兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當(dāng)O1與O2外切時(shí)，dO1O2R+r3+25(cm)；當(dāng)O1與O2內(nèi)切時(shí)，dO1O2R-r3-21(cm)【總結(jié)升華】由數(shù)量確定位置或由位置確定數(shù)量的依據(jù)是：兩圓外離dR+r；兩圓外切dR+r；兩圓相交R-rdR+r；兩圓內(nèi)切dR-r

12、；兩圓內(nèi)含dR-r點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.已知：如圖，PA，PB分別與O相切于A，B點(diǎn)，C為O上一點(diǎn)，ACB=65°，則APB等于( )A65°B50°C45° D40°2如圖，AB是O的直徑，直線EC切O于B點(diǎn)，若DBC=，則( )AA= a BA=90°a CABD= a D 第1題圖 第2題圖3設(shè)O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離為d，若直線l與O至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則d應(yīng)滿(mǎn)足的條件是( )A.d=3 B. d3 C. d3 D.d34在RtABC中，C=90°，AB=10，AC

13、=6，以C為圓心作C和AB相切，則C的半徑長(zhǎng)為( )A.8 B.4 C.9.6 D.4.85已知O1和O2的半徑分別為1和5，圓心距為3，則兩圓的位置關(guān)系是( )A.相交 B. 內(nèi)切 C. 外切 D.內(nèi)含6已知：A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，無(wú)任何四點(diǎn)共圓，那么過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出( )A5個(gè)圓B8個(gè)圓C10個(gè)圓D12個(gè)圓二、填空題7銳角三角形的外心在三角形的_部，鈍角三角形的外心在三角形的_部，直角三角形的外心在_8若ABC中，C=90°，AC=10cm，BC=24cm，則它的外接圓的直徑為_(kāi)9若ABC內(nèi)接于O，BC=12cm，O點(diǎn)到BC的距離為8cm，則O的周

14、長(zhǎng)為_(kāi)10如圖所示，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦是小圓的切線，C為切點(diǎn)，若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)cm11.如圖所示，已知直線AB是O的切線，A為切點(diǎn)，OB交O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在O上，且OBA40°，則ADC_ 第10題圖 第11題圖 第12題圖12如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1 m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點(diǎn)到地面的距離是_.三、解答題13. 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是O上一點(diǎn)，且AED45°，試判斷CD與O的關(guān)系，并說(shuō)明理由14 AB是O的直徑，BC切O于B，AC交O于D點(diǎn)，過(guò)D

15、作O的切線DE交BC于E.求證：CE=BE. 15如圖所示，AB是O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，C為半圓的中點(diǎn)，PD切O于點(diǎn)D，連CD交AB于點(diǎn)E，求證：PDPE 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B；【解析】連結(jié)OA、OB，則AOB=130°，PAO=PBO=90°，所以P=50°. 2.【答案】A；【解析】AB是O的直徑，ADB=90°，A+ABD=90°， 又 直線EC切O于B點(diǎn)，+ABD=90°，A=，故選A.3.【答案】C；【解析】直線l可能和圓相交或相切. 4.【答案】D；【解析】作CDAB于D，則CD為C的半徑，

16、BC=8，由面積相等，得AB·CD=AC·BC.CD=4.8.5.【答案】D；【解析】?jī)?nèi)切、外切分別對(duì)應(yīng)d=Rr，d=Rr，它們起著分界作用.在O1和O2相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)依次產(chǎn)生外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系，圓心距逐漸變小，而相內(nèi)切和外切起著分界作用，所以先計(jì)算dr和dr，因?yàn)閳A心距d=3Rr，所以“內(nèi)含”.6.【答案】C.【解析】過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出10個(gè)，即分別過(guò)點(diǎn)ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圓. 二、填空題7【答案】?jī)?nèi)，外，它的斜邊中點(diǎn)處8【答案】26cm 9【答案】20cm 10【答案】8.【解析】因

17、為AB切小O于C，連OA、OC，如圖，由切線的性質(zhì)知OCAB，又由垂徑定理得ACBC，在RtAOC中，AO5，OC3 AB2AC8(cm)11【答案】25°.【解析】OAAB，OBA40°， BOA50°， ADCBOA25°.12【答案】(1+) m.【解析】由于三個(gè)圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個(gè)圓心為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為1 m的等邊三角形，最高點(diǎn)到地面距離是等邊三角形的高加上一個(gè)直徑.等邊三角形的高是，故最高點(diǎn)到地面的距離是(1) m. 三、解答題13.【答案與解析】CD與O相切理由：如圖，連OD則AOD2AED2×45°90° 四邊形ABCD是平行四邊形， ABDC CDOAOD90°， ODCD， CD與O相切14.【答案與解析】證法1:連結(jié)DB. AB是直徑, ADB=90°. BDC=90°. BC、DE是切線， BE=ED. EBD=EDB. EBD+C=90°，且EDB+EDC=90