中科院數(shù)學(xué)分析考研大綱

1、僅供個(gè)人參考中科院研究生院碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析考試大綱本數(shù)學(xué)分析考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院研究生院數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。數(shù)學(xué)分析是一門具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)和積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)等部分組成。要求考生能準(zhǔn)確理解基本概念，熟練掌握各種運(yùn)算和基本的計(jì)算、論證技巧，具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。一、考試基本要求要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。二、考試方法和考試時(shí)間數(shù)學(xué)分析考試

2、采用閉卷筆t形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。三、考試內(nèi)容和考試要求(一)考試內(nèi)容1.分析基礎(chǔ)(1)實(shí)數(shù)概念、確界(2)函數(shù)概念(3)序列極限與函數(shù)極限(4)無(wú)窮大與無(wú)窮小(5)上極限與下極限(6)連續(xù)概念及基本性質(zhì)，一致連續(xù)性(7)收斂原理2.一元微分學(xué)(1)導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義(2)求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則(3)高階導(dǎo)數(shù)(4)微分(5)微分中值定理(6) LHospit裱則(7) Taylor公式(8) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)3. 一元積分學(xué)(1) 不定積分法與可積函數(shù)類(2) 定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算(3) 定積分的應(yīng)用(4) 廣義積分4. 級(jí)數(shù)(1) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散判別與性質(zhì)(2) 函數(shù)

3、項(xiàng)級(jí)數(shù)與一致收斂性(3) 冪級(jí)數(shù)(4) Fourier級(jí)數(shù)5. 多元微分學(xué)(1) 歐氏空間(2) 多元函數(shù)的極限(3) 多元連續(xù)函數(shù)(4) 偏導(dǎo)數(shù)與微分(5) 隱函數(shù)定理(6) Taylor公式(7) 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用(8) 多元函數(shù)的極值6.多元積分學(xué)(1)重積分的概念與性質(zhì)(2)重積分的計(jì)算(3)二重、三重廣義積分(4)含參變量的正常積分和廣義積分(6)曲面積分(7)Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無(wú)關(guān)(8)場(chǎng)論初步(二)考試要求1 .分析基礎(chǔ)(1) 了解實(shí)數(shù)公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對(duì)值不等式及平均值不等式。(2)熟練掌握函數(shù)概念(如定義域、值域、反函數(shù)等)

4、。(3)掌握序列極限的意義、性質(zhì)(特別，單調(diào)序列的極限存在性定理)和運(yùn)算法則，熟練掌握求序列極限的方法。(4)掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則(自變量趨于有限數(shù)和趨于無(wú)限兩種情形)，熟練掌握求函數(shù)極限的方法，了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。(5)熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法(如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等)，掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應(yīng)用Stolz公式求序列極限的方法。(6)理解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的意義，了解同階和高(低)階無(wú)窮大(小)量的意義。(7) 了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。(8)熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義，

5、掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。(9)掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限(當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及趨于無(wú)窮兩種情形)存在的充分必要條件。2 .一元微分學(xué)(1)掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義，解依據(jù)定義求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。(2)解應(yīng)用求導(dǎo)公式和法則熟練計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)(包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)卜隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。(3)理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能利用微分作近似計(jì)算。不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考(4)理解并掌握微分中值定理(Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理)

6、，并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在性及不等式證明等問(wèn)題。(5)熟練掌握應(yīng)用LHospita法則求函數(shù)極限的方法。(6)理解Taylor公式(Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng))的意義，并熟記五個(gè)基本公式(在x=0點(diǎn)的帶有Peano余項(xiàng)的Taylor公式)，能將給定函數(shù)在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問(wèn)題的基本技巧。(7)熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫(huà)出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。3 .一元積分學(xué)(1)理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，解應(yīng)用他們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定

7、積分。(2) 了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的根式的有理式的積分方法。(3)理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計(jì)算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。(4)熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線弧長(zhǎng)、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積，并解應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡(jiǎn)單物理、力學(xué)問(wèn)題。(5)理解廣義積分及其收斂、絕對(duì)收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。4 .級(jí)數(shù)(1)掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對(duì)收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件(Cauchy準(zhǔn)則)，收斂和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及級(jí)

8、數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。(2)熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法(比較判別法、DAlembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法)，掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。(3)理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列一致收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法則(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法)及一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。(4)理解哥級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握哥級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟記五個(gè)基本哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式()。能求出給定函數(shù)在指定點(diǎn)的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式及應(yīng)

9、用哥級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。(5)理解函數(shù)Fourier展開(kāi)式的意義，掌握求Fourier展開(kāi)式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Parseval等式，并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和(例如)。5 .多元微分學(xué)(1)理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開(kāi)集與閉集、開(kāi)區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。(2)理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計(jì)算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。(3)理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連

10、續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。(4)理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計(jì)算法則，能熟練計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能計(jì)算函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。(5)理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。(6)理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。(7)理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。(8)能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。(9)理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實(shí)際問(wèn)題。6 .多元積分學(xué)(1)理解重積分的概念

11、、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。(2)掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法(特別，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換)，能熟練計(jì)算二重和三重積分，并用于計(jì)算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重(n3)積分的計(jì)算方法(化為累次積分及變量代換)。(3) 了解二重、三重廣義積分的意義(無(wú)界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形)，掌握它們的基本判斂法和基本計(jì)算方法。(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)(連續(xù)性，積分號(hào)下取極PM、求導(dǎo)和求積分)，了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)(連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)及求積分)，掌握其一致

12、收斂判別法，了解不得用于商業(yè)用途和函數(shù)。(5)理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲線積分。(6)理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。(7)理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲面積分。(8)理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算。了解空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件及其對(duì)曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。(9)了解場(chǎng)的概念和保守場(chǎng)的意義，能計(jì)算場(chǎng)的梯度、散度和旋度。四、參考書(shū)目現(xiàn)行(公開(kāi)發(fā)行)綜合性大學(xué)(師范大學(xué))數(shù)學(xué)系用數(shù)學(xué)分析教程。編制單位：中國(guó)科學(xué)院研究生院僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerzie