1993考研數(shù)一真題及解析

1、1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為_.(2) 由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為_.(3) 設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為,則其中系數(shù)的值為_.(4) 設(shè)數(shù)量場則_.(5) 設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為,則線性方程組的通解為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設(shè),則當(dāng)時,是的 ( ) (A) 等價無窮小 (B) 同階但非等價無窮小 (C)

2、 高階無窮小 (D) 低階無窮小(2) 雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)有直線與,則與的夾角為 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 已知,為三階非零矩陣,且滿足,則 (A) 時,的秩必為1 (B) 時,的秩必為2 (C) 時,的秩必為1 (D) 時,的秩必為2三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分.)(1) 求 .(2) 求 .(3) 求微分方程,滿足初始條件的特解.四、(本題滿分6分)計算,其中是由曲面與所圍立體的表面

3、外側(cè).五、(本題滿分7分)求級數(shù)的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1) 設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明在 內(nèi)有且僅有一個零點.(2) 設(shè),證明.七、(本題滿分8分)已知二次型,通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形,求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.八、(本題滿分6分)設(shè)是矩陣,是矩陣,其中,是階單位矩陣,若,證明的列向量組線性無關(guān).九、(本題滿分6分)設(shè)物體從點出發(fā),以速度大小為常數(shù)沿軸正向運動.物體從點與同時出發(fā),其速度大小為,方向始終指向,試建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分,把答案填在題中橫線上.)(1) 一批產(chǎn)品共有10個正

4、品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_.(2) 設(shè)隨機變量服從上的均勻分布,則隨機變量在內(nèi)的概率分布密度_.十一、(本題滿分6分)設(shè)隨機變量的概率分布密度為,.(1) 求的數(shù)學(xué)期望和方差.(2) 求與的協(xié)方差,并問與是否不相關(guān)？(3) 問與是否相互獨立？為什么？1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】由連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系判別函數(shù)的單調(diào)性.將函數(shù)兩邊對求導(dǎo),得 .若函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少,則,即.所以函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為.【相關(guān)知識點】函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)

5、,在內(nèi)可導(dǎo).(1) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)增加；(2) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)減少.(2)【答案】【解析】先寫出旋轉(zhuǎn)面的方程：.令 .則在點的法向量為,所以在點處的法向量為 .因指向外側(cè),故應(yīng)取正號,單位法向量為.(3)【答案】【解析】按傅式系數(shù)的積分表達(dá)式 ,所以 .因為為奇函數(shù),所以；為偶函數(shù),所以 .(4)【答案】【解析】先計算的梯度,再計算該梯度的散度.因為 ,所以 .數(shù)量場分別對求偏導(dǎo)數(shù),得,由對稱性知 , ,將分別對求偏導(dǎo),得, ,因此, .(5)【答案】【解析】因為,由知,齊次方程組的基礎(chǔ)解系為一個向量,故的通解形式為.下面根據(jù)已知條件“的各行元素之和均為零”來分析推導(dǎo)的

6、一個非零解,它就是的基礎(chǔ)解系.各行元素的和均為0,即,而齊次方程組為.兩者比較,可知是的解.所以應(yīng)填.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B)【解析】為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導(dǎo)數(shù)都存在,運用洛必達(dá)法則,有 .因為當(dāng),所以,所以,所以與是同階但非等價的無窮小量.應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點】無窮小的比較：設(shè)在同一個極限過程中,為無窮小且存在極限 ,(1) 若稱在該極限過程中為同階無窮??；(2) 若稱在該極限過程中為等價無窮小,記為；(3) 若稱在該極限過程中是的高階無窮小,記為.若不存在(不為),稱不可比較.(2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出雙紐

7、線關(guān)于軸、軸對稱,(如草圖)只需計算所圍圖形在第一象限部分的面積；雙紐線的直角坐標(biāo)方程復(fù)雜,而極坐標(biāo)方程較為簡單：.顯然,在第一象限部分的變化范圍是.再由對稱性得,應(yīng)選(A).(3)【答案】(C)【解析】這實質(zhì)上是求兩個向量的夾角問題,與的方向向量分別是,與的夾角的余弦為 ,所以,應(yīng)選(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的單連通區(qū)域上,該曲線積分與路徑無關(guān) ,即 ,化簡得 , 即 ,解之得 , 所以 .由得,因此 ,故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點】曲線積分在單連通區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是.(5)【答案】(C)【解析】若是矩陣,是矩陣,則.當(dāng)時,矩陣的三行元素對應(yīng)成比例,有,知,所以

8、,可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不準(zhǔn)確；當(dāng)時,矩陣的第一行和第三行元素對應(yīng)成比例,于是從得,又因,有 ,從而必成立,所以應(yīng)當(dāng)選(C).三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分.)(1)【解析】令,則當(dāng)時,這是型未定式,而是兩個重要極限之一,即.所以 .而 ,故 .(2)【解析】方法一：.令,則 ,所以 ,所以 .方法二：令,則 ,所以 .關(guān)于的求解同方法一,所以 .(3)【解析】解法一：所給方程為伯努利方程,兩邊除以得,即.令,則方程化為,即,即 ,積分得 .由得,即 ,代入初始條件,得 ,所以所求方程的特解是.解法二：所給方程可寫成 的形式,此方程為齊次方程.令,則,所以方程

9、可化為,分離變量得 ,積分得 , 即.以代入上式,得.代入初始條件,得,故特解為.四、(本題滿分6分)【解析】將表成,則.又是封閉曲面,可直接用高斯公式計算.記圍成區(qū)域,見草圖,取外側(cè),由高斯公式得.用球坐標(biāo)變換求這個三重積分.在球坐標(biāo)變換下,為：,于是.五、(本題滿分7分)【解析】先將級數(shù)分解,.第二個級數(shù)是幾何級數(shù),它的和已知.求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和.考察.,所以 .因此原級數(shù)的和 .六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1)【解析】證法一：由拉格朗日中值定理可知,在存在一點,使得,即 .因為,所以當(dāng)時,故.由,所以在上由介值定理可知,必有一點使得.又因為,故為嚴(yán)格單調(diào)

10、增函數(shù),故值唯一.證法二：用牛頓-萊布尼茲公式,由于,以下同方法1.(2)【解析】先將不等式做恒等變形:因為,故原不等式等價于或.證法一：令,則 .因為,所以,故.從而在時為嚴(yán)格的單調(diào)遞增函數(shù),故 .由此 ,即 .證法二：令,則 .當(dāng)時,所以為嚴(yán)格的單調(diào)遞減函數(shù),故存在使得成立.即.七、(本題滿分8分)【解析】寫出二次型的矩陣為,它的特征方程是.經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形,那么標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)1,2,5就是的特征值.把代入特性方程,得.因知.這時 .對于,由, ,得 .對于,由,得.對于,由,得.將單位化,得.故所用的正交變換矩陣為.【相關(guān)知識點】二次型的定義：含有個變量的二次齊次多項式(即每項

11、都是二次的多項式) 其中,稱為元二次型.令,則二次型可用矩陣乘法表示為其中是對稱矩陣,稱為二次型的矩陣.八、(本題滿分6分)【解析】證法一：對按列分塊,記,若 ,即 , 亦即 .兩邊左乘,得 ,即 ,亦即 . 所以線性無關(guān).證法二：因為是矩陣,所以.又因,故.所以線性無關(guān).【相關(guān)知識點】1. 向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義：存在一組不全為零的數(shù),使,則稱線性相關(guān)；否則,稱線性無關(guān)2. 矩陣乘積秩的結(jié)論：乘積的秩小于等于單個矩陣的秩九、(本題滿分6分)【解析】如圖,設(shè)當(dāng)運動到時,運動到.由的方向始終指向,有,即 (1)又由,得 .由題意,單調(diào)增,所以 .亦即 . (2)由(1),(2)消去,便得

12、微分方程 .初始條件顯然是.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分,把答案填在題中橫線上.)(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽簽原理.方法一：從直觀上看,第二次抽出次品的可能性與第一次抽到正品還是次品有關(guān),所以考慮用全概率公式計算.設(shè)事件“第次抽出次品”由已知得.應(yīng)用全概率公式.方法二：對填空題和選擇題可直接用抽簽原理得到結(jié)果. 由抽簽原理(抽簽與先后次序無關(guān)),不放回抽樣中第二次抽得次品的概率與第一次抽得次品的概率相同,都是.(2)【解析】方法一：可以用分布函數(shù)法,即先求出分布函數(shù),再求導(dǎo)得到概率密度函數(shù).由已知條件,在區(qū)間上服從均勻分布,得的概率密度函數(shù)為.先求的分布函數(shù).當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時, .即 于是,對分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù) .故隨機變量在內(nèi)的概率分布密度.方法二：也可以應(yīng)用單調(diào)函數(shù)公式法.由于在(0,4)內(nèi)單調(diào),反函數(shù)在(0,2)內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)恒不為零,因此,由連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度公式,得到隨機變量的概率密度為故隨機變量在內(nèi)的概率分布密度.十一、