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文檔簡介
1、第七章 實數(shù)的完備性教學目的:1. 使學生掌握六個基本定理,能準確地加以表述,并深刻理解其實質意義;2. 明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎, 并能應用基本定理證明閉區(qū)間上連 續(xù)函數(shù)的基本性質和一些有關命題,從而掌握應用基本定理進行分析論證的能 力。教學重點難點 :本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明; 難點是基本定 理的應用。教學時數(shù) :14 學時§ 1 關于實數(shù)集完備性的基本定理( 4 學時)教學目的:1. 使學生掌握六個基本定理,能準確地加以表述,并深刻理解其實質意義;2. 明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎。教學重點難點 :實數(shù)完備性的基本定理的證明。一確界存在定理: 回顧確界
2、概念Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ;非空有下界數(shù)集必有下確界 .二 . 單調有界原理 : 回顧單調和有界概念 .Th 2 單調有界數(shù)列必收斂 .Cantor閉區(qū)間套定理1. 區(qū)間套:設/,:是一閉區(qū)間序列.若滿足條件i >對7,有一二.',即打:宀亦即后 一個閉區(qū)間包含在前一個閉區(qū)間中;ii >. i |:.即當* * :二時區(qū)間長度趨于零.則稱該閉區(qū)間序列為一個遞縮閉區(qū)間套,簡稱為區(qū)間套.簡而言之,所謂區(qū)間套是指一個“閉、縮、套” 區(qū)間列.區(qū)間套還可表達為:1 - ;' - 1 - ;.我們要提請大家注意的是,這里涉及兩個數(shù)列.和、:,其中.遞增,遞減.例如
3、;和一 都是區(qū)間套.但 In nk.沖肚.和' 都不是.2. Cantor區(qū)間套定理:Th 3設宀 是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點 匚,使對 "有二簡言之,區(qū)間套必有唯一公共點.I ';四.Cauchy收斂準則數(shù)列收斂的充要條件1. 基本列: 回顧基本列概念基本列的直觀意義基本列亦稱為Cauchy列.例1驗證以下兩數(shù)列為 Cauchy列:飛 I I " I - 'I 1- I I ':,3 52js-1解 :,' - 1- 'i - - 71:' | -< 0 9*+1 + -+ 0 嚴 < 0 9"
4、;*1 + + 09 十1-0.9U0.9;豈,易見只要-I '2(科十弓)-11 1+2« + 1 2w + 3當d為偶數(shù)時,注意到上式絕對值符號內有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 有1 1 12n + I 2m +32(斥 士 p)- 1f 11+f 11 14411 ®+ 12m+ 3l2m + 52w I*0532(川 + p)2(w + 7?) -5 2(母 4刃 _32(w + f)_戈旳十1當口為奇數(shù)時1 _ 1 : -4r 1L 2« +1 2w + 3jk2(« + p)-52® + 7?) - 3J 2(沖+ 7?)
5、- 11 1 1加+ 12«+31 i 11 1r 1_ 1 1L 12w + l 2m+ 32甘斗'斗刃72(w斗刃-.2 + 1綜上,對任何自然數(shù)P,有X 1-1+亠(T嚴< 1 <11 .2對七12« + 32(科4歹)一加41nCauchy列的否定:例2、_二.驗證數(shù)列r不是Cauchy列.匸1蠱證 對K ,取二弓吒,有,1 1 11月十1越十2找+趣2島2因此,取1;,2.Cauchy收斂原理:Th 4數(shù)列 一收斂;是Cauchy列.(要求學生復習函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準則,并以Cauchy收斂原理為依 據(jù),利用Heine歸并原則給出
6、證明)五.致密性定理:數(shù)集的聚點定義 設三是無窮點集.若在點.'.(未必屬于E )的任何鄰域內有 丘的 無窮多個點,則稱點:為三的一個聚點.數(shù)集三二.:有唯一聚點:,但 £開區(qū)間 .的全體聚點之 n集是閉區(qū)間-.;設】-.是一丨_中全體有理數(shù)所成之集,易見L.的聚點集 是閉區(qū)間丨丁丨.1. 列緊性:亦稱為Weierstrass收斂子列定理.Th 5 ( Weierstrass )任一有界數(shù)列必有收斂子列2. 聚點原理: Weierstrass聚點原理.Th 6每一個有界無窮點集必有聚點.六.Heine - Borel有限復蓋定理:1.復蓋:先介紹區(qū)間族- I -"&
7、#39;.定義(復蓋) 設E是一個數(shù)集,&是區(qū)間族若對. .則稱區(qū)間族復蓋了 E,或稱區(qū)間族匸是數(shù)集己的一個復蓋記為:-丄,;-:L若每個 I都是開區(qū)間,則稱區(qū)間族 匚是開區(qū)間族開區(qū)間族常記為定義(開復蓋) 數(shù)集三的一個開區(qū)間族復蓋稱為 芒的一個開復蓋, 簡稱為丘的一個復蓋子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.例3:-:._.-I| .復蓋了區(qū)間|一,但不能復蓋|);弓-.:十;i - : ".復蓋丨心-:,但不能復蓋一.2. Heine - Borel有限復蓋定理:Th 7閉區(qū)間的任一開復蓋必有有限子復蓋§ 2 實數(shù)基本定理等價性的證明(4學時)證明若干個命題等價的一般方
8、法本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線:證明按以下三條路線進行:I :確界原理=,單調有界原理=區(qū)間套定理=Cauchy收斂準則=確界原理n : 區(qū)間套定理=致密性定理=Cauchy收斂準則;川:區(qū)間套定理=Heine - Borel有限復蓋定理=區(qū)間套定理一. “I”的證明:(“確界原理=單調有界原理”已證明過).1. 用“確界原理”證明“單調有界原理”:Th 2單調有界數(shù)列必收斂.證2.用“單調有界原理”證明“區(qū)間套定理”:Th 3 設 m 是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點:,使對【吃有:.【令總證系1若:'f < .-是區(qū)間套:< :.確定的公共點,則對',I八當
9、三廠時,總有J : J 系2 若:是區(qū)間套匸理二確定的公共點,則有3. 用“區(qū)間套定理”證明“ Cauchy收斂準則”:Th 4 數(shù)列收斂='-是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(證)Th 4的證明:(只證充分性) 教科書P217 218上的證明留作閱讀 現(xiàn)采用3P70 71例2的證明,即三等分的方法,該證法比較直觀.4. 用“ Cauchy收斂準則”證明“確界原理”:Th 1非空有上界數(shù)集必有上確界;非空有下界數(shù)集必有下確界證 (只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”)設 己為非空有上界數(shù)集當己為有限集時,顯然有上確界下設E為無限集,取J不是E的上界,I為上的上界對分區(qū)間;,
10、取I仁.熾:,使心不是丄的上界, 、為E的上界.依此得閉區(qū)間列.驗證r 為Cauchy列,由 Cauchy收斂準則,收斂;同理二.收斂.易見:.設八門.有 :;、/人.下證門:工/.用反證法驗證.的上界性和最小性.二. “U” 的證明:1.用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass )任一有界數(shù)列必有收斂子列.證 (突出子列抽取技巧)Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.證 (用對分法)2 用“致密性定理”證明“ Cauchy收斂準則”:Th 4 數(shù)列/ 收斂=.,'是 Cauchy 列.證 (只證充分性)證明思路:Cauchy列有界有收斂子列驗證 收斂子
11、列的極限即為的極限.三. “川”的證明:1. 用“區(qū)間套定理”證明“ Heine - Borel有限復蓋定理”證2. 用“ Heine - Borel有限復蓋定理”證明“區(qū)間套定理”證采用3P72例4的證明.教學目的: 能應用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質和一些有關 命題,從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力教學重點難點:基本定理的應用有界性:命題 1/.'.,= 在.上 F.二T: 證法一 (用區(qū)間套定理)反證法證法二(用列緊性).反證法證法 三 (用有限復蓋定理)二 最值性:命題21在丨叭廣I上取得最大值和最小值(只證取得最大值)證 (用確界原理) 參閱1P226證法 二
12、后半段三.介值性:證明與其等價的“零點定理 ” 命題3 (零點定理)證法一(用區(qū)間套定理)證法 二 (用確界原理)不妨設令. I I ,則三非空有界,= 巨有上確界設二-,有 I二丄_ 現(xiàn)證:七 -,( 為此證明 j二丄且丄J). 取工-上 匸且- ;.由/在點匸連續(xù)和',,易見有丄=和J .由.= 八于是:-=:一:.由.在點I連續(xù)和.因此只能有;'.證法 三 (用有限復蓋定理).四 一致連續(xù)性:命題4( Cantor定理)證法一(用區(qū)間套定理).證法二(用列緊性).參閱1P229 230 證法一參閱1P229 230 證法二習題課(2學時)實數(shù)基本定理互證舉例:例1 用“區(qū)
13、間套定理”證明“單調有界原理”證 設數(shù)列.遞增有上界取閉區(qū)間:二,使心不是 一的上 界,是的上界易見在閉區(qū)間:內含有數(shù)列|的無窮多項, 而在:外僅含有 J的有限項對分2:,取,使有 Z ” : |的性質.于是得區(qū)間套,有公共點匚.易見在點:的 任何鄰域內有數(shù)列-,:的無窮多項而在其外僅含有, .:的有限項,=例2用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證門為區(qū)間套.先證每個-'為數(shù)列鳥'二的下界,而每個為數(shù)列的上界.由確; < .界原理, 數(shù)列':有上確界,數(shù)列.有例3 用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.證 ( 用反證法) 設:為有界無限點集,I _.反設一 ,二的每
14、一點都不是E的聚點,則對7 -'. _,存在開區(qū)間廠.,使在:二:內僅有三的有限個點.例4 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 設為有界無限點集.構造數(shù)集1中大于:的點有無窮多 個.易見數(shù)集 三非空有上界,由確界原理,三有上確界.設:I :. 則對二三::,由,-不是巨的上界,=己中大于,-的點有無窮多個; 由_是己的上界,= 二中大于 匚的點僅有有限個.于是,在.訂-:-;'內有土的無窮 多個點,即二是丘的一個聚點.實數(shù)基本定理應用舉例:例5 設是閉區(qū)間q糾上的遞增函數(shù),但不必連續(xù). 如果 一“,_: 一,則廠_“上_,使.(山東大學研究生入學試題)證法一(用確界技術. 參閱
15、3 P76例10證法1 )設集合" I /' ' . / - ' :' '.則一心嚴,2-不空;T 二一一,F(xiàn)有界.由確界原理,F有上確界.設-7 ,則i > 若 i - F ,有;又廠;",得匕./'.由,遞增和 /.,有.<.:',可見5."由|門,=二.于是,只能有'、;_、.ii >若 _ “ F ,則存在P內的數(shù)列.:,使“ /二、也存在數(shù)列,1 :,:.: ,.由“遞增, 一匚以及就有式.',:'.,:對任何址成立令些一:,得二于是有;-證法二(用區(qū)間套技
16、術,參閱3 P77例10證法2 ) 當_一.或:時,主或打就是方程一一 .,.在_ “一:-上的實根以下總設1'對分區(qū)間| -!宀.,設分點為:.倘有 U ' ,:就是方程門 在一 一上的實根(為行文簡練計,以下總設不會出現(xiàn)這種情況)若J,,取一-_ -;若廠?1 -,取i ,丄-,如此得-級區(qū)間丨:/ !依此構造區(qū)間套丨 , . -,對:,有,由區(qū)間套定理,- ,使對任何J有'I-',/,/現(xiàn)證- 1事實上,注意到"時一/ 工:和1 “以及.遞增,就有令'Ji:,得.汽'V.乞于是有. 例6 設在閉區(qū)間. '上函數(shù)連續(xù),y;遞增, 且有1 :I:.,L'''.試證明:方程1 : L 在區(qū)間打丨內有實根(西北師大2001年碩士研究生入學試題)證構造區(qū)間套二;,使I :.由區(qū)間套 定理,:,使對 ,有 現(xiàn)證.-:-:-.:.事實上,由 二.在一 一上的遞增性和.的構造以及一j /匕和 有- :- = - .注意到.在點_連續(xù),由He
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