《解三角形》常見題型總結(jié)(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上解三角形常見題型總結(jié)1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型題剖析】考察點(diǎn)1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【點(diǎn)撥】 本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范圍。【點(diǎn)撥】 此題可先運(yùn)用正弦定理將a+b表示為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再求解。解：C=30°，c=+，由正弦定理得

2、： a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150°-A)= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 當(dāng)75°-A=0°，即A=75°時(shí)，a+b取得最大值=8+4； A=180°-(C+B)=150°-B,A150°，0°A150°,-75°75°-A75°，cos75°cos(75°-A)1，

3、cos75°=×=+.綜合可得a+b的取值范圍為(+,8+4>考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀?！军c(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在ABC中，由得A=B”是常犯的錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)上述解答過程中“A=B或A+B=”的導(dǎo)出過程。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正

4、弦公式來判斷ABC的形狀。解：.又B為銳角，B=45°.由由正弦定理，得,代入上式得：考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.【點(diǎn)撥】觀察等式的特點(diǎn)，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為.證明：由正弦定理的變式得：同理【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識(shí)去解決，要注意體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，C=2B，求證.【點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.證明：【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。考察點(diǎn)4：求三角形

5、的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若,求ABC的面積S.【點(diǎn)撥】先利用三角公式求出sinB,sinA 及邊c，再求面積。解：由題意，得B為銳角，由正弦定理得【解題策略】在ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時(shí)經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用， 例8已知ABC中a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值?！军c(diǎn)撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。解：【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值?？疾禳c(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知ABC的內(nèi)

6、角A,B極其對(duì)邊a,b滿足求內(nèi)角C【點(diǎn)撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。解法1：（R為ABC的外接圓半徑），又A,B為三角形的內(nèi)角，當(dāng)時(shí)，由已知得綜上可知，內(nèi)角.解法2：由及正弦定理得，從而即又0A+B，【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。例10在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的內(nèi)切圓半徑?！军c(diǎn)撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：變形為又ABC是直角三角形。由解得【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。-

7、易錯(cuò)疑難辨析易錯(cuò)點(diǎn) 利用正弦定理解題時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】本節(jié)知識(shí)在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時(shí)，出現(xiàn)漏解的情況。例1（1） 在ABC中，（2） 在ABC中，【錯(cuò)解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【點(diǎn)撥】（1）漏解，由（0°B180°）可得因?yàn)閎a,所以兩解都存在。（2）增解。由（0°B180°）可得，因?yàn)閎a,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BA,所以不符合條件，應(yīng)舍去?！菊狻浚?）由正弦定理得又0°B180°（經(jīng)

8、檢驗(yàn)都符合題意）（2）由正弦定理得又0°B180°ba,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可知BA，不符合條件，應(yīng)舍去，。易錯(cuò)點(diǎn) 忽略三角形本身的隱含條件致錯(cuò)【易錯(cuò)點(diǎn)解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180°等造成的錯(cuò)誤。例2在ABC中，若求的取值范圍?！惧e(cuò)解】由正弦定理得【點(diǎn)撥】在上述解題過程中，得到了后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含的均為正角這一條件?！菊狻坑烧叶ɡ砜芍?°B45°，1.13，故13.高考真題評(píng)析例1（2010·廣東高考）已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若則【命題立意】本題主要

9、考察正弦定理和三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值?！军c(diǎn)撥】在ABC中，又，故，由正弦定理知又ab，因此從而可知，即。故填1.【名師點(diǎn)評(píng)】解三角形相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。例2（2010·北京高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時(shí)要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍?！军c(diǎn)撥】由正弦定理得，C為鈍角，B必為銳角，故填1【名師點(diǎn)評(píng)】在范圍內(nèi)，正弦值等于的角有兩個(gè)，因?yàn)榻荂為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解ABC1圖1-9例3（2010·湖北高考）在ABC中，則等于（ ） 【命

10、題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍?！军c(diǎn)撥】由正弦定理得，B為銳角。，故選D【名師點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對(duì)大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。例4（2010·天津高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值?！久}立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察基本運(yùn)算能力。證明：（1）在ABC中，由正弦定理及已知，得。于是即因?yàn)锽-C，從而B-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又02B，于是從而，。所以【名師點(diǎn)評(píng)】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為

11、角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在求2B的正弦值時(shí)要先判斷2B的取值范圍。1.1.2 余弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。【點(diǎn)撥】解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng)的方程，首先求出邊長(zhǎng)，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得解法2：由，知本題有兩解。由正弦定理得，或，當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：當(dāng)時(shí)，ABC為等腰三角形，?！窘忸}策略】比較兩種解法，從中體會(huì)各自的優(yōu)點(diǎn)，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。

12、方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長(zhǎng)，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊。例2：ABC中，已知，求A，B，C【點(diǎn)撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進(jìn)而求得各角的值。解法1：由余弦定理得：。因?yàn)樗?。因?yàn)樗砸驗(yàn)樗越夥?：由解法1知，由正弦定理得，因?yàn)?，所以BC，所以角C應(yīng)該是銳角，因此。又因?yàn)樗浴窘忸}策略】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時(shí)，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止增解或漏解。考察點(diǎn)2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀。

13、【點(diǎn)撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。解法1：（角化邊）由正弦定理得，由，得。又由余弦定理的推論得。即。又為等邊三角形。解法2：（邊化角）又，又A與B均為的內(nèi)角，A=B.又由，得，即由余弦定理得，而0°C180°，又為等邊三角形?！窘忸}策略】已知三角形關(guān)系中的邊角關(guān)系式判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關(guān)系式，種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值范圍?！军c(diǎn)撥】由題意知ABC為鈍角

14、三角形，按三角形中大邊對(duì)大角的原則，結(jié)合a,b,c的大小關(guān)系，故必有C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值范圍。解：0，解得-2k6.而k+k+2k+4，k2.故2k6.故k的取值范圍是【解題策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意大邊對(duì)大角?？疾禳c(diǎn)3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊，（1）求證（2）求證【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應(yīng)用。證明：（1）左邊右邊，故原式成立。（2）左邊右邊，故原式成立?！窘忸}策略】（1）小題利用余弦定理將角化為邊。（2）小題先降冪，然后利用余弦定理將角化為邊。例6在中，角A，B，C的對(duì)邊分

15、別是a，b，c。（1）求證（2）求證【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用證明：（1）由得；。又故原式成立。（2）左邊右邊。故原式成立?？疾禳c(diǎn)4：正余弦定理的綜合應(yīng)用例7：在中，已知【點(diǎn)撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用。解：a0,c0,由正弦定理得或.由知ab,若則與已知矛盾。【解題策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a，c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求注意特殊角的三角函數(shù)值，如：例8：設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大?。唬?）求的值?！军c(diǎn)撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應(yīng)用。解：（1）由余弦定理得所以（2）。例

16、9：設(shè)得到內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求邊長(zhǎng)a；（2）若的面積S=10，求的周長(zhǎng)?！军c(diǎn)撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用。解：（1）已知將兩式相除，有又由知0，則，則（2）由得由得。故?！窘忸}策略】把已知兩個(gè)關(guān)系式相除是本題的難點(diǎn)，也是解決此題的關(guān)鍵，相除之后出現(xiàn)，使用正弦定理使問題得到順利解決。易錯(cuò)疑難解析易錯(cuò)點(diǎn) 利用余弦定理判斷三角形的形狀時(shí)出現(xiàn)漏解情況【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】在等式兩邊同時(shí)約去一個(gè)因式時(shí)，需要十分小心，當(dāng)該因式恒正或恒負(fù)時(shí)可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀。【錯(cuò)解】由余弦定理得：

17、故為直角三角形。【點(diǎn)撥】利用余弦定理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零的因式，產(chǎn)生了漏解的情況，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤。【正解】由余弦定理得：或。為等腰三角形或直角三角形。易錯(cuò)點(diǎn) 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】我們?cè)诮忸}時(shí)要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細(xì)致地分析問題，如下列題中的ba就是一個(gè)重要條件。例2：在中，已知求?！惧e(cuò)解】由余弦定理，得由正弦定理，得又0°A180°，或.【點(diǎn)撥】注意到已知條件中這一隱含條件，則，顯然是不可能的?！菊狻坑捎嘞叶ɡ恚糜钟烧叶ɡ?，得ba，BA.又0°A180

18、°，高考真題評(píng)析例1：（2011.山東模擬）在中，D為BC邊上一點(diǎn)，若則【命題立意】本題主要考察余弦定理與方程組的應(yīng)用?！军c(diǎn)撥】如圖1-13所示，設(shè)則再設(shè)則在中，由余弦定理得。在中，由余弦定理得。由得解得（負(fù)值舍去），故填?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=AB,設(shè)出未知量，在兩個(gè)三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖1-13例2：（2010.天津高考）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.120° D.150°【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察分析問題、

19、解決問題的能力?！军c(diǎn)撥】由根據(jù)正弦定理得代入得即，由余弦定理得又0°A180°，故選A【名師點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用正弦定理把已知條件中轉(zhuǎn)化成邊b，c的關(guān)系，再代入已知得a，b的關(guān)系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3：（2010.北京高考）某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖1-14所示），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為a的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）A.B.C.D. 【命題立意】本題考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面積公式和圖形的分割求和等知識(shí)?！军c(diǎn)撥】三角形的底邊長(zhǎng)為故選A?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】此題難度較低，該八邊形由4個(gè)等腰三角形和一個(gè)正方形組合而成，應(yīng)用余弦定理求正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵。