34基本不等式(2)

1、第第2課時(shí)課時(shí)復(fù)習(xí)舊知：復(fù)習(xí)舊知：),(222Rbaabba( ,2ababa b是正實(shí)數(shù)）1.重要不等式重要不等式：2.基本不等式基本不等式:時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ba 注意兩個(gè)不等注意兩個(gè)不等式的成立條件式的成立條件公式的常見(jiàn)變形形式：公式的常見(jiàn)變形形式：222abab22abab以上兩個(gè)公式是由怎樣變形得來(lái)的？以上兩個(gè)公式是由怎樣變形得來(lái)的？ 例例 課本課本100頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)3題：用題：用20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？解：設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為解：設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為acm,bcm,a0,b0,由題意由題意a+b=10所以所以22

2、102522abSab, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5a=b=5時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬均為答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬均為5時(shí)，面積最大時(shí)，面積最大.222abab222abab由由可得出可得出2abab22abab由由可得出可得出公式的變形形式可以直接使用公式的變形形式可以直接使用 引例引例 （1 1）把）把3636寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小它們的和最?。?（2 2）把）把1818寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？的積最大？ 解：（解：（1）設(shè)兩個(gè)數(shù)為）設(shè)兩個(gè)數(shù)

3、為a,b,則則a0,b0,ab=36212abab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)和最小時(shí)和最小. （2）設(shè)兩個(gè)數(shù)為）設(shè)兩個(gè)數(shù)為a,b,則則a0,b0,a+b=1828122abababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9時(shí)積最大時(shí)積最大.那么，對(duì)于一般的正數(shù)那么，對(duì)于一般的正數(shù) 有什么結(jié)論？有什么結(jié)論？, x y例例1 已知已知 都是正數(shù)，求證：都是正數(shù)，求證：（1）如果積）如果積 是定值是定值 ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時(shí)，和時(shí)，和 有最小值有最小值 ；（2)2)如果和如果和 是定值是定值 ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時(shí)，積時(shí)，積 有最大值有最大值 .yx,xypyx yx yxp2241syxxys我們把它稱我們

4、把它稱為極值定理為極值定理 Ryx,2xyxypyx22xyp 證：證：xyp(1)(1)當(dāng)當(dāng)為定值時(shí)，min()2xypyx 上式當(dāng)上式當(dāng)時(shí)取時(shí)取“=”=”2sxy 214xysxys(2)(2)當(dāng)當(dāng)為定值時(shí)，為定值時(shí)，2max41)(sxyyx 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)有時(shí)有簡(jiǎn)記：積定和最小，和定積最大簡(jiǎn)記：積定和最小，和定積最大yx 上式當(dāng)上式當(dāng)時(shí)取時(shí)取“=”=”yx 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)有時(shí)有, x y, x y, x y 說(shuō)明：用極值定理可求函數(shù)的最值，在求函數(shù)的最說(shuō)明：用極值定理可求函數(shù)的最值，在求函數(shù)的最值時(shí)應(yīng)注意：值時(shí)應(yīng)注意：(1)(1)定理的成立條件定理的成立條件: :只有當(dāng)只有當(dāng) 都是

5、正數(shù)時(shí)都是正數(shù)時(shí) 才成立，即只有當(dāng)才成立，即只有當(dāng) 都是正數(shù)時(shí)，才能應(yīng)用；但當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，才能應(yīng)用；但當(dāng) 都是負(fù)數(shù)時(shí)，也可應(yīng)用都是負(fù)數(shù)時(shí)，也可應(yīng)用. .例如：求函數(shù)例如：求函數(shù)xxy1的值域的值域. .解：函數(shù)的定義域是解：函數(shù)的定義域是,00,(1)0 x 1122yxxxx1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)0 x 2,)時(shí)，值域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?2)0 x 1yxx1()xx 122xx 1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)0 x (, 2 時(shí)，值域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)榫C上，原函數(shù)的值域?yàn)榫C上，原函數(shù)的值域?yàn)?, 22,) 求和的最小值，積必為定值，求積的最大值，和必求和的最小值，積必為定值，求積

6、的最大值，和必為定值，否則不能用定理為定值，否則不能用定理.x1x11yxx例：若例：若，則則 為何值時(shí)為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？11xxy12xx12xx1xxx解：解：，就說(shuō)就說(shuō)“最小值為最小值為”是錯(cuò)誤的，因?yàn)槭清e(cuò)誤的，因?yàn)椴皇嵌ㄖ担鼤?huì)隨不是定值，它會(huì)隨的變化而變化的變化而變化. . 11xx215 x215 x15 y若繼續(xù)：當(dāng)且僅當(dāng)若繼續(xù)：當(dāng)且僅當(dāng)，即即（舍去）時(shí)取等號(hào)，舍去）時(shí)取等號(hào)，則也錯(cuò)誤，則也錯(cuò)誤. .代入得代入得1x10 x 011x11yxx11112 (1)12 1111xxxx 解：解： 111xx0 x 即時(shí)1)11(minxx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)

7、且僅當(dāng) 正確的解法為：正確的解法為：一定要能取到等號(hào)一定要能取到等號(hào).例：求例：求2122xxy的最小值的最小值.221222xxy0221)2(222xx若這樣解：若這樣解：所以它的最小值為所以它的最小值為0 0 顯然是錯(cuò)誤的顯然是錯(cuò)誤的.正解：正解：22,2,txt則12ytt 令1,2,函數(shù)在（函數(shù)在（0 0，1 1）為減函數(shù)，在）為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，上為增函數(shù)上為增函數(shù)當(dāng)當(dāng)t=2t=2時(shí)，即時(shí)，即x=0 x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值為時(shí)，函數(shù)取得最小值為1222122xx此時(shí)無(wú)解. 故在故在等號(hào)成立條件不存在等號(hào)成立條件不存在利用極值定理求最大值或最小值時(shí)應(yīng)注意：利用極值定

8、理求最大值或最小值時(shí)應(yīng)注意：(1) , x y都是正數(shù);等號(hào)是否能夠成立等號(hào)是否能夠成立. (2)(2)求積求積 最大值時(shí)，應(yīng)看和最大值時(shí)，應(yīng)看和 是否為定值；求是否為定值；求和和 最小值時(shí)，看積最小值時(shí)，看積 是否為定值是否為定值; ; xyxyxyxy簡(jiǎn)記為一正二定三相等，三者缺一不可！簡(jiǎn)記為一正二定三相等，三者缺一不可！(1)lglog 102xx) 1(x例例2 2 證明下列各題：證明下列各題：1x lg0 x010logxlglog 102 lg lg 102xxxx(1)(1)證證：若上題改成若上題改成10 x，結(jié)果將如何？，結(jié)果將如何？01xlg0 x010logx( lg )(

9、 log 10)2xx 210loglgxx(2)(2)解解: :從而1ba41ab若若，則Rba,21024abab, a b若0ab解：若解：若則顯然有則顯然有異號(hào)或一個(gè)為異號(hào)或一個(gè)為0 0則則14ab.隨堂練習(xí)：找找以下做法是否正確，說(shuō)明理由隨堂練習(xí)：找找以下做法是否正確，說(shuō)明理由.錯(cuò)的，給出正確作法錯(cuò)的，給出正確作法. 已知已知 （ ） ,求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值.3( )2f xxx2x 解：解： 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào) 33( )222f xxxxx232xxx3x 所以函數(shù)的最小值為所以函數(shù)的最小值為6.已知已知 ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最小值的最小值.0,24

10、sinsiny解解: :44sin2 sin4sinsiny 故最小值為故最小值為4.4., x y14() ()xyxy3.3.設(shè)設(shè)為正數(shù)，求為正數(shù)，求的最小值的最小值.14() ()xyxy4228xyxy解解： 所以最小值為所以最小值為8.8.小結(jié)小結(jié)1.極值定理以及用極值定理應(yīng)注意的三個(gè)條件極值定理以及用極值定理應(yīng)注意的三個(gè)條件.2.常見(jiàn)的公式變形常見(jiàn)的公式變形.3.基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用的步驟基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用的步驟 (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象