高等數(shù)學(xué)詩(shī)文一百首

1、高等數(shù)學(xué)詩(shī)文一百首第一章 函數(shù)與極限數(shù)學(xué)初等與高等，按其對(duì)象定淺深。初等研究不變量，研究變量是高等。變量相關(guān)成函數(shù)，研究采用極限術(shù)。高等數(shù)學(xué)十?dāng)?shù)章，極限方法貫其綱。第一節(jié) 函數(shù)集合是總體，元素是個(gè)體。列舉法和特征法，集合標(biāo)記由此達(dá)。自然數(shù)集整數(shù)集，有理數(shù)集實(shí)數(shù)集。數(shù)集元素都是數(shù)，不含元素是空集。另有數(shù)集多用途，這是區(qū)間和鄰域。常量與變量，須從過程來推想。變量變化相聯(lián)系，函數(shù)由此得定義。自變量數(shù)集，因變量數(shù)集，兩個(gè)數(shù)集相對(duì)應(yīng)，元素按照法則來。自變量在定義域，使算式有意義為根據(jù)。值域中是因變量，單值多值縱線交點(diǎn)出。函數(shù)特性有四類，有界單調(diào)奇偶和周期。直接函數(shù)反函數(shù)，兩個(gè)變量相對(duì)換。同一坐標(biāo)平面對(duì)稱

2、軸，是過原點(diǎn)畫斜線。第十一節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上若連續(xù)，1 / 12最值有界皆能取。零點(diǎn)定理看兩端，兩端異號(hào)零值有。介值定理看介值，介值必有點(diǎn)可出。閉區(qū)間上若連續(xù)，最值有界皆能取。一致連續(xù)必連續(xù)，閉區(qū)間上反推也能書。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分微積分中微分學(xué)，導(dǎo)數(shù)微分有其訣。變化快慢問導(dǎo)數(shù)，微小變化微分解。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)定義須牢記，用途廣泛是根基。分子因變量增量，分母自變量增量。相比然后取極限，導(dǎo)數(shù)定義由此現(xiàn)。負(fù)除是左導(dǎo)，正除是右導(dǎo)。兩者存在且相等，充要條件導(dǎo)數(shù)存。幾何意義看傾角，切線方程由此曉。若知法線及斜率，法線方程不難找?？蓪?dǎo)必定可連續(xù)，聯(lián)續(xù)未必就可導(dǎo)。第七節(jié) 函數(shù)的微分可微必可

3、導(dǎo)，可導(dǎo)必可微。從其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，微分公式直接推。復(fù)合函數(shù)求微分，形式不變可因循。第三章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法單調(diào)判定看求導(dǎo)，為正增加為負(fù)少。若是求導(dǎo)值為零，劃分區(qū)間皆單調(diào)。第六節(jié) 最大值、最小值問題最值問題如何解？端點(diǎn)駐點(diǎn)值先寫。再將各值相比較，最大最小找得到。第七節(jié) 曲線的凹凸和拐點(diǎn)曲線凹凸如何定？只在二階導(dǎo)數(shù)符。二階為正圖形凹，二階為負(fù)圖形凸。凹凸既能由此定，拐點(diǎn)亦可依此尋。二階導(dǎo)數(shù)若為零，兩側(cè)異號(hào)拐點(diǎn)準(zhǔn)。第八節(jié) 函數(shù)圖形的描繪極值與拐點(diǎn)，升降與凹凸。盡皆求出后，就能繪好圖。第九節(jié) 曲率記住公式弧微分，1加導(dǎo)方再開根。曲率本是一極限，角度來比其弧段。一階導(dǎo)數(shù)其

4、值小，曲率看成二階導(dǎo)。防負(fù)添加絕對(duì)值，曲率本是非負(fù)值。曲率圓中有交互，半徑曲率為倒數(shù)。第十節(jié) 方程的近似解方程要求近似解，先定范圍再改善。二分法和切線法，用了可以得答案。第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)？回答就是原函數(shù)。什么函數(shù)存在原函數(shù)？連續(xù)函數(shù)一定有。不定積分要記清，帶上常數(shù)看誰(shuí)行。微分運(yùn)算有互逆，積分運(yùn)算來頂替。導(dǎo)數(shù)反求得積分，積分公式自己尋。基本積分有什么？且聽如下道分明：常數(shù)可積冪可積，負(fù)一次方對(duì)數(shù)定。分母是一加平方，不定積分反正切。若加成減還開方，反正弦是真的確。余弦正弦皆可積，正弦積出負(fù)號(hào)依。正割余割若平方，積成正切負(fù)余切。正割正切乘后積，得成正割少正切

5、。余割余切同其理，只是負(fù)號(hào)來相依。自然指數(shù)原樣積，若底非e還須除以對(duì)數(shù)底。雙曲正弦與余弦，積分只須交互替。第二節(jié) 換元積分法復(fù)合函數(shù)求積分，從其微分來求索。中間變量一代換，換元積分用處多。倒代換來用一用，分母因子無影蹤。正切積分是對(duì)數(shù)，余弦取正外添負(fù)。余切積分對(duì)里正，對(duì)前負(fù)號(hào)變?yōu)闊o。正割求導(dǎo)正割切，對(duì)數(shù)號(hào)中加取正。余割求得余割切，對(duì)數(shù)號(hào)中減取正。分母數(shù)方加平方，反正切別忘數(shù)除。若是平方減數(shù)方，積成對(duì)數(shù)正相符。分母數(shù)方減平方，開方再積反正弦中用數(shù)除。分母若是平方加減一數(shù)方，再開方時(shí)積出是對(duì)數(shù)。第三節(jié) 分部積分法求導(dǎo)法則看乘積，反推就是分部積。何時(shí)考慮分部積？被積函數(shù)冪對(duì)反。分部積分試一試，恰當(dāng)選

6、取是關(guān)鍵。兼用換元與分部，積分自然能提速。第五章 定積分第二節(jié) 定積分的性質(zhì) 中值定理上限下限若相等，積分之值就為零。變換上限與下限，再添負(fù)號(hào)值恒定。相加乘數(shù)容易算，區(qū)間還有可加性。被積函數(shù)若為1，兩限之差就是積分值。被積函數(shù)大于零，定積分也大于零。函數(shù)小時(shí)積分小，絕對(duì)值上看分曉。最大值和最小值，積分取值兩矩包。中值定理有公式，矩形面積等于積分值。第三節(jié) 微積分基本公式積分上限若變動(dòng)，積分取值成函數(shù)。被積函數(shù)若連續(xù)，上限函數(shù)導(dǎo)其出。由此可得原函數(shù)，存在定理開新路。萊布尼茨與牛頓，基本公式證出途。區(qū)間端點(diǎn)原函數(shù)，相減定積分值出。第四節(jié) 定積分的換元法定積分也可換元，比起不定更簡(jiǎn)潔。上限下限若變動(dòng)

7、，簡(jiǎn)化計(jì)算容易些。第六節(jié) 定積分的近似計(jì)算近似計(jì)算定積分，先用矩形和梯形。等分區(qū)間偶數(shù)個(gè)，拋物線法亦可行。第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的元素法定積分用元素法，從其條件來出發(fā)。變化區(qū)間有變量，部分之和要可加。函數(shù)值乘區(qū)間長(zhǎng)度值，部分如此積分就可下。按其步驟來選取，要寫積分如下述：先選變量和區(qū)間，再分區(qū)間取其微。自變微分乘函數(shù)，部分量形須如此。以此作為被積式，再添區(qū)間是定積。第二節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的用處找一找，平面圖形面積到。旋轉(zhuǎn)體來求體積，截面已知體積曉。光滑曲線可求長(zhǎng)，從其坐標(biāo)再協(xié)商。物理學(xué)中用定積，作功水壓和引力。定積分除區(qū)間長(zhǎng)，就得函數(shù)平均值。第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)笛卡兒

8、創(chuàng)坐標(biāo)系，函數(shù)圖形得解析。點(diǎn)與序數(shù)相對(duì)應(yīng)，代數(shù)法解幾何題。第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)空間點(diǎn)，橫縱豎軸相關(guān)聯(lián)。右手規(guī)則定三向，三個(gè)垂面交一點(diǎn)。兩點(diǎn)距離記心腸，投影方和再開方。若是原點(diǎn)一端立，坐標(biāo)方和再開方。第四節(jié) 數(shù)量積、向量積、混合積兩向量有數(shù)量積，兩模乘上余弦值。若是求其向量積，大小方向須同記。兩模乘上正弦值，方向須從右手系。坐標(biāo)表示向量積，行列式中單位向上依。向量積式有先后，乘項(xiàng)交換符更替。混合積中有次序，向量積后數(shù)量積。坐標(biāo)放進(jìn)行列式，三組投影按序記。幾何意義是體積，右手轉(zhuǎn)成是正值。第五節(jié) 曲面及其方程曲面對(duì)應(yīng)有方程，方程對(duì)應(yīng)有曲面。已知曲面建方程，已知方程建曲面。第七節(jié) 平面及其方程平面向量乘法向，數(shù)量積值必為零。平面方程點(diǎn)法式，由此可以寫分明。點(diǎn)法方程再簡(jiǎn)化，一般方程現(xiàn)其形。系數(shù)就是法向量，平面方程認(rèn)得清。第八節(jié) 空