初中數(shù)學(xué)因式分解習(xí)題大全.doc

1、初中數(shù)學(xué)因式分解習(xí)題大全1 .填空題(共10小題)1 .已知 x+y=10 , xy=16,則 x2y+xy2 的值為.2 .兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成 2 (x-1) (x-9);另一位同學(xué)因 看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成 2 (x-2) (x-4),請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因 式分解正確的結(jié)果寫由來：3 .若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是.4 .分解因式：4x2 - 4x - 3=.5 .利用因式分解計(jì)算：2022+202 M96+982=.6 . AABC 三邊 a, b, c 滿足 a2+b2+c2=ab+bc+ca ,則 AABC 的形

2、狀是.7 .計(jì)算：12 22+32 42+52 62+- 1002+1012=.8 .定義運(yùn)算ab= (1 - a) b,下面給由了關(guān)于這種運(yùn)算 的四個(gè)結(jié)論：2* (-2) =3a b=ba若 a+b=0,則(a*a) + (bb) =2ab若 a*b=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的9 . 如 果 1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10 .若多項(xiàng)式 x2-6x-b可化為(x+a) 2 是.2 .解答題(共20小題)11 .已知n為整數(shù)，試說明(n+7) 2- (n 定能被20整除.12 .因式分解：4x2y -

3、 4xy+y .13 .因式分解(1) a3 - ab2(2) (x - y) 2+4xy.(14) 閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2n2 - 6n+9=0,求 m 和 解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0，m2+2mn+n2+n2 - 6n+9=0，(m+n) 2+ ( n - 3) 2=0，m+n=0 , n 3=0，m= 3, n=3代數(shù)式T ,則b的值-3) 2的值一n的值.問題：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0 ,求 xy 的值.(2)已知出BC的三邊長a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2 -6a- 6b+18+|3 - c|=0,請(qǐng)問

4、公BC是怎樣形狀的三角 形？15 .如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差， 那么稱這個(gè)正整數(shù)為和諧數(shù)”.如4=22 - 02, 12=42 - 22,20=62- 42,因此4, 12, 20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))， 由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1到200之間的所有和諧數(shù)”之和為.16 .如圖1,有若干張邊長為a的小正方形、長為 b寬 為a的長方形以及邊長為 b的大正方形的紙片.(1)如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方 形3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)

5、大長方形 (在圖2虛線框中 畫由圖形)，并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式 a2+3ab+2b2 分解因式.(2)已知小正方形與大正方形的面積之和為169,長方形的周長為34,求長方形的面積.(3)現(xiàn)有三種紙片各 8張，從其中取由若干張紙片，每 種紙片至少取一張，把取由的這些紙片拼成一個(gè)正方形(按 原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形.17 . (1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示,用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，如圖2.用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長方形的面積；由此，你可以得生的一個(gè)等式為：(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示.請(qǐng)你用拼圖等方法

6、推由一個(gè)完全平方公式，畫由你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推由2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫由你的拼圖.18 .已知 a+b=1 , ab= - 1 ,設(shè) s1=a+b , s2=a2+b2 , s3=a3+b3,，sn=an+bn(1)計(jì)算s2;(2)請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過程：因?yàn)?a+b=1, ab= - 1,所以 s3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1 Xs2-(-1) =s2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成(2)中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算 s4.(3)試寫由sn-2, sn-1, sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得由的結(jié)論，計(jì)算

7、 s6.19 . (1)利用因式分解簡算：9.82+0.4務(wù)8+0.04(2)分解因式：4a (a-1) 2- (1- a)20 .閱讀材料：若 m2 2mn+2n2 8n+16=0 ,求 m、n 的 值.解：: m2 2mn+2n2 8n+16=0 , ， ( m2 2mn+n2) +(n2 -8n+16) =0，(m - n) 2+ (n -4) 2=0,，(m -n) 2=0, (n -4) 2=0, . n=4, m=4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0 ,求 x-y 的值.(2)已知出BC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2 -

8、6a- 8b+25=0 ,求BC的最大邊c的值.(3)已知 a- b=4, ab+c2 - 6c+13=0 ,則 a-b+c=.21 .仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式 x2 - 4x+m有一個(gè)因式是(x+3), 求另一個(gè)因式以及 m的值.解：設(shè)另一個(gè)因式為 (x+n),得 x2 - 4x+m= (x+3)(x+n), 則 x2 - 4x+m=x2+ ( n+3) x+3n，n+3= 4m=3n 解得：n= -7, m= - 21，另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式 x2-5x+6可分解為(x-2) (x+a), 貝U a=;(2)若二次三項(xiàng)式

9、2x2+bx-5可分解為(2x- 1)(x+5),(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式 2x2+5x - k有一個(gè)因式是(2x - 3),求另一個(gè)因式以及 k的 值.22 .分解因式：(1) 2x2 -x;(2) 16x2 - 1;(3) 6xy2 9x2y y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.23 .已知a, b, c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),試確定三角形的形狀.24 .分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3 -4a2b+2ab2.25 .圖是一個(gè)長為 2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛 線用剪刀平

10、均分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一 個(gè)正方形.(1)圖中的陰影部分的面積為；(2)觀察圖請(qǐng)你寫由三個(gè)代數(shù)式( m+n) 2、(m- n)2、mn之間的等量關(guān)系是 .(3)若 x+y=7 , xy=10,貝U ( x y) 2=.(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表zK.如圖，它表示了.(5)試畫由一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(m+n)(m+3n) =m2+4mn+3n2 .26 .已知 a、b、c 滿足 a- b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27 .已知：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c,且滿足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=20

11、06,求：這個(gè)長方體的體積.28 . (x2 - 4x) 2 2 (x2 - 4x) - 15.29 .閱讀下列因式分解的過程，再回答所提由的問題：1+x+x (x+1 ) +x (x+1) 2=(1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1)上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了 次.(2)若分解 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+x (x+1 ) 2004, 則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是.(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+x (x+1) n (n為正整數(shù)).30 .對(duì)于多項(xiàng)式 x3-5x2+x+10 ,如果我們把 x=2代入

12、此 多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x3-5x2+x+10=0 ,這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式(X-2)(注：把x=a代入多項(xiàng)式能使多項(xiàng)式的值 為0,則多項(xiàng)式含有因式(x-a),于是我們可以把多項(xiàng)式 寫成：x3 -5x2+x+10= (x -2) (x2+mx+n),(1)求式子中m、n的值；(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解 多項(xiàng)式x3 - 2x2 - 13x- 10的因式.參考答案與試題解析一.填空題(共10小題)1. ( 2016 秋?望謨縣期末)已知 x+y=10 ,xy=16,則 x2y+xy2 的值為 160 .【分析】首先提取公因式xy,進(jìn)而將已知代入求生即可.【解答】解：: x

13、+y=10 , xy=16,. . x2y+xy2=xy (x+y) =10X16=160.故答案為：160.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確 我由公因式是解題關(guān)鍵.2. (2016秋漸賓縣期末)兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分 解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2 (x-1)(x-9);另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2 (x-2) (x-4),請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫由來：2 (x3) 2【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將2 (x- 1) (x-9)展開得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將 2 (x-2) (x-4)展開得到二次項(xiàng)、 一次項(xiàng).從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式2后

14、利用完全平方公式分解因式.【解答】解：: 2 (x1) (x-9) =2x2 20x+18;2 (x-2) (x-4) =2x2 - 12x+16;，原多項(xiàng)式為 2x2 - 12x+18 .2x2 - 12x+18=2 (x2 -6x+9) =2 (x -3) 2.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān) 鍵.二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、 常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次項(xiàng)正確.3. (2015春？昌邑市期末)若多項(xiàng)式 x2+mx+4能用完全 平方公式分解因式，則 m的值是也.【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a-b) 2+4ab、(a b) 2=

15、(a+b) 2 4ab 計(jì)算即可.【解答】解：: x2+mx+4= (x=!2) 2,即 x2+mx+4=x2 ±4x+4,，m=±4.故答案為：=M.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式是解題關(guān)鍵.4. (2015秋河川市期末)分解因式：4x2-4x-3=(2x-3) (2x+1 ).【分析】ax2+bx+c (aQ型的式子的因式分解，這種方 法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)al, a2的積a1?aZ把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)cl, c2的積c1?c2,并使 a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c= (

16、a1x+c1) (a2x+c2),進(jìn)而得由答案.【解答】解：4x2 - 4x - 3= (2x-3) (2x+1).故答案為：(2x-3) (2x+1).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分 解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵.5 . (2015春？東陽市期末)利用因式分解計(jì)算： 2022+202 X196+982= 90000 .【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98) 2 =3002=90000.【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法可以簡便計(jì)算一些式子的值.6. (2015秋？孚梁縣校級(jí)期末) 叢BC三邊a, b, c滿足a2+b2+c2=

17、ab+bc+ca,則出BC的形狀是 等邊三角形.【分析】分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2,再化簡得(ab) 2+ (a c) 2+ (bc) 2=0,得由：a=b=c, 即選由答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2- 2ab+b2+a2 - 2ac+c2+b2 - 2bc+c2=0,即(a-b) 2+ (a- c) 2+ (b-c) 2=0,解得：a=b=c,所以，2BC是等邊三角形.故答案為：等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形 的判定，化簡式子得 a=b=c,由三

18、邊相等判定出BC是等邊 三角形.7.(2015秋?鄂托克旗校級(jí)期末)計(jì)算：12 - 22+32 - 42+52 62+1002+1012= 5151【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+ (32- 22) + (52- 42)+ (1012- 1002),進(jìn)一步運(yùn)用高斯求和公式即可解決.【解答】解：12- 22+32 42+52 62+1002+1012=1+ (32- 22) + (52 42) + (1012- 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101) X101 2=5151.故答案為：5151 .【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，分組

19、分解，利 用平方差公式解決問題.8. (2015秋?樂至縣期末)定義運(yùn)算 a*b= (1-a) b,下 面給由了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2* (-2) =31* b=ba若 a+b=0,則(a*a) + (bb) =2ab若 a*b=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)).【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作由判 斷.【解答】解：2* ( 2) = (1-2) X ( 2) =2,本選 項(xiàng)錯(cuò)誤；a b= (1 - a) b, ba= (1 - b) a,故 a* b 不一定等于ba,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若 a+b=0,貝U ( a*a) + (bb)

20、 = (1 a) a+ (1 b) b=a - a2+b - b2= - a2 - b2= - 2a2=2ab,本選項(xiàng)正確；若a*b=0,即(1 a) b=0,貝U a=1或b=0,本選項(xiàng)正 確，其中正確的有.故答案為.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.9. (2015春？長掖校級(jí)期末)如果 1+a+a2+a3=0,代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 .【分析】4項(xiàng)為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得 答案即可.【解答】解：: 1+a+a2+a3=0,，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a (1+a+

21、a2+a3) +a5 (1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意 合理分組解決問題.10. (2015春？昆山市期末)若多項(xiàng)式 x2-6x-b可化為 (x+a) 2 1,貝U b 的值是-8 .【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得由即可.【解答】解：: x2 - 6x - b= (x -3) 2 9 b= (x+a) 2-1, . a= - 3, - 9 - b= - 1,解得：a= 3, b= - 8.故答案為：-8.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵.二.解答題(共20小題)11.已知n為整數(shù)，試說明(n

22、+7) 2- ( n - 3) 2的值一 定能被20整除.【分析】用平方差公式展開(n+7) 2- (n-3) 2,看因 式中有沒有20即可.【解答】解：(n+7) 2- (n 3) 2= ( n+7+n 3) (n+7-n+3) =20 (n+2),. (n+7) 2- (n-3) 2的值一定能被 20整除.【點(diǎn)評(píng)】主要考查利用平方差公式分解因式.公式： a2 -b2= (a+b) (a - b).12. (2016秋旅安縣校級(jí)期末) 因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y(tǒng),再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平 方公式繼續(xù)分解.【解答】解：4x2y - 4xy+y=y (4x2 -4x

23、+1)=y (2x- 1) 2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分 解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方 法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.13. (2015秋?成都校級(jí)期末)因式分解(1) a3 - ab2(2) (x - y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式二a (a2b2) =a (a+b) (a b);(2)原式=x2 - 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用， 熟練掌握因式分解

24、的方法是解本題的關(guān)鍵.14. (2015春？t肅校級(jí)期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2n2 - 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0，m2+2mn+n2+n2 - 6n+9=0，(m+n) 2+ ( n - 3) 2=0，m+n=0 , n 3=0，m= 3, n=3問題：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0 ,求 xy 的值.(2)已知出BC的三邊長a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2 -6a- 6b+18+|3 - c|=0,請(qǐng)問公BC是怎樣形狀的三角 形？【分析】(1)首先把x2+2y2 - 2xy+4

25、y+4=0 ,配方得到(x -y) 2+ (y+2) 2=0,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=-2,代入求得數(shù)值即可；(2)先把 a2+b2- 6a- 6b+18+|3 - c|=0,配方得到(a3) 2+ (b-3) 2+|3-c|=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到 a=b=c=3,得 由三角形的形狀即可.【解答】解：(1) ; x2+2y2 2xy+4y+4=0，x2+y2 - 2xy+y2+4y+4=0 ,，(x-y) 2+ (y+2) 2=0，x=y= 2(2) .a2+b26a 6b+18+|3 c|=0,. a2 - 6a+9+b2 - 6b+9+|3 - c|=0,，(a3) 2+ (b3

26、) 2+|3- c|=0，a=b=c=3三角形ABC是等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知 條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì) 得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題.15. (2015秋？t和縣期末)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩 個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為和諧數(shù)如4=22 02, 12=42 22, 20=62 42,因止匕 4, 12, 20 這三個(gè) 數(shù)都是和諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))， 由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1

27、到200之間的所有 和諧數(shù)”之和為 2500 .【分析】(1)禾I用 36=102 82; 2016=5052 - 5032說明 36是”和諧數(shù)"2016不是和諧數(shù)”；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2n, 2n+2 (n為自然數(shù))，則 和 諧數(shù)”=(2n+2) 2- (2n) 2,利用平方差公式展開得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4 (2n+1),然后利用整除性可說明和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；(3)介于1到200之間的所有 和諧數(shù)”中，最小的為：22- 02=4,最大的為：502- 482=196,將它們?nèi)苛杏刹浑y 求由他們的和.【解答】解：(1) 36是 和諧數(shù)”，2016

28、不是 和諧數(shù)”.理 由如下：36=10282; 2016=50525032;(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k (n為自然數(shù))，:(2k+2) 2- (2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2 -2k)=(4k+2) X2=4 (2k+1),4 (2k+1 )能被4整除，.和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；(3)介于1到200之間的所有 和諧數(shù)”之和，S= (22 02) + (42 22) + (62 - 42) + (502 - 482) =502=2500 .故答案是：2500.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡化.16. (2015春?

29、興化市校級(jí)期末)如圖1,有若干張邊長為 a的小正方形、長為 b寬為a的長方形以及邊長為 b的 大正方形的紙片.（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方 形3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長方形 （在圖2虛線框中 畫由圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式 a2+3ab+2b2 分解因式.（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為169,長方形的周長為34,求長方形的面積.（3）現(xiàn)有三種紙片各 8張，從其中取由若干張紙片，每 種紙片至少取一張，把取由的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按 原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形.【分析】（1）根據(jù)小正方形1張，大正方形2張，長 方形

30、3張，直接畫由圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長方形的周長為34,得由a+b=17,由題意可知：小正方形與大正方形的面積之和為a2+b2=169,將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得 ab的值，從而可求得長方形 的面積；（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb）,其中（n、m為正整 數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2 .因 為現(xiàn)有三種紙片各8張，n2<8, m"8, 2mn<8 （n、m為正整數(shù)）從而可知 n<2,m<2,從而可得由答案.【解答】解：(1)如圖：拼成邊為(a+2b)和(a+b)的長方形，a2+3ab+2b2=

31、 (a+2b) (a+b);(2) .長方形的周長為 34,，a+b=17.小正方形與大正方形的面積之和為169,，a2+b2=169.將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：(a+b) 2=172,整理得：a2+2ab+b2=289,，2ab=289 - 169,，ab=60.，長方形的面積為 60.(3)設(shè)正方形的邊長為(na+mb),其中(n、m為正整 數(shù)). .正方形的面積=(na+mb) 2=n2a2+2nmab+m2b2 .現(xiàn)有三種紙片各8張，n2W& m2<8, 2mn<8 (n、m 為正整數(shù))n<2, m<2.共有以下四種情況；n=1, m=1 ,正方形的

32、邊長為 a+b;n=1, m=2,正方形的邊長為 a+2b;n=2, m=1 ,正方形的邊長為 2a+b;n=2, m=2,正方形的邊長為 2a+2b.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解 決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式.17. (2014秋?萊城區(qū)校級(jí)期中)(1)有若干塊長方形和 正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè) 新的長方形，如圖2.用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長方形的面積；由此，你可以得生的一個(gè)等式為：a2+2a+1 = (a+1)2 .(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示.請(qǐng)你用拼圖等方法推由一個(gè)完全平方公式，畫由你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方

33、法推由 2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果， 畫由你的拼圖.【分析】(1)要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的 方法，來推導(dǎo)公式；(2)要能根據(jù)等式畫由合適的拼圖.【解答】解：(1)長方形的面積=a2+2a+1;長方形的 面積=(a+1) 2;2)a2+2a+1= (a+1) 2;(2)如圖，可推導(dǎo)由(a+b) 2=a2+2ab+b2;2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b).【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用正方形或長方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同方法得到多項(xiàng)式的因式分解.18. (2013秋旭淀區(qū)校級(jí)期末)已知 a+b=1, ab=-1,設(shè)s1=a+b, s2=

34、a2+b2, s3=a3+b3,，sn=an+bn(1)計(jì)算s2;(2)請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過程：因?yàn)?a+b=1, ab= - 1,所以 s3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1 Xs2-(-1) =s2+1= 4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成(2)中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算 s4.(3)試寫由sn-2, sn-1, sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得由的結(jié)論，計(jì)算 s6.【分析】(1) (2)利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后代入a+b, ab的值，即可推由結(jié)論；(3)根據(jù)(1)所推由的結(jié)論，即可推由Sn - 2+Sn- 1=Sn；(4 ) 根據(jù)

35、 (3 ) 的結(jié)論，即可推由a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3.【解答】解：(1) S2=a2+b2= (a+b) 2-2ab=3;(2) (a2+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b),，3X1=a3+b3 - 1,，a3+b3=4,即 S3=4; S4= (a2+b2) 2 2 (ab) 2=7,，S4=7;(3) S2=3, S3=4, S4=7,，S2+S3=S4,，Sn -2+Sn- 1=Sn；(4) Sn -2+Sn -1=Sn, S2=3, S3=4, S4=7,S5=4+7=11 ,，S6=7+11=18.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式

36、的混合運(yùn)算、完全平方公式 的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推由S2=3, S3=4, S4=7,分析歸納由規(guī)律：Sn-2+Sn- 1=Sn.19. (2013春?重慶校級(jí)期末)(1)利用因式分解簡算： 9.82+0.4 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a-1) 2- (1- a)【分析】(1)利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分 解即可.【解答】解：(1)原式=9.82+2 )0.2軟8+0.22=(9.8+0.2) 2=100;(2) 4a (a- 1) 2- ( 1 - a)=(a- 1) (4a2- 4a+1)=(a- 1) (2a- 1)

37、 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公 式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.20. (2013春？惠山區(qū)校級(jí)期末)閱讀材料：若 m2 -2mn+2n2 - 8n+16=0 ,求 m、n 的值.解：: m2 2mn+2n2 8n+16=0 , ， ( m2 - 2mn+n2) +(n2 -8n+16) =0，(m - n) 2+ (n -4) 2=0,，(m -n) 2=0, (n -4)2=0, . n=4, m=4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0 ,求 x-y 的值.(2)已知出BC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2

38、-6a- 8b+25=0 ,求BC的最大邊c的值.(3)已知 a- b=4, ab+c2 6c+13=0 ,貝U ab+c= 7 .【分析】(1)將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全 平方公式化簡，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求生x與y的值，即可求由x - y的值；(2)將已知等式25分為9+16,重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求生a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即 可求由c的長；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新結(jié) 合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求生b與c的值，進(jìn)而

39、求由a的值，即可 求由a- b+c的值.【解答】解：(1)x2+2xy+2y2+2y+1=0，(x2+2xy+y2 ) + (y2+2y+1 ) =0，(x+y) 2+ (y+1) 2=0x+y=0 y+1=0解得 x=1 , y= 1(1) - y=2 ;(2) v a2+b2 - 6a- 8b+25=0，(a2-6a+9) + (b2 8b+16) =0，(a-3) 2+ (b-4) 2=0，a- 3=0 , b - 4=0解得 a=3, b=4.三角形兩邊之和第三邊，cva+b, cv 3+4，cv7,又c是正整數(shù)，c最大為6;(3) ; a- b=4 ,即 a=b+4,代入得：(b+4

40、) b+c2 - 6c+13=0 , 整理得：(b2+4b+4) + (c2-6c+9) = (b+2) 2+ (c- 3)2=0,，b+2=0,且 c- 3=0,即 b= 2, c=3, a=2,則 a - b+c=2 - (- 2) +3=7.故答案為：7.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.21. (2012秋溫嶺市校級(jí)期末)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式 x2 - 4x+m有一個(gè)因式是(x+3), 求另一個(gè)因式以及 m的值.解：設(shè)另一個(gè)因式為 (x+n),得 x2 - 4x+m= (x+3)(x+n), 則 x2 -

41、 4x+m=x2+ ( n+3) x+3n，n+3= 4m=3n 解得：n= -7, m= - 21，另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式 x2-5x+6可分解為(x-2) (x+a),則 a= - 3(2)若二次三項(xiàng)式 2x2+bx-5可分解為(2x- 1)(x+5), 則 b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式 2x2+5x - k有一個(gè)因式是(2x - 3),求另一個(gè)因式以及 k的 值.【分析】(1)將(x-2) (x+a)展開，根據(jù)所給生的二 次三項(xiàng)式即可求由 a的值；(2) (2x-1) (x+5)展開，可得由一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而 即可

42、求由b的值；(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5x - k= (2x-3) (x+n) =2x2+ (2n 3) x 3n,可知 2n 3=5, k=3n,繼而 求由n和k的值及另一個(gè)因式.【解答】 解：(1) ;(x2) (x+a) =x2+ (a 2) x- 2a=x2 -5x+6 , a- 2= - 5,解得：a= 3;(2) :(2x -1) (x+5) =2x2+9x - 5=2x2+bx - 5,，b=9;(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5x - k= (2x-3)(x+n) =2x2+ (2n-3) x-3n,則 2n - 3=5, k=3n ,解得：n=4

43、, k=12,故另一個(gè)因式為（x+4）, k的值為12.故答案為：（1） -3; （2分）（2） 9; （2分）（3）另一個(gè) 因式是x+4, k=12 （6分）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中 所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相 反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形 式.22. （2012春?鄭城縣期末）分解因式：（1） 2x2 -x;（2） 16x2 - 1;（3） 6xy2 9x2y y3;（4） 4+12 （x y） +9 （x-y） 2.【分析】（1）直接提取公因式 x即可；（5） 利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（6） 先提取公因式-y

44、,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平 方公式繼續(xù)分解；（7） 把（x-y）看作整體，利用完全平方公式分解因式 即可.【解答】解：(1) 2x2 - x=x (2x1);（8） 16x2 1= (4x+1 ) (4x- 1);（9） 6xy2 9x2y y3,=-y (9x2 - 6xy+y2 ),=-y (3x - y) 2;（10） 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2,=2+3 (x y) 2,=(3x - 3y+2) 2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是 因式分解的常用方法，難點(diǎn)在(3),提取公因式-y后，需 要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解.23. (2012春?碑

45、林區(qū)校級(jí)期末)已知 a, b, c是三角形 的三邊，且滿足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),試確定三角形 的形狀.【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性 質(zhì)解題.【解答】解：:( a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+b2- 2ab+b2+c2- 2bc+a2+c2- 2ac=0,即(a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-a) 2=0, a- b=0, b-c=0, c- a=0,，a=b=c,故公BC為等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷.關(guān)鍵是將

46、已知等式利用配方法變形，利用 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題.24. (2011秋W匕辰區(qū)校級(jí)期末)分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3 -4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解 即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1) 2x4- 4x2y2+2y4=2 (x4 - 2x2y2+y4 )=2 (x2 -y2) 2=2 (x+y) 2 (x-y) 2;(3) 2a3 - 4a2b+2ab2=2a (a2- 2ab+b2)=2a (a- b) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用， 提取公因式后利用公式進(jìn)行二次

47、分解，注意分解要徹底.25. (2011秋嘮州期末)圖是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后 按圖的形狀拼成一個(gè)正方形.(1) 圖中的陰影部分的面積為(m-n) 2 ;(2) 觀察圖請(qǐng)你寫由三個(gè)代數(shù)式( m+n) 2、(m- n)2、mn之間的等量關(guān)系是(m+n) 2- (m-n) 2=4mn .(3)若 x+y=7 , xy=10,貝U ( x y) 2= 9 .(3) 實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖，它表示了 (m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2.(4) 試畫由一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示( m+n) (m+3n) =

48、m2+4mn+3n2 .(5) 】(1)可直接用正方形的面積公式得到.(6) 掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別.(7) 此題可參照第(2)題.(8) 可利用各部分面積和 =長方形面積列由恒等式.(9) 可參照第(4)題畫圖.(10) 解：(1)陰影部分的邊長為(m-n),陰影部分 的面積為(m- n) 2;(11) (m+n) 2 - (m-n) 2=4mn ;(12) (x -y) 2= (x+y) 2 - 4xy=72 - 40=9 ;(13) (m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2 ;(5)答案不唯一：例如：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真 觀察題中給由的圖

49、示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握 完全平方公式，并能進(jìn)行變形.26. （2009秋福淀區(qū)期末）已知 a、b、c滿足a- b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)行因式分 解；但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題 的突破口.由a-b=8可得a=b+8;將其代入 ab+c2+16=0得： b2+8b+c2+16=0 ;此時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公 式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求由b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運(yùn)算即可.【解答】解：因?yàn)閍- b=8 ,所以a=b+8. （1分）又 ab+c2+16=0,所以（

50、b+8） b+c2+16=0. （2 分）即（b+4） 2+c2=0.又（b+4） 2>0, c2>Q貝U b= - 4, c=0. （4 分）所以a=4, （5分）所以 2a+b+c=4. （6 分）【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法.27. (2010春?北京期末)已知：一個(gè)長方體的長、寬、 高分別為正整數(shù) a、b、c,且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006 , 求：這個(gè)長方體的體積.【分析】我們可先將 a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變 為(a+1) (b+1) (c+1) - 1,就得(1+b) (

51、c+1) (a+1) =2007, 由于a、b、c均為正整數(shù)，所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也 為正整數(shù)，而2007只可分解為3X223,可得(a+1)、(b+1)、 (c+1)的值分別為 3、3、223,所以a、b、c值為2、2、222 .就 可求生長方體體積 abc 了.【解答】解：原式可化為： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,a (1+b) +c (1+b) +ac (1+b) + (1+b) - 1=2006,(1+b) (a+c+ac) + (1+b) =2007,(1+b) (c+1+a+ac) =2007,(1+b) (c+1) (a+1) =2007,2007只能分解為3 X223，(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分別為 3、3、223，a、b、c也只能分別為 2、2、222，長方體的體積