六正弦定理和余弦定理

1、第六節(jié)正弦定理和余弦定理【最新考綱】掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.I基礎(chǔ)梳理1.正弦定理和余弦定理定理1E弦定理余弦定理內(nèi)容a _ b _ c sin Asin Bsin C(T =lf +c2 一 2 be cos A ； 1?-a2 一2cacos B ?c2 = a' + 右 一2abcas C= 2R（R 為外 接圓半徑）變形 形式(1) « = 2J?sinb =2J?sin B ,r = 2J?sin C;(2) d : b i c = sin A 1 sin B : sin C；(3) sin A ,sin B =Zrtb .c2Ri

2、n(=2RA 護(hù)+疋一a2 COsA = Zbc； 心 B=，嚴(yán)a2 +lf cZcos <o .Lab解決 問題（1）已知兩角和任一 邊，求號(hào)亠角和其他兩 條邊常（2）C知兩邊和其中一 邊的對(duì)角求另亠邊和 其他兩角d）已知三邊求各角；4）已知兩邊和它們的夾 角，求第三邊和其他兩 個(gè)角2.三角形常用面積公式1 一 亠(1)S= 2Qa(ha表示邊a上的咼)；1 1.1(2) S=qabin C= 2 acsin B= 2bcsin A.(3) S=2r( a+ b + c)(r為內(nèi)切圓半徑).I學(xué)情自測(cè)1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“"”，錯(cuò)誤的 打 “X”

3、).(1) 在厶ABC 中，/ A>Z B必有 sin A>sin B.()(2) 若厶ABC中，acos B= bcos人則厶ABC是等腰三角形.()«) ABC中，若b2 + c2> 02,則厶ABC為銳角三角形.()(4) 在厶ABC 中，若 A = 60°, a= 4 3, b= 4 2，則/ B= 45°或/ B= 135° .()答案："(2)V (3)X (4)X2. 在 ABC 中，若 sin2A + sin2B= sin2C，則 ABC 的形狀為A .銳角三角形B.直角三角形C .鈍角三角形D .不確定a2解

4、析：由正弦定理4k2 + 4k2-4kb2c22=2a2 + b2= c2故厶ABC為直角三角形.答案：B3* （2015 *廣東卷）設(shè)A/X：的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 a心若 a = 2,c_2 V3,cos 人=唔且"Vg 則必=（）A, 3B, 22C. 2D.V3解析：由 az=l + cz-2bcos A,得 4 =圧 + 12 6気解得 b = 2 或丄 X b<j：h = 2.答案乙：4. （2016課標(biāo)全國I卷） ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,2b, c,已知 a= . 5, c= 2, cosA=3,貝S b=（）A. 2B 3 C. 2D. 3解析：利

5、用余弦定理列方程求解.2由余弦定理得5= b2+ 4-2X bx 2X 3,解得b= 3或b=- $舍去），故選D.答案：D5. 在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,已知A = 6, a= 1, b=V3，貝S B =.解析：由正弦定理SinA= SiB,代入得sin B=¥,n2 nn 2 n故B= 3或B= 3 故答案為3或3n 2 n答案：3或2nq名師微博通法領(lǐng)悟 一條規(guī)律在厶 ABC 中，A > B? a> b? sin A> sin B兩種途徑判定三角形的形狀，主要有兩種途徑：（1）化邊為角；化角為 邊，并常用正弦（余弦）定理實(shí)

6、施邊、角轉(zhuǎn)換.兩點(diǎn)注意1.已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其他邊或角.可能 有一解、兩解、無解.在厶ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角 或直角圖形Ca*H 一 "cC 、八 A * BAB關(guān)系式a = bsin AAsin A<La<Zbaba>b解的 個(gè)數(shù)一解兩解一解一解2在判定三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，以免漏解.分層菜訓(xùn)I單眩咸冊(cè)鑫銘燃高效提能I一、選擇題1.在 ABC 中，若 sin2A + sin2Bv sin2C，則 ABC 的形狀是( )A .銳角三角形B.直角三角形C .鈍角三角形D .等腰三角形解析：由正弦

7、定理，得$+ b 的面積為qbcsin A= 3,故選Cvc2,a+b2 c2cos C=2av 0,則C為鈍角，故厶ABC為鈍角三角形. 答案：C2.在 ABC中，已知b = 40, c= 20, C = 60° 則此三角形的解的情況是()A .有一解B.有兩解D .有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析:由正弦定理得b _ csin B sin C，C .無解sin B= bS= 40紹=V3> 1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.答案：C3. （2016長(zhǎng)春三模）已知 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,若 a2 = b2+ c2 bc, bc= 4,則厶

8、ABC 的面積為（）A2 B. 1 C. 3 D. 21n解析：，a2= b2+ c2 bc,cos A= 2, A = 3,又 bc= 4,.ABC答案：C4. (2017蘭州診斷)在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且 bsin A=73acos B 則 B =()nnnnA石B4C._3D."2解析：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理，得 sin Bsin A=#3sin Acos B因?yàn)?sin AK),所以 sin B= 3cos Bsin Bln即 cos b= tan B=J3，所以 B=3.cos B3答案：C15. (2014課標(biāo)全國H卷)鈍角三角形ABC

9、的面積是AB = 1,BC = 2,則 AC =()A. 5B. 5C. 2D . 1解析：由題意知SBC = 2AB BC sin B,則；x 1X 2sin B,解得 sin B=；./B= 45°或5= 135°當(dāng) B= 45° 時(shí),AC2= AB2 + BC2- 2AB-BC-cos B = 12+ ( 2)2 2X 1X 2X 2 = 1此時(shí)AC2+ AB2= BC2,AABC為直角三角形，不符合題意；當(dāng) B= 135° 時(shí),AC2 = AB2 + BC2-2AB-BC-cos B= 12 +（何2X1 "2刈晉卜5,解得AC =個(gè)符

10、合題意.答案：B二、填空題6.（2015 安徽卷）在厶 ABC 中，AB = 6, Z A = 75°/ B= 45°,則 AC =.AB Ac 解析：Z C = 180°T5°5°=60°，由正弦定理得廠=a， sin C sin B即 6 = AC，解得 AC = 2. sin 60° sin 45°答案：27* AABC的內(nèi)角A ,B,C的對(duì)邊分別為a.b.c.已知b=2.B = -,C=y,則厶ALiC的面積為,解析：由B = 乎，得A =壽"o4IZAr9r由正弦定理 = *得=* *'

11、 c= 2、匝、sin sin C.兀 . 7tsin sin /* SAAjjC = -yftcsin 人=寺 X 2 X 2 V2sin 涪=箱+ 1.乙-U丄乙答案:再+8.若 ABC 的內(nèi)角滿足 sin A + 2sin B= 2sin C,貝S cos C的最小值是.解析：由sin A+ 2sin B= 2sin C及正弦定理可得a+ 2b= 2cc2+ b2 c2故 cos C=2cb2 6cb 2 2cb6 2=4?8dbc2+ b2 2ab3+ 2b2 2 2cb=>8do當(dāng)且僅當(dāng)3 a=2b2，即a= 2時(shí)等號(hào)成立、6 、2所以cos C的最小值為4答案：64 2三、解

12、答題9. <2015 浙江卷）在AABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為口 4c.已知 tan(-p +A) = 2.求課鵡的備Sill(2若 B = u = 3.求AHC 的面積.解：（1）由tan （專. I = 2,得 t Bn A *24(2由 tan A T A (0, ，得.4 yio 43 yiosin A =, cos A = 一由戸=3 * E =及正弦定理 T = Z7 t得b34sin A sin 15itAABC 的面積為 S,則 S=ya6sin C=9.10 . (2017河北衡水中學(xué)二模)設(shè)厶ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c, (a+b+

13、 c)(a b+ c)= a c.(1)求 B；(2)若 sin Asin解：因?yàn)?a+ b + c)(a-b+ c)= cc,所以 C + c2 b2= ac.a+ c2 b2由余弦定理得 cos B= 2a = 2,2 a2?因此為B ABC的內(nèi)角，因 B= 120°(2)由(1)得 A + C = 60°,所以 cos(A C) = cos Acos(+ sin Asin C= cos Acos C- sin Asin1V3 1 遲C + 2sin Asin C= cos(A C) + 2sin Asin C= ? + 2x 4= ?故 A C = 30° 或A C = 30因此 C = 15° 或C = 45°11. (2016洛陽質(zhì)檢)在厶ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b, c,且 b2= a c a2 C + bc.(1)求氓的值; c(2)試判斷 ABC的形狀，并說明理由.b2+ c2 a2 i解：由 b2= a2 c2+ bc,得 cos A=2bc= 2,在厶ABC