切比雪夫1型濾波器

1、目錄1 課題描述 12 設(shè)計(jì)原理 12.1濾波器的分類 12.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) 12.3切比雪夫1型濾波器2切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)原理 3切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)步驟33 脈沖響應(yīng)不變法3.1脈沖響應(yīng)不變法原理 64設(shè)計(jì)容 64.1設(shè)計(jì)步驟64.2用MATLAB®程實(shí)現(xiàn) 64.3設(shè)計(jì)結(jié)果分析 105總結(jié) 106參考文獻(xiàn) 101 課題描述數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的重要工具之一，它通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸 入信號(hào)所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，二 數(shù)字濾波器處理精度較高，體積小，穩(wěn)定，重量輕，靈活，不存在阻抗匹配問 題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊功

2、能。故本書課題使用MATLAB信號(hào) 處理箱和運(yùn)算用切比雪夫法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫I數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100hz，阻帶截止頻率150Hz，采樣頻率1000hz，通帶最大衰減為0.5dB，阻 帶最小衰減為10dB，畫出幅頻、相頻響應(yīng)曲線，并設(shè)計(jì)信號(hào)驗(yàn)證濾波器設(shè)計(jì)的 正確性。設(shè)計(jì)原理2.1.濾波器的分類(1) 從功能上分；低、帶、高、帶阻。(2) 從實(shí)現(xiàn)方法上分：FIR、IIR(3) 從設(shè)計(jì)方法上來分：Chebyshev(切比雪夫)，Butterworth (巴特沃斯)(4) 從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器2.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)ha(j ?)是一個(gè)

3、模擬濾波器的頻率響應(yīng)，則基于平方幅度響應(yīng)J (?)=Ha(j ?)的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為：0 <1 Ha (j ?) I< 1/AA2, ? s<l ? I其中&為通帶波動(dòng)系數(shù)，p?和s?是通帶和阻帶邊緣頻率。A為阻帶衰減系數(shù)0Q2Q從圖知必須滿足其中參數(shù)&和A是數(shù)字濾波器指標(biāo)2.3切比雪夫1型濾波器2.3.1切比雪夫?yàn)V波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶都是單調(diào)的。因此，若濾波器 的技術(shù)要用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻 端和阻帶截止頻率以上的部分都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。 一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶，

4、或同時(shí)在通帶和阻帶勻分布，這樣往往 可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特 性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率 響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為 I型切 比雪夫?yàn)V波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的(稱為II型切比雪夫?yàn)V波器)。丨型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是務(wù)3)=冋伽)1 = /1=?其中l(wèi)|V 1。而是濾波器在截止頻率的放大率(注意：常用的以幅度下降3分貝的頻率點(diǎn)作為截止頻率的定義不適用于切比雪夫?yàn)V波器!)?是階切比雪夫多項(xiàng)式：Tnn * arccosTn二 cosh ( n arc

5、cosh j ;k從丿從定義切比雪夫多項(xiàng)式可以直接得出由Tn (x)和Tn-1 (x)求Tn+1 (x)的遞推公式。將三角恒等式得Tn+1 (x) =2( x) T (x) -Tn-1 (x)當(dāng)0<x<1時(shí)，TnA2(x)在0和1之間變化；當(dāng)x>1時(shí)，cos-是虛數(shù)，所以Tn(x)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加；I Hn(w) I對于0W w/wCK 1呈現(xiàn) 出在1和1/ (2£ A2)之間的波動(dòng)；而對于 w/w01單調(diào)地減小。需要用 三個(gè)參量來確定該濾波器：£, w0和在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶 波紋來確定&，而用希望的通帶截止頻率來確定w(X然后選

6、擇合適的階次n,以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器(又譯車比雪夫?yàn)V波器)是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋 波動(dòng)的濾波器。在通帶波動(dòng)的為“ I型切比雪夫?yàn)V波器”，在阻帶波動(dòng)的為“ II 型切比雪夫?yàn)V波器”。切比雪夫?yàn)V波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲 線之間的誤差最小，但是在通頻帶存在幅度波動(dòng)。切比雪夫I型為例介紹其設(shè)計(jì)原理幅度平方函數(shù)用丨H(j )丨表示£為小于1的正數(shù)，表示通帶幅度波動(dòng)的程度，£越大，波動(dòng)幅度也越大。？P稱為通帶截止頻率。令 入=?/?P，稱為

7、對？P的歸一化頻率。定義允許的通帶 最大衰減ap用下式表示定義允許的通帶最大衰減 pa用下式表示ap=1Olg max | Ha(j ?) | A2/ min | Ha(j ?) | A2 | ? | < ?p式中 max | Ha(j ?) | 八2=1 min | Ha(j ?) | 八2=1心+ & 八?)因此ap= 10lg(1+£ A2)£ a2=1Oa(o.i ap)-1這樣，可以根據(jù)通帶最大衰減 a p,可求出參數(shù)£。階數(shù) N影響過渡帶的寬度， 同時(shí)也影響通帶波動(dòng)的疏密，因?yàn)镹等于通帶的最大值和最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為？S，則

8、有(乂、I = ch(NarchAt =丄archN 可以解出丄 arch N- 一I 11=» J少出仏)3dB截止頻率用Q表示*=% 按照(2-3-1)式.有z IQ = S2 tA arch 'Inf 丿經(jīng)過系列推論得歸一化泵統(tǒng)函數(shù)為q（卩）= v£2心仃（卩-門）去n化的系統(tǒng)函數(shù)為H?。?） = G（p）丫 =<-jsl2.3.3切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟（1）確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率p,它們滿足 （2）求濾波器階數(shù)N和參數(shù)先求出1/k1，再求出階數(shù)N,取符合條件的N的最小整數(shù)。（3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga（p）（4）將去歸一化，得到實(shí)際的H

9、a（ s）函數(shù)說明：用MATLAB計(jì)切比雪夫1型低通濾波器（1）z,p,k=cheb1 ap（N,Rs）該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型歸一化模擬濾波器的零極點(diǎn)和增益因子， 返回長度為N的列向量Z和P,分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置。Rs是阻帶最小 衰減。（2）N,wso=cheb1ord（wp,ws,Rp,As）該格式用于計(jì)算切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso,調(diào) 用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。(3) N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計(jì)算切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶頻率wsc。wp.ws 是實(shí)際模擬角頻率。(4)

10、 B,A=cheby1(N,Rs,wso, ' ftype ')該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的多項(xiàng) 式系數(shù)向量B和Ao調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)和 阻帶截止頻率的歸一化值。(5) B,A=cheby1(N,Rp,wso, ' ftype ' , ' s')該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式 系數(shù)向量B和Ao調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)和阻 帶截止頻率的歸一化值。Impin var功能：用“脈沖響應(yīng)不變法”將模擬濾波器離散化。BZ,AZ

11、 =impinvar(B,A,Fs)Plot(X,Y)功能：繪制線性二維圖形grid on功能：對當(dāng)前坐標(biāo)系添加主要網(wǎng)格線。3脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法原理脈沖響應(yīng)不變法是實(shí)現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別 適合于對濾波器的時(shí)域特性有一定要求的場合。脈沖響應(yīng)不變法的核心原理是通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT), T為采樣間隔。它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。一個(gè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)可以用有理分式表達(dá)式表示為：M(s) a。as aMSH aNbo bs . b“s(3-1 )通過反拉普拉斯變換我們就可以得到它的沖激相應(yīng)：1ha(t

12、) L H a(s)(3-2)脈沖響應(yīng)不變法就是要保證脈沖響應(yīng)不變，即：h(n) ha(nT)(3-3)對上式的沖激相應(yīng)序列h(n)作Z變換，就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù):H(z) ZTha( nT)(3-4)一般來說，Ha(S)的分母多項(xiàng)式階次總是大于分子多項(xiàng)式的階次。假定Ha(S)的沒有多重極點(diǎn)，則式(1)就可分解為：Ha(S)(3-5)式中Si，A均為復(fù)數(shù)，Si是H a(S)的極點(diǎn)。其拉氏變換為NST nha(t) Ae u(n)i 1般來說，Ha(s)的分母多項(xiàng)式階次總是大于分子多項(xiàng)式的階次。數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)經(jīng)過合并簡化，成為一般形式的有理分式傳遞函數(shù)H(z)1LC。G

13、Z Cl Zdod1z 1dNZ(3-6)在討論采樣序列z變換與模擬信號(hào)拉氏變換之間關(guān)系的有關(guān)章節(jié)中，我們已經(jīng)知道H lz eSTHa(S j*K)(3-7)按照z=eST的關(guān)系，每一個(gè)s平面上寬度為2 /T的水平條帶將重迭映射到 z平面上。因此脈沖響應(yīng)不變法將 S平面映射到z平面，不是一個(gè)簡單的 對 應(yīng)的關(guān)系。對于高采樣頻率(T小)的情況，數(shù)字濾波器在頻域可能有極高的增益。 為此我們采用H(z)(3-8)(3-9)TAi eSiTNh(n) Tha( nT)TAieSlTnu( n)i 1在脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是線性的(*T)。同時(shí)，它可以保持脈沖響應(yīng)不變，

14、h(t) = ha(nT)。因此，這一方法往往用于低通時(shí)域數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及相應(yīng)的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設(shè)計(jì)。4實(shí)驗(yàn)容4.1設(shè)計(jì)步驟(1) 按一定規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo);(2) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)函數(shù)，確定濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wc(3) 利用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬切比雪夫低通濾波原型(4) 利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性不變法把模擬切比雪夫?yàn)V波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字切比雪夫低通濾波器。4.2試驗(yàn)程序低通濾波器程序fp=100;fs=150;Rp=0.5;Rs=10;計(jì)算階數(shù)N和截止頻率wcFs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs; N,wc=c

15、heb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); % Nwcz,p,k=cheb1 ap(N,Rp); %計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)和增益B ap,Aap=zp2tf(z,p,k); % 的系數(shù)b,a=lp2lp(B ap,A ap,wc); % bz, az=impi nv ar(b,a,Fs); % 換為數(shù)字低通濾波器將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一般形式將模擬低通濾波器原型，轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器 采用脈沖響應(yīng)不變法，將模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)figure(1)計(jì)算頻率H和頻率響應(yīng)WH,W=freqz(b z, az,Fs); %subplot(2,1,1),plot(W/pi,20

16、*log10(abs(H) xlabel('幅頻 /Hz');ylabel(' 幅度 /dB');grid on; subplot(2,1,2),plot(W/pi,180/pi*u nwrap(a ngle(H) xlabel('相頻 /Hz');ylabel('相位 /Ao');grid on;File Edit Debug Desktop Window Help n X 皂 T* 整吋 / Cirr ent Directory. | e:WATLAB7wori?二| 色Shortcuts 迥 How lo Add -fj W

17、hat's New» fp=100,fs=150;RjE* 5 ； Rs= 10:Fe= 1000 ;Vp=2*pi*fp; Vfs=2*pi *fs;Nj wcl-cheblor dCWp, *耳斑尺囪'e' );體i：茸E d'N 叫臥丄頻邑urNwcz,psk-cheblap(F,Rp)；黑計(jì)尊梟繞函數(shù)零慣點(diǎn)和曙益Bap, Aap =zp2tf (z, p, k);策將系統(tǒng)Ef數(shù)的霎極點(diǎn)轉(zhuǎn)化為系鐮函數(shù)一骰冊式的系數(shù)tbj a =lp2lp (Bap,Aap wc);第將檯慣低直逋疲壽廉型，特?fù)Q藥欖擬低逼猥玻翳bzjz=iic)invr(bj a)

18、Fs); %采用豚沖響應(yīng)不孌法：著擋擬話通遽液器，轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通総菠誥 fijuxe(l)'K, Vlfreqithz, aFs).黑計(jì)凰吸車H和裁辜闕應(yīng)M'subplot (2j lf l), plot (W/pi, 2t)*log 10 (abs (H)藝站幅頻/Hz：j ;ylabel帽處/dB ) : grid on;subplot (2j 13 2)Jplot (W/pi, 18D/pi*unwrap (anletH)賽 labtE忻頻"HF ) ;y label (n 位): erid cm;N -3wc =628.3|85»驗(yàn)證濾波器的正確性程

19、序figure(2);f仁 50;n=150;m=0:(n-1);t=m/Fs;% 采樣點(diǎn)數(shù)subplot(2,3,1)x=si n(2*pi*f1*t);plot(t,x);title('f1輸入信號(hào)');f2=200;x=si n(2*pi*f2*t);subplot(2,3,2)plot(t,x);title('f2輸入信號(hào)');subplot(2,3,3)x=si n( 2*pi*f1*t)+si n(2*pi*f2*t);plot(t,x);title('疊加后輸入信號(hào)');y=filtfilt(b z,az,x);subplot(2,

20、3,4)plot(t,y);title('濾波之后的信號(hào)')subplot(2,3,5)plot(t,sin(2*pi*f1*t);title('希望輸出的信號(hào)');R MATLAB-ile Edit Debu Des ktop Window HelpZlA 詰亀匕>C樣 z/ 7 Current Directory, e: TMATLAB7twwk固shortcuts 團(tuán) How to Add 匡Wiat's New>> fp=100-fsl50;5 ;R5=1D;75=1000 ;Vp=2*pi*fp: W-2*px*f s ;汕w

21、=ch&blord(WpJ務(wù)e!);崛"H尊翫數(shù)1【和載止頻奉譏JFC.t, p, k=chebl ai)(N, Rp);黑計(jì)亙至!統(tǒng)函埶雪根臣和增益Bap, Aap-zp2ti (=J p3 k);飯將系統(tǒng)囲數(shù)的零極點(diǎn)轉(zhuǎn)化為荼絨兩數(shù)一般形武的系數(shù)b> a = lp21p CBajij Aapj vc);箔將槓楓低通廳菠器原舉*輸換拘痕脫低通腿疲器b=J(fe, a, Fs3 ;盤乘用脈:中響應(yīng)不變法，將種擬低通廳慕器，轉(zhuǎn)換芮數(shù)享低通逋嬪器rifure ；Hj V =freqE CbZj az, Fs):牘計(jì)障頻羣H和頻率響應(yīng)Wsubplot (2, 1, DjPlot

22、Wpi, 20+logl0(abS(H)(label (rj ;ylbel( :-m -.'rdB? ) :grid on;subplot (2 15 2)jplot CW7pi, lBO/piuniurap (angLe (H)證abel (* 相頻/He" ) jylatelC' ) ; gcid on;:igure(£；;?1=5C；150;jn=0;(n-l)淨(jìng)乗樣點(diǎn)數(shù)subplot (2j 3* 1)i=sin.(2*pi*f 1;>lcrt (tjx)輸入信號(hào)");:2=200.tsLrLfpi+fJ+i:);subpl ot (2, 3f 2)ilot輸入僧號(hào)');jubplo-t 玄 3)c=sin.(2*pi*f 1 *1) +sin(2*pi+f 2*t);ilat ttjx)(P 輸人flf號(hào)');iltfilt (bs, az, k);subplot (2S 34)»lQt