2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 利用幾何畫(huà)板探索軌跡的教學(xué)(1) 新人教版

1、利用幾何畫(huà)板探索軌跡的教學(xué)研究性學(xué)習(xí)一得 研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)中，選擇和確定研究專題，仿照科學(xué)研究的方法和過(guò)程，主動(dòng)地獲取知識(shí)，并應(yīng)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。研究性學(xué)習(xí)圍繞一個(gè)主題或問(wèn)題，以小組學(xué)習(xí)為主要形式，學(xué)生自主進(jìn)行的探索性、實(shí)踐性、開(kāi)放性課程。研究性學(xué)習(xí)是以問(wèn)題的解決為主要形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，問(wèn)題是它的重要載體，整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)以問(wèn)題的自然形成序列。研究性學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)實(shí)踐，注重體驗(yàn)，關(guān)注結(jié)果。其特點(diǎn)是內(nèi)容強(qiáng)調(diào)開(kāi)放性、學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)主體性、注重學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)、講求體驗(yàn)式、活動(dòng)化。下面通過(guò)對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索，談?wù)勎业囊稽c(diǎn)體會(huì)。教師：求曲線的方程、通過(guò)方程研究曲線的性

2、質(zhì)是解析幾何的兩大主要問(wèn)題。今天與同學(xué)們討論一個(gè)問(wèn)題：怎樣探索點(diǎn)的軌跡。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，思維從問(wèn)題開(kāi)始。我們先看一個(gè)具體的例子：如圖1，過(guò)橢圓()的左焦點(diǎn)F1作弦AB?，F(xiàn)在來(lái)研究焦點(diǎn)弦AB有關(guān)的問(wèn)題。軌跡1 過(guò)原點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程。 圖1 圖2幾何畫(huà)板演示：拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A在橢圓上轉(zhuǎn)動(dòng)或制作點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)按鈕，跟蹤點(diǎn)M，得到點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)小圓。如圖2“怎樣求出這個(gè)小圓的方程？”學(xué)生：按一般思路，假設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，則AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程解出交點(diǎn)(即垂足)M的坐標(biāo)，最后消去參數(shù)k就得到點(diǎn)M的軌跡方程。哇！好復(fù)雜。學(xué)

3、生們埋頭進(jìn)行著復(fù)雜的運(yùn)算。其中一個(gè)學(xué)生望著投影大屏幕，既不動(dòng)手，也不說(shuō)話。教師：“你為什么不動(dòng)手做？”學(xué)生：“我在想這個(gè)軌跡是一個(gè)圓，而且是以O(shè)F1為直徑的圓，是不是有什么簡(jiǎn)單的方法做出來(lái)。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來(lái)，但運(yùn)算也很復(fù)雜。我有一個(gè)很好也很簡(jiǎn)單的方法：因?yàn)镺MAB ，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x ，y)，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(c，0)，則x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即。這就是所求的軌跡方程?！薄鞍?！這么簡(jiǎn)單？”同學(xué)們都驚訝起來(lái)。馬上又有一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“大家都被橢圓這個(gè)外表給迷惑住了。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題只與原點(diǎn)和點(diǎn)F1的

4、坐標(biāo)有關(guān)，而與橢圓的弦無(wú)任何聯(lián)系。就是給定兩點(diǎn)O與F1，過(guò)這兩點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，求交點(diǎn)的軌跡方程。這當(dāng)然很容易解得?！苯處煟骸昂芎谩偛磐瑢W(xué)們討論得很不錯(cuò)。在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，一定要注意設(shè)法找出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，尋找動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)之間的幾何關(guān)系。平面幾何的有關(guān)結(jié)論對(duì)求點(diǎn)的軌跡很有用處。下面我們將問(wèn)題改變一下：軌跡2 如圖3，求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程?！薄安虏驴?，點(diǎn)P的軌跡是什么？”不少學(xué)生已經(jīng)利用幾何畫(huà)板演示了出來(lái)：幾何畫(huà)板演示：拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A，得到點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)小橢圓，并且這個(gè)小橢圓的長(zhǎng)軸是線段OF1即半焦距。如圖4。“真是橢圓?！睂W(xué)生的興趣被調(diào)動(dòng)起來(lái)?！霸鯓忧筮@個(gè)小橢圓的方程？”教師

5、在下面觀察學(xué)生的解法，卻發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生 圖3對(duì)這類問(wèn)題無(wú)從下手。教師：“根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點(diǎn)的軌跡方程，就應(yīng)該假設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，因此先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)。要建立點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點(diǎn)F1是定點(diǎn)，A、B、P都是動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn)A是主動(dòng)點(diǎn)，引起點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的原因是由于點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)。因此要找到點(diǎn)P與A、B、F這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系。這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！薄包c(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系怎樣？”學(xué)生：“根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，。”“如何將A、B、P、F1這四點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)？”“利用直線的斜率?！薄爸?/p>

6、線AB的斜率怎樣表示？”“有，還有。”“如何得到？”“”“A、B兩點(diǎn)在哪？滿足什么方程？” 圖4“在橢圓上。滿足，?！薄爸涝鯓忧罅藛?？”學(xué)生很快得到下列解法(經(jīng)過(guò)整理)：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B都在橢圓上，則 ，兩式相減得 ，于是有 ，化簡(jiǎn)得 ， 此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標(biāo)進(jìn)行過(guò)渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法設(shè)而不求。尋找動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系是求軌跡問(wèn)題的關(guān)鍵。還有其它解法沒(méi)有？”一學(xué)生：“因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，可以設(shè)直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯(lián)

7、立解方程組得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)”另一學(xué)生：“不必解出A、B的坐標(biāo)，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)x1，x2，正好可以利用韋達(dá)定理得到，將點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都表示為直線AB的斜率k的函數(shù)，消去參數(shù)k就行了。”教師：“很好。請(qǐng)同學(xué)們將解法寫(xiě)出來(lái)?！币韵率菍W(xué)生的另一種解法(經(jīng)整理)：解法二：假設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，=， 由得，代入y=k(x+c)得，整理得 ， 即為所求的方程。學(xué)生：“我改變?cè)瓩E圓的長(zhǎng)軸或短軸的長(zhǎng)，所求軌跡的形狀也隨著改

8、變了，但這兩個(gè)橢圓的形狀仍然十分相似，也不知有沒(méi)有必然的聯(lián)系？”學(xué)生：“與的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同?！苯處煟骸昂芎??？磥?lái)大家已經(jīng)掌握了求軌跡的關(guān)鍵尋找被動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系。剛才所探索的都是弦AB上特殊點(diǎn)的軌跡。同學(xué)們能否利用幾何畫(huà)板探索其它點(diǎn)的軌跡？請(qǐng)大家根據(jù)這個(gè)橢圓及弦AB，自行發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。”學(xué)生們立即投入到探索中。一位學(xué)生：軌跡3 “在弦AB上任意取一點(diǎn)Q，跟蹤點(diǎn)Q，動(dòng)畫(huà)哇！怎么點(diǎn)Q的軌跡是這樣的？”不少學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了同樣的問(wèn)題。教師將這位學(xué)生計(jì)算機(jī)上的畫(huà)面切換到大屏幕，幾何畫(huà)板演示：在弦AB上任取一點(diǎn)Q，跟蹤點(diǎn)Q，拖動(dòng)主

9、動(dòng)點(diǎn)A，取到如下幾何圖形(如圖57所示)： 圖5 圖6 圖7“呀！這是什么圖形？”“怎么會(huì)有這樣的圖形？”“自學(xué)習(xí)解析幾何以來(lái)還從沒(méi)見(jiàn)過(guò)這樣的圖形。”“該給這個(gè)軌跡起個(gè)什么名字呢？”學(xué)生們發(fā)出驚嘆。拖動(dòng)點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡也發(fā)生變化。當(dāng)點(diǎn)Q接近中點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡圖形接近于中點(diǎn)P的軌跡小橢圓(如圖6)，而當(dāng)點(diǎn)Q接近于點(diǎn)A或B時(shí)，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4 “老師，我發(fā)現(xiàn)，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)A1、A2連起來(lái)，則這兩條直線A2A與A1B的交點(diǎn)C好象在橢圓的準(zhǔn)線上。”另一個(gè)學(xué)生叫起來(lái)?！袄蠋?，點(diǎn)Q的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定

10、很復(fù)雜。點(diǎn)C的軌跡這么簡(jiǎn)單，那么應(yīng)該可以求出其方程吧?！苯處煟骸霸囋嚳窗??！辈扇〕Ｒ?guī)方法“交軌法”求解：設(shè)直線AA2、BA1的方程分別為y = k1(xa)，y = k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標(biāo)x1與a，故可求得A(x1，y1)點(diǎn)坐標(biāo)為, 圖8同理可求得B(x2，y2)點(diǎn)坐標(biāo)為 。由A、F1、B三點(diǎn)共線可得，即 ，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，將，代入上式得，分解因式得 ，因?yàn)橹本€AA2、BA1的交點(diǎn)在橢圓外，所以，故 ， 即 。即為

11、直線AA2、BA1的交點(diǎn)的軌跡方程，而這就是橢圓的準(zhǔn)線方程。“同樣的道理，直線A2B與A1A的交點(diǎn)D也在準(zhǔn)線上?！薄袄蠋?，不管C、D兩點(diǎn)在左準(zhǔn)線上怎樣運(yùn)動(dòng)，CF1D是一個(gè)定值。如圖9所示?！庇忠粋€(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論。同學(xué)們利用上個(gè)問(wèn)題的解決方法，很快證明了出來(lái)。 教師：“很高興看到你們能探索出這么多 圖9結(jié)論出來(lái)。利用幾何畫(huà)板，你們還能探索出什么結(jié)論嗎？如果是圓、橢圓等常見(jiàn)軌跡，請(qǐng)同學(xué)們課后盡量給出證明。”軌跡5 “老師，如圖10作OAB的重心G，其軌跡也是一個(gè)橢圓?！币晃粚W(xué)生說(shuō)。(以下是學(xué)生課后提供的解答過(guò)程：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，則

12、，由，得，此即為直線AB的斜率k， 圖10又 ， ， 整理得. 故OAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學(xué)生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6 “OAB的內(nèi)心的軌跡是一條雞蛋形曲線(如圖11所示)?！避壽E7 “OAB的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖12所示)。” 圖11 圖12軌跡8 “OAB的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖13所示)?！避壽E9 “OAB中，過(guò)點(diǎn)A作OB的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖14所示)?！?圖13 圖14軌跡10 “老師，如圖15作ABF2的重心G，其軌跡也是一個(gè)橢圓。”(以下是學(xué)生課后的解答：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，則由F2(c，

13、0)與G(x，y)可得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以 ，整理得 ，即 。此即為ABF2的重心G的軌跡方程。) 圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11 “ABF2的內(nèi)心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)。”軌跡12 “ABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)?！避壽E13 “ABF2的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖18所示)?！避壽E14 “ABF2中，過(guò)點(diǎn)A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)?！?圖16 圖17 圖18 圖19軌跡1518 “延長(zhǎng)AF2交橢圓于另一點(diǎn)C，聯(lián)BF2 ，ABC的重心、內(nèi)心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖2023所示)

14、?！?圖20 圖21 圖22 圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質(zhì)。以上問(wèn)題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結(jié)論？”“問(wèn)得好。同學(xué)們探討一下這位同學(xué)提出的問(wèn)題?！币韵率菍W(xué)生經(jīng)過(guò)探索得出下面的結(jié)論(限于篇幅，本文略去解題過(guò)程)：軌跡19 如圖24，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作弦AB，則弦AB的中點(diǎn)M的軌 圖24跡是以O(shè)F2為實(shí)軸即實(shí)半軸長(zhǎng)為的雙曲線，其方程為，其解答過(guò)程與橢圓相似，這里略去。并且此雙曲線與原雙曲線的離心率相同。若在弦AB上任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡圖形如圖2526，并且當(dāng)點(diǎn)P 圖25接近中點(diǎn)M時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近中點(diǎn)M的軌跡雙曲線；當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A或B時(shí)，P

15、點(diǎn)軌跡接近原雙曲線。軌跡20 如圖27，OAB的重心G的軌跡是一雙曲線，其方程為 。軌跡21 如圖28，ABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為 圖26 圖27 圖28軌跡21 如圖28，ABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為 。軌跡22 如圖29，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作弦AB， 則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以F為頂點(diǎn)的拋物線，其方程為.圖29 圖30 圖31如圖3031，若在弦AB上任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡并且當(dāng)點(diǎn)P接近中點(diǎn)M時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近中點(diǎn)M的軌跡拋物線，當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A或B時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近原拋物線軌跡23 如圖32，OAB的重心G的軌跡是一條拋物線，其方程為 。軌跡24 如圖33，K是拋物線

16、的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，KAB的重心的軌跡是一條拋物圖32 圖33 圖34線，其方程為 。如圖34，通過(guò)探索還可得到拋物線有關(guān)的一些性質(zhì)： 如 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 連接OA、OB兩條直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFN=,并且AM、BN都垂直于準(zhǔn)線。教師：“今天的問(wèn)題同學(xué)們研究得很好。幾何畫(huà)板可以稱這數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)室，同學(xué)們可以學(xué)會(huì)怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題。象上面的軌跡問(wèn)題，找到了主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，問(wèn)題就不難解。下面的這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們課后去加以研究，下周將你們研究的結(jié)果展示出來(lái)：?jiǎn)栴} 如圖35所示，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A1作兩條互相垂直的弦A1A、A1B。對(duì)于

17、弦AB提出一些問(wèn)題并加以解決。例如：弦AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；弦AB上中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題；過(guò)A1或O點(diǎn)作弦AB的垂線，垂足的軌跡問(wèn)題；A1AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問(wèn)題；A2AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問(wèn)題更一般的問(wèn)題：如果在橢圓上取其它點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作兩條互相垂直的弦MA、MB。對(duì)弦AB提出一些問(wèn)題并加以解決。同樣，對(duì)雙曲線、拋物線也提出類似的問(wèn)題。有關(guān)結(jié)果在下周展示出來(lái)?！闭n后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。以下是一些學(xué)生的感受：“今天這堂課收獲很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然問(wèn)題，通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)顯示，現(xiàn)在弄清楚了?！薄敖裉爝@堂課真有意思。通過(guò)幾何畫(huà)板這個(gè)工具，不僅掌握了如何研究問(wèn)題， 圖35同時(shí)也知道了如何去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題?！薄巴ㄟ^(guò)這堂課，我想我們平時(shí)做的很多數(shù)學(xué)題大概就是這樣被發(fā)現(xiàn)的?！薄拔矣X(jué)得老師要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題這種教學(xué)方式對(duì)我們很有益處。這比題海戰(zhàn)術(shù)、高強(qiáng)度訓(xùn)練的教學(xué)方式要好得多。不僅掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，而且讓我們知道了知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程?！?記得我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授說(shuō)過(guò)，在